Dos conjuntos ortogonales de círculos

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Ahora debemos demostrar que los rayos y los frentes de onda siempre se intersecan en ángulos rectos (Figura 18). Los frentes de onda son arcos de círculos. Por la la ecuación eikonal, sabemos que los círculos de los frentes de onda son ortogonales a las trayectorias de rayos. Sea H el punto de intersección de una trayectoria de rayos (caracterizada por un ángulo inicial Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_{{\rm 1}} ) y un frente de onda (caracterizado por tiempo de viaje t). El centro y el radio del círculo de la trayectoria de rayos son, respectivamente,

Figure 18.  Confirmación pitagórica de que los círculos del frente de onda y los círculos de la trayectoria de los rayos son ortogonales.

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(64)

El centro y el radio del círculo del frente de onda son, respectivamente,

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y

$ {\begin{aligned}r&={\frac {v_{0}}{a}}{\ sinh\ }\ {\textit {at}}.\end{aligned}} $

(65)

La distancia entre el punto "E" y el punto "H" es

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(66)

La distancia entre el punto "G" y el punto "H" es

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(67)

Por el teorema de Pitágoras, tenemos

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(68)

Consideremos el triángulo GHE. Los dos círculos son ortogonales si y sólo si este triángulo es rectángulo, con el ángulo recto en H. Para que este triángulo sea un triángulo rectángulo, debe cumplirse el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, debemos verificar que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): GH^{{\rm 2}}{\rm +}EH^{{\rm 2}}{\rm =}\ GE^{{\rm 2}} . Al insertar los valores anteriores, obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &{\left(\frac{v_0}{a}{\rm \ sinh\ }at\right)}^{{\rm 2}} {\rm +}{\left(\frac{v_0}{a{\rm \ sin\ }{\theta }_{{\rm 1}}}\right)}^{{\rm 2}}{\rm =}\frac{v^{{\rm 2}}_0}{a^{{\rm 2}}}\left({{\rm cosh}}^{{\rm 2}}{\rm \ }at-{\rm \ }\frac{{\rm l}}{{{\rm tan}}^{{\rm 2}}{\theta }_{{\rm 1}}}\right) . \end{align}

(69)

Esta ecuación se reduce a

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &\mathrm{sinh}^{{\rm 2}} \ at{\rm +}\frac{{\rm 1}}{{{\rm sin}}^{{\rm 2}}{\theta }_{{\rm 1}}}{\ =\ }{{\rm cosh}}^{{\rm 2}}\ \textit{at}- \frac{{\rm 1}}{{{\rm tan}}^{{\rm 2}}{\theta }_{{\rm 1}}}, \end{align}

(70)

lo cual da

$ {\begin{aligned}&{\frac {\rm {1}}{{\rm {sin}}^{\rm {2}}{\theta }_{\rm {1}}}}-{\frac {\rm {1}}{{\rm {tan}}^{\rm {2}}{\theta }_{\rm {1}}}}{\rm {=}}{\rm {cosh}}^{\rm {2}}at-{\rm {sinh}}^{\rm {2}}\ {\textit {at}}.\end{aligned}} $

(71)

El lado derecho y el lado izquierdo de la ecuación 71 son cada uno iguales a uno; por lo tanto, este teorema de Pitágoras se cumple en efecto para el triángulo "GHE". Por lo tanto, los círculos del frente de onda y los círculos de la trayectoria de rayos son ortogonales.

La pendiente del radio del frente de onda debe ser la misma que la pendiente del rayo. El centro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(x_W,y_W\right) del círculo del frente de onda debe estar en el eje y, porque de lo contrario, los frentes de onda se intersectarían. El radio del círculo del frente de onda tiene la dirección Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \mathbf{u=}\left({\rm \ sin\ }\theta {\rm ,\ cos\ }\theta \right) en el punto $ \theta $ del rayo. El radio r del círculo del frente de onda es igual a la distancia en esta dirección desde el punto dado H del rayo hasta el eje y.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Sismología de Reflexión
• Procesamiento digitales
• Realce de señales
• Migración
• Interpretación
• Rayos
• Vector unitario tangente
• Tiempo de viaje
• El gradiente
• La derivada direccional
• El principio de tiempo mínimo
• La ecuación de Eikonal
• Ley de Snell
• Ecuación del rayo
• Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Camino del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Tiempo de viaje para velocidad lineal con la profundidad
• Punto de máxima profundidad
• Frente de onda para velocidad lineal con la profundidad
• Migración en el caso de velocidad constante
• Implementación de la migración
• Apéndice B: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Two orthogonal sets of circles/es