Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad

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Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Series Geophysical References Series
Title Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter 2
DOI http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN 9781560801481
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Supongamos que tenemos un medio estratificado 2D con coordenadas horizontales x y coordenadas de profundidad y. Trabajamos en el primer cuadrante, por lo que la superficie de la Tierra es la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y{\rm =0} . El eje y en la dirección ascendente indica la profundidad. Suponemos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_0 , a son dos constantes positivas conocidas. Sea la velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v\left(x,y\right){\rm =}v_0{\ +}\ a\ y aumenta linealmente con la profundidad y pero no varía con la coordenada horizontal x. De ello se deduce que la lentitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\left(x,y\right){\rm =}\ {\rm 1}/v\left(x,y\right) disminuye con la profundidad. Porque


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\partial n}{\partial y}&{\rm =}\frac{\partial v^{-{\rm 1}} }{\partial y}{\rm =}-v^{-{\rm 2}}\frac{\partial v}{\partial y}{\rm =}-\frac{a}{v^{{\rm 2}}}, \end{align} (26)

de ello se deduce que el gradiente de la lentitud es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \mathrm{grad}\ \textit{n}&{\rm =}\left(\frac{\partial n}{\partial x}{\rm ,\ }\frac{\partial n}{\partial y}\right){\rm =}\left({\rm 0,\ }\frac{\partial n}{\partial y}\right){\rm =}\left({\rm 0,\ }-\frac{a}{v^{{\rm 2}} }\right). \end{align} (27)

Vemos que en este caso el gradiente de lentitud es un vector que siempre apunta en dirección negativa sobre el eje de profundidad. En otras palabras, el gradiente de lentitud apunta verticalmente hacia la superficie de la Tierra.

En la teoría de rayos, es convencional dejar que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta sea el ángulo entre la dirección positiva y y la trayectoria del rayo. Por lo tanto, el vector tangente unitario al rayo es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \mathbf{u=}\frac{d\mathbf{r}} {ds}&{\rm =}\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right){\rm =}\left({\rm \ sin\ }\theta {\rm ,\ cos\ }\theta \right) . \end{align} (28)

Parece extraño ver el seno y el coseno en este orden, pero es una trampa incorporada de la teoría de rayos a la que uno debe acostumbrarse. La ecuación de rayos


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}\left(n\mathbf{u}\right)&{\rm =}\mathrm{grad}\ \textit{n} \end{align} (29)

se convierte en


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Debido a que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial n/\partial x{\rm =0} , el primer componente de la ecuación de rayos 30 es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}&\left(n{\rm \ sin\ }\theta \right){\rm =0}, \end{align} (31)

que dice que $ n{\rm {\ sin\ }}\theta $ es una constante. Esta constante se designa con p y se llama parámetro de Snell. Por lo tanto, el primer componente 31 de la ecuación de rayos da la llamada ecuación de Snell,


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} p{\rm =}n{\rm \ sin\ }\theta {\rm =}\mathrm{constant}. \end{align} (32)

El seno se refiere al componente horizontal. La ecuación 32 dice que el componente horizontal del vector de trayectoria del rayo nu es el mismo en todos los puntos a lo largo de la trayectoria del rayo. En el punto de disparo, el rayo forma el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_0 con la vertical. Elija un punto específico (x,y) en la trayectoria del rayo. Designe el ángulo en este punto mediante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta . La ecuación de Snell dice que


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} p&=\frac{\mathrm{sin}\theta_{0}} {v_{0}}=\frac{\mathrm{sin}\theta}{v} \end{align} (33)

El segundo componente de la ecuación de rayos 30 es


$ {\begin{aligned}{\frac {d}{ds}}&\left(n{\rm {\ cos\ }}\theta \right){\rm {=}}{\frac {\partial n}{\partial y}}.\end{aligned}} $ (34)

El coseno se refiere al componente vertical. Si realizamos la diferenciación en el lado izquierdo de la ecuación 34, obtenemos


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &-n{\rm \ sin\ }\theta \frac{d\theta }{ds}{\rm +\ cos\ }\theta \frac{dn}{dy}\frac{dy}{ds}{\rm =}\frac{\partial n}{\partial y} , \end{align} (35)

lo cual da


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o


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o


$ {\begin{aligned}{\frac {d\theta }{ds}}&{\rm {=}}-v{\rm {\ sin\ }}\theta \left(-{\frac {a}{v^{\rm {2}}}}\right).\end{aligned}} $ (38)

De ello se deduce que el segundo componente 34 de la ecuación de rayos da


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d\theta }{ds}&{\rm =}\frac{a{\rm \ sin\ }\theta }{v}{\rm =}ap{\rm =}\frac{a{\rm \ sin\ }{\theta }_0}{v_0}. \end{align} (39)

El primer componente 31 de la ecuación de rayos (la ley de Snell) dice que "p" es constante. Por lo tanto, el segundo componente 34 de la ecuación de rayos da


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{ds}{d\theta}&=\frac{1}{pa}=\mathrm{constant}\ \Xi\ \rho \end{align} (40)

Esta ecuación es la ecuación diferencial de un círculo con radio


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \rho{\ =\ }\frac{{\rm 1}} {ap}{\ =\ }\frac{v_0}{a{\rm \ sin\ }{\theta }_0}{\ =\ }\mathrm{constant}. \end{align} (41)

En conclusión, la solución de la ecuación de rayos nos dice que la trayectoria del rayo es un arco de un círculo de radio Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \rho.


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