El principio de tiempo mínimo

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

El gradiente es un concepto que resulta familiar para todos aquellos que han escalado una montaña (Figura 8). A medida que un escalador asciende por la montaña, experimenta la tasa de cambio de elevación. El gradiente es el vector (porque tiene magnitud y dirección) que apunta en la dirección más empinada (es decir, la dirección en la que la tasa de cambio es mayor). La magnitud del vector del gradiente es la tasa de cambio de la elevación a lo largo de este camino. Por lo tanto, si el escalador sigue continuamente el gradiente, tomará el camino más empinado hacia la cima de la montaña. Este camino más empinado se denomina línea de flujo.

Usando otra analogía, un esquiador quiere descender por el camino más empinado disponible para él en su posición actual en una colina. El gradiente negativo es el vector que apunta en la dirección más empinada cuesta abajo. Este camino más empinado hacia abajo se llama línea de caída. La línea de caída siempre está en la dirección del gradiente negativo de la función cuyo gráfico representa la superficie de la colina. La línea de caída y la línea de flujo correspondiente coinciden. La línea de caída cambiará de dirección a medida que el esquiador baje de una posición a otra. Un esquiador siente la línea de caída y obtiene pistas visuales sobre su ubicación. Los ojos del esquiador pueden detectar cambios locales en la inclinación de la colina. Las piernas del esquiador indican si están en la línea de caída o fuera de ella. Cuando un esquiador está esquiando en la línea de caída, siente la misma presión en ambas piernas. Todas las fuerzas se canalizan en una dirección paralela a los esquís. Esquiar en cualquier otra dirección da como resultado una presión en una pierna que difiere de la presión en la otra. En otras palabras, esquiar en línea de caída significa que el esquiador sigue la dirección de la pendiente negativa hasta el final de la colina.

Figure 8.  Los caminos más empinados son las líneas de flujo. Los caminos de nivel son las líneas de contorno. Los dos conjuntos son ortogonales (es decir, en ángulos rectos).

El río Misisipi es un ejemplo geológico. Al depositar arena y limo, el Misisipi ha creado la mayor parte de Luisiana. El propósito del río es llegar al Golfo de México en el menor tiempo posible. El río quiere seguir la dirección del gradiente negativo, que es el camino de descenso más pronunciado. En otras palabras, como todos los ríos, el Misisipi está destinado a seguir una línea de flujo. Si el río hubiera seguido un solo canal, el sur de Luisiana sería una península larga y estrecha que llegaría hasta el Golfo de México. Sin embargo, el río ha depositado sedimentos en una amplia zona. Con el tiempo, a medida que continúa transportando y depositando más sedimentos, el río se alarga y su desembocadura avanza hacia el sur. La pendiente de su camino disminuye, la corriente se ralentiza y los sedimentos acumulan el lecho del río. Finalmente, el lecho se acumula tanto que el río se desborda por la orilla izquierda o derecha y se desvía en una nueva dirección, para seguir lo que ahora se ha convertido en el camino más empinado hacia abajo.

El sur de Luisiana existe en su forma actual porque periódicamente el río Misisipi ha cambiado radicalmente su curso saltando de un lado a otro dentro de un arco de unos 320 kilómetros de ancho. Los grandes cambios de esa naturaleza han tendido a ocurrir aproximadamente una vez cada milenio. Hace unos 1000 años, el cauce del Misisipi cambió al curso actual del río. Hoy, el río Misisipi ha avanzado mucho más allá de Nueva Orleans y se ha adentrado en el Golfo de México. El río Misisipi quiere cambiar su curso nuevamente para seguir una ruta más corta y empinada, pero los ingenieros han construido un sistema de diques para evitar que el río se desborde y cambie de curso.

Pierre de Fermat (1601–1665) formuló la regla conocida como el principio de Fermat del tiempo mínimo. En su enunciado original, Fermat afirmó que la trayectoria de los rayos que sigue la luz al viajar entre dos puntos cualesquiera es tal que el tiempo que tarda es mínimo. En otras palabras, las trayectorias de los rayos son las líneas de flujo. Con el tiempo, el enunciado original de Fermat sufrió algunas ampliaciones. El principio de Fermat se expresa ahora como: La trayectoria de los rayos que sigue la luz al viajar entre dos puntos cualesquiera es tal que el tiempo que tarda es estacionario con respecto a las variaciones de esa trayectoria. Estacionario significa que el tiempo de viaje puede ser un mínimo o puede ser un máximo o puede ser un punto de inflexión que tenga una tangente horizontal. Más específicamente, el tiempo de viaje de la trayectoria verdadera (es decir, el camino del rayo) será igual, en una primera aproximación, al tiempo de viaje de los caminos en las inmediaciones. La energía que viaja a lo largo de estos caminos vecinos llegará al destino aproximadamente al mismo tiempo por rutas que difieren solo ligeramente. Por lo tanto, estos caminos vecinos tenderán a reforzarse entre sí. La energía que toma otros caminos llega desfasada y, por lo tanto, tiende a cancelarse. El resultado neto es que la energía se propaga efectivamente a lo largo de los caminos de los rayos (es decir, los caminos que satisfacen el principio de Fermat). De esta manera, el principio de Fermat ayuda a explicar por qué la luz es tan inteligente en sus meandros.

