Camino del rayo para velocidad lineal con la profundidad

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Los diferenciales de la distancia horizontal y la distancia vertical son, respectivamente,

$ {\begin{aligned}&dx{\ =\ sin\ }\theta \ ds{\ =}\ \rho {\rm {\ sin\ }}\theta \ d\theta {\ ,\ }dy{\ =\ cos\ }\theta \ ds{\ =}\ \rho {\rm {\ cos\ }}\theta \ d\theta .\end{aligned}} $

(42)

Sea una partícula de energía que parte del origen $ \left(x{\rm {=0,\ }}y{\rm {=0}}\right) $, donde la trayectoria forma un ángulo inicial $ {\theta }_{0} $ con la vertical. La partícula viaja a lo largo de un arco circular hasta el punto $ \left(x{\rm {,\ }}y\right) $, donde la trayectoria forma un ángulo $ \theta $ con la vertical. Deseamos encontrar las coordenadas $ \left(x{\rm {,\ }}y\right) $. La distancia horizontal está dada por

$ {\begin{aligned}x&{\ =\ }\rho \int _{{\theta }_{\rm {o}}}^{\theta }{\rm {\ sin\ }}\theta \ d\theta {\ =}-\rho {\rm {\ cos\ }}\theta {\rm {+}}\rho {\rm {\ cos\ }}{\theta }_{0}\end{aligned}} $

(43)

y la distancia vertical está dada por

$ {\begin{aligned}y&{\rm {=}}\rho \int _{{\theta }_{0}}^{\theta }{\rm {\ cos\ }}\theta \ d\theta {\ =\ }\rho {\rm {\ sin\ }}\theta -\rho {\rm {\ sin\ }}{\theta }_{0}.\end{aligned}} $

(44)

Las ecuaciones 43 y 44 son ecuaciones paramétricas de un círculo (Figura 11). El centro de este círculo es el punto "C", con coordenadas

Figure 11.  Los arcos de los círculos que pasan por el origen representan trayectorias de rayos con diferentes ángulos iniciales. Los círculos con centros en el eje de profundidad representan frentes de onda con diferentes tiempos de viaje.

$ {\begin{aligned}C&{\ =\ }\left(x_{C}{\rm {,\ }}y_{C}\right){\rm {=}}\left(\rho {\rm {\ cos\ }}{\theta }_{0}{\rm {,\ }}-\rho {\rm {\ sin\ }}{\theta }_{0}\right){\rm {=}}\left({\frac {v_{0}}{a{\rm {\ sin\ }}{\theta }_{0}}}{\rm {\ cos\ }}{\theta }_{0}{\rm {\ ,\ }}-{\rm {\ }}{\frac {v_{0}}{a{\rm {\ sin\ }}{\theta }_{0}}}{\rm {\ sin\ }}{\theta }_{0}\right)\\&{\rm {=}}\left({\frac {v_{0}}{a{\rm {\ tan\ }}{\theta }_{0}}}{\rm {,\ }}-{\frac {v_{0}}{a}}\right).\end{aligned}} $

(45)

En términos del parámetro de Snell "p", el centro es

$ {\begin{aligned}C&{\rm {=}}\left(x_{C},y_{C}\right){\rm {=}}\left({\frac {\rm {1}}{ap}}{\rm {\ cos\ }}{\theta }_{0}{\rm {,\ }}-{\frac {v_{0}}{a}}\right){\rm {=}}\left({\frac {\rm {1}}{ap}}{\left({\rm {1}}-p^{\rm {2}}v_{0}^{\rm {2}}\right)}^{\rm {1/2}}{\rm {,\ }}-{\frac {v_{0}}{a}}\right).\end{aligned}} $

(46)

Como observó Slotnick (1959), la trayectoria del rayo está dada por la ecuación de un círculo de radio 1/ap, cuyo centro está en el punto con coordenadas

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_c{\rm =} {\left({\rm 1}-p^{{\rm 2}} v^{{\rm 2}}_0\right)}^{{\rm 1/2}} /{ap},\ y_C{\rm =}-v_0\ \textit{la}. \end{align}

(47)

Tenga en cuenta que la coordenada "y" del centro es independiente del parámetro "p".

