La derivada direccional

**Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing**
Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

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Dada la función $$ t(x) $$ de una sola variable, la regla de la cadena es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{dt}{d\sigma }&{\rm =}\frac{dt}{dx}\frac{dx}{d\sigma }. \end{align}

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La regla de la cadena se puede extender a funciones de varias variables. Por ejemplo, la regla de la cadena para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t(x,y) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{dt}{d\sigma }&{\rm =}\frac{\partial t}{\partial x}\frac{dx}{d\sigma }{\rm +}\frac{\partial t}{\partial y}\frac{dy}{d\sigma }. \end{align}

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La derivada direccional es una generalización de una derivada parcial (Robinson y Clark, 2005a^[1]). Las derivadas parciales dan la tasa de cambio del tiempo de viaje en las direcciones de los ejes. La derivada direccional da la tasa de cambio en cualquier dirección especificada. El tiempo de viaje Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t\left(x,y\right) depende de ambos ejes de coordenadas x, y. Podríamos mantener y constante y considerar la curva que da la variación de t con x solamente. La pendiente Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial {\rm /}\partial x de esta curva se denomina derivada parcial de t con respecto a x. Definimos la derivada parcial Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial t/\partial y de manera similar.

En general, queremos saber la pendiente en una dirección arbitraria. Recordemos que un vector unitario es un vector con una longitud o magnitud de uno. Podemos convertir cualquier vector en un vector unitario en la misma dirección dividiendo el vector por su magnitud. Por lo tanto, el vector unitario para el ángulo de dirección Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \gamma (medido desde la horizontal) se puede representar mediante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \mathbf{w=}\left({\rm \ cos\ }\gamma {\rm ,\ sin\ }\gamma \right) . Si dejamos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \sigma represente la distancia en la dirección del vector w, entonces

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{dx}{d\sigma }&{\rm =\ cos\ }\gamma {\rm \ }\frac{dy}{d\sigma }{\rm =\ sin\ }\gamma . \end{align}

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La pendiente de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t\left(x,y\right) en la dirección de este vector unitario se denomina derivada direccional. La derivada direccional es el promedio ponderado de las dos derivadas parciales, siendo los pesos el componente del vector direccional unitario. Por lo tanto, la derivada direccional viene dada por la regla de la cadena.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\partial t}{\partial\sigma }&{\rm =}\frac{\partial t}{\partial x}\frac{dx}{d\sigma }{\rm +}\frac{\partial t}{\partial y}\frac{dy}{d\sigma }{\rm =}\frac{\partial t}{\partial x}{\rm \ cos\ }\gamma {\rm +}\frac{\partial t}{\partial y}{\rm \ sin\ }\gamma {\rm =}\left(\frac{\partial t}{\partial x},\frac{\partial t}{\partial y}\right)\cdot \left({\rm \ cos\ }\gamma {\rm ,\ sin\ }\gamma \right) . \end{align}

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Esto demuestra que la derivada direccional es el producto escalar

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\partial t}{\partial\sigma }&{\rm =} \left(\frac{\partial t}{\partial x}{\rm \ ,\ }\frac{\partial t}{\partial y}\right)\cdot \left({\rm \ cos\ }\gamma {\rm ,\ sin\ }\gamma \right){\rm =}\mathrm{grad} \textit{t}\cdot \mathbf{w}. \end{align}

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El primer vector en el producto escalar es el gradiente de traveltime. El segundo vector es el vector unitario en la dirección deseada. Las derivadas parciales son casos especiales de las derivadas direccionales. Por ejemplo, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial t{\rm /}\partial x es la derivada direccional en la dirección x. La derivada direccional se puede escribir como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\partial t}{\partial\sigma }&{\rm =} \mathrm{grad} \textit{t}\cdot \mathbf{w=|} \mathrm{grad} \textit{t} {\rm |}\cdot \mathbf{|w|\ cos\ }\alpha {\rm =|} \mathrm{grad} \textit{t}{\rm |}\cdot {\rm \ cos\ }\alpha, \end{align}

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donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha es el ángulo entre el gradiente y el vector direccional. El valor máximo de la derivada direccional se obtiene cuando el vector direccional apunta en la misma dirección que el gradiente, es decir, cuando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha {\rm =0} . Este valor máximo es igual a la magnitud de el gradiente. En otras palabras, el gradiente da la dirección de la pendiente máxima. Supongamos que el vector direccional apunta a lo largo de una línea de contorno. Como la línea de contorno está nivelada, la derivada direccional en la dirección de una línea de contorno debe ser cero. Por lo tanto, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ cos\ }\alpha debe ser cero, por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm 9}0^{{\rm o}} . Por lo tanto, el vector the gradient es ortogonal (o perpendicular) a la línea de contorno.

Ahora vamos a introducir el importante concepto de línea de flujo. Un campo vectorial es una regla que asigna un vector a cada punto (x,y). Un caso importante es el campo vectorial definido por el gradiente. Al visualizar un campo vectorial de este tipo, imaginamos que el vector grad t está asociado a cada punto. Por lo tanto, el campo vectorial asigna una dirección y una magnitud a cada punto. Si una partícula hipotética se mueve de tal manera que su dirección en cualquier punto coincide con la dirección de el gradiente en ese punto, entonces la curva traza una denominada línea de flujo. Debido a que la dirección de la línea de flujo está determinada únicamente por el campo vectorial, es imposible tener dos direcciones en el mismo punto. Por lo tanto, es imposible que dos líneas de flujo se crucen entre sí. Las líneas de contorno y las líneas de flujo asociadas son herramientas importantes para comprender el movimiento de las ondas sísmicas (Robinson y Clark, 2007^[2]).

Referencias

↑ Robinson, E. A., y R. D. Clark, 2005a, Basic seismology 10 - The king’s chamber and sesmic ray direction: The Leading Edge, 24, no. 5, 485–487.
↑ Robinson, E. A. y R. D. Clark, 2007, Michael Faraday and the eikonal equation: The Leading Edge, 26, no. 1, 24–26.

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Vínculos externos

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The directional derivative/es

[ch02r9-1] Robinson, E. A., y R. D. Clark, 2005a, Basic seismology 10 - The king’s chamber and sesmic ray direction: The Leading Edge, 24, no. 5, 485–487.

[ch02r11-2] Robinson, E. A. y R. D. Clark, 2007, Michael Faraday and the eikonal equation: The Leading Edge, 26, no. 1, 24–26.

[1]

[2]

La derivada direccional

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