Un socorrista en la playa en A ve a una persona que se está ahogando en el agua en E (Figura 9a). ¿Qué camino debe tomar el socorrista para rescatar a la persona que se está ahogando en el menor tiempo posible? El socorrista podría verse tentado a tomar el camino en línea recta ACE porque representa la distancia mínima que debe recorrer. Sin embargo, sabe que puede correr más rápido en la playa que nadando en el agua. Como resultado, vale la pena recorrer una distancia más larga AD en tierra firme para recorrer una distancia reducida DE en el agua. Por lo tanto, al correr a D y luego nadar a E, el socorrista no minimiza la distancia que debe recorrer, pero sí minimiza el tiempo requerido para llegar a la persona que se está ahogando. Por otro lado, supongamos que el socorrista fuera una foca. La foca camina lentamente en la tierra pero nada rápidamente. La foca tomaría el camino ABE. De hecho, por instinto, una persona en el agua irá en línea recta hacia la tierra, mientras que una foca en la tierra irá en línea recta hacia el agua.

Figure 9.  (a) Para un ser humano, la trayectoria de menor tiempo es ADE. Para una foca, la trayectoria de menor tiempo es ABE. (b) La trayectoria de rayos es ortogonal a los frentes de onda. La trayectoria de prueba está sesgada a los frentes de onda.

Supongamos un medio isótropo en el que la velocidad varía continuamente, de modo que no existe una interfaz en la que pueda producirse reflexión o refracción. Ahora demostramos que, en tal caso, el principio de Fermat se cumple en su formulación original (es decir, el tiempo de viaje es un mínimo). Sea un camino arbitrario entre dos frentes de onda (Figura 9b). Este camino arbitrario se denomina "camino de prueba". Primero, averigüemos qué sucede entre dos frentes de onda muy próximos entre sí. Como los frentes de onda están tan cerca uno del otro, podríamos considerar que las partes de ellos dentro de una pequeña región son dos líneas rectas paralelas. El camino de prueba "AC" sería una línea recta entre los dos frentes de onda, y la línea de flujo "AB" sería una línea recta ortogonal a ambos frentes de onda. Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta es el ángulo entre la trayectoria de prueba y la línea de flujo, si ds es igual a la longitud de la línea de flujo y si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): d\sigma es la longitud de la trayectoria de prueba, entonces Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): d\sigma {\rm =} {ds/cos} \theta . .

Ahora utilizamos el hecho de que el medio es isótropo, es decir, que la velocidad en cualquier punto es la misma en todas las direcciones. Por lo tanto, el tiempo que tarda la energía en atravesar la línea de flujo es $ dt{\ =\ }nds $, donde la lentitud n se define como el recíproco de la velocidad. Asimismo, el tiempo que tarda en atravesar la trayectoria de prueba es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} d\tau {\ =}\ n \ d\sigma {\ =}\ n \textit{ds/cos} \theta . \end{align}

(12)

El tiempo de viaje a lo largo de la línea de flujo entre los dos frentes de onda es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t{\rm =}\int{n} ds . El tiempo de viaje a lo largo de la trayectoria de prueba es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tau {\rm =}\int{\left(n/{\rm \ cos\ }\theta \right)} ds . Como cosFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta en cualquier punto es siempre menor o igual a uno, se deduce que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t\le \tau . Por lo tanto, el tiempo de viaje a lo largo de la línea de flujo es menor que el tiempo de viaje a lo largo de cualquier trayectoria de prueba, excepto a lo largo de la propia línea de flujo. Finalmente, la línea de flujo, es decir, la línea cuya dirección en cualquier punto coincide con la dirección del gradiente, es la ruta de menor tiempo.

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La derivada direccional	La ecuación de Eikonal
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Movimiento de ondas	Visualización
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Sismología de Reflexión
• Procesamiento digitales
• Realce de señales
• Migración
• Interpretación
• Rayos
• Vector unitario tangente
• Tiempo de viaje
• El gradiente
• La derivada direccional
• La ecuación de Eikonal
• Ley de Snell
• Ecuación del rayo
• Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Camino del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Tiempo de viaje para velocidad lineal con la profundidad
• Punto de máxima profundidad
• Frente de onda para velocidad lineal con la profundidad
• Dos conjuntos ortogonales de círculos
• Migración en el caso de velocidad constante
• Implementación de la migración
• Apéndice B: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about The principle of least time/es