Por lo tanto, podemos escribir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de rayos circular como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x&{\rm =}-\left(\frac{v_0}{a{\rm \ sin\ }{\theta }_{{\rm o}}}\right){\rm \ cos\ }\theta {\rm +}\frac{v_0}{a{\rm \ }{\rm tan\ }{\theta }_0} \end{align}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &y{\rm =}\left(\frac{v_0}{a{\rm \ sin\ }{\theta }_0}\right){\rm \ sin\ }\theta -\frac{v_{{\rm o}} }{a}. \end{align}

(48)

Tenga en cuenta que el componente vertical Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -v_0/a no depende del ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_0 . Como resultado, la familia de rayos con la función de velocidad dada está formada por el origen y que tienen sus centros en la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y{\rm =} -v_0/a. . La trayectoria circular del rayo comienza en el origen (que es el punto de disparo). La tangente al círculo en el punto de disparo forma un ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_0 con el eje "y" positivo.

A menudo, solo sabremos que el rayo pasa por un cierto punto, digamos, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): B{\rm =}\left(x{\rm ,\ }y\right) , y debemos determinar la ecuación del rayo. Este problema se puede resolver como se describe aquí y se muestra en la Figura 12. Dibuje la línea "OB". El punto medio de esta línea es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): A{\rm =}\ {\rm (}x/{\rm 2}, \textit{y/2}{\rm )} . El centro del círculo de trayectoria de rayos debe estar en la bisectriz perpendicular de la línea OB. El centro del círculo de trayectoria de rayos también debe estar en la línea horizontal que pasa por el punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({\rm 0,\ }-v_0/a\right) . La intersección de estas dos líneas de determinación da el centro E Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): E{\rm =}\left(x_E{\rm ,\ }-v_0/a\right) del círculo de trayectoria de rayos. A partir de la geometría, vemos que

Figure 12.  Determinación de la ecuación de un rayo que pasa por un punto B. Utilice el hecho de que el origen O también es un punto en el rayo. Conecte estos dos puntos conocidos con la línea OB. Utilice el hecho de que el rayo es un círculo. Por lo tanto, el centro se encuentra en la bisectriz perpendicular AE de la línea OB. Utilice el hecho de que este centro también se encuentra en la línea JE en la que la velocidad sería cero. Por lo tanto, el centro está en la intersección E de estas dos líneas. El radio está dado por la línea EB. La trayectoria del rayo es el círculo con este centro y radio.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_E{\rm =}JE{\rm =}JG{\rm +}GE{\rm =}OF{\rm +}GE{\rm =}OF{\rm +}AG{\rm \ tan\ }\alpha\\ {\rm =}\frac{x}{{\rm 2}} {\rm +}\left(\frac{y}{{\rm 2}}{\rm +}\frac{v_0}{a}\right)\frac{y}{x}{\rm =}\frac{x^{{\rm 2}}{\rm +}y^{{\rm 2}}}{{\rm 2}x}{\rm +}\frac{v_0}{a}\frac{y}{x}. \end{align}

(49)

Así, hemos determinado el centro "E". El radio es

$ {\begin{aligned}&\rho {\rm {=}}OE{\rm {=}}{\sqrt {OJ^{\rm {2}}{\rm {+}}JE^{\rm {2}}}}{\rm {=}}{\sqrt {{\left({\frac {v_{0}}{a}}\right)}^{\rm {2}}{\rm {+}}{\left({\frac {x^{\rm {2}}{\rm {+}}y^{\rm {2}}}{{\rm {2}}x}}{\rm {+}}{\frac {v_{0}}{a}}{\frac {y}{x}}\right)}^{\rm {2}}}}.\end{aligned}} $

(50)

El ángulo inicial de la trayectoria del rayo es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\theta }_0&{\rm =\ arcsin\ }\frac{v_{0}} {a\rho} \end{align}

(51)

Sigue leyendo

Sección previa	Siguiente sección
Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad	Tiempo de viaje para velocidad lineal con la profundidad
Capítulo previo	Siguiente capítulo
Movimiento de ondas	Visualización
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Sismología de Reflexión
• Procesamiento digitales
• Realce de señales
• Migración
• Interpretación
• Rayos
• Vector unitario tangente
• Tiempo de viaje
• El gradiente
• La derivada direccional
• El principio de tiempo mínimo
• La ecuación de Eikonal
• Ley de Snell
• Ecuación del rayo
• Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Tiempo de viaje para velocidad lineal con la profundidad
• Punto de máxima profundidad
• Frente de onda para velocidad lineal con la profundidad
• Dos conjuntos ortogonales de círculos
• Migración en el caso de velocidad constante
• Implementación de la migración
• Apéndice B: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Raypath for velocity linear with depth/es