La ecuación de Eikonal

**Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing**
Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

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Si el frente de onda dado está en el tiempo t y el nuevo frente de onda está en el tiempo $t{\rm {+}}dt$ , entonces el tiempo de recorrido a lo largo del rayo es dt. Si s mide la longitud de la trayectoria a lo largo del rayo dado, entonces la distancia de recorrido en el tiempo dt es ds. Los incrementos dt y ds están relacionados por la lentitud, es decir, dt = nds. Por lo tanto, La derivada direccional en la dirección de la trayectoria del rayo es igual a la lentitud, es decir, $n{\rm {=}}dt/ds$ . La derivada direccional se puede escribir en términos de sus componentes como

{\begin{aligned}{\frac {dt}{ds}}&{\rm {=}}{\frac {\partial t}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}{\rm {+}}{\frac {\partial t}{\partial y}}{\frac {dy}{ds}}{\ =}\ \mathrm {grad} \ {\textit {t}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}.\end{aligned}}

(13)

Traducciones:La ecuación eikonal - libro/3/es Como $d\mathbf {r} /ds=\mathbf {u}$ , se deduce que la ecuación 13 se convierte en ${dt/ds}{\ =}\ \mathrm {grad} \ {t}\cdot \mathbf {u}$ o Failed to parse (syntax error): n{\ =} \mathrm{grad} \textit{t}\cdot \mathbf{u}.} El requisito de Fermat de que la tangente unitaria u tenga la misma dirección que el vector grad $t\left(x,y\right)$ significa que estos dos vectores están relacionados por el escalar $n\left(x,y\right)$ . Por lo tanto, la relación se puede escribir como

{\begin{aligned}\mathrm {grad} \ {\textit {t}}\left(x,y\right){\ =}\ n\left(x,y\right)\mathbf {u} \left(x,y\right).\end{aligned}}

(14)

Esta ecuación es la ecuación eikonal (en forma vectorial). Llamamos a $n\left(x,y\right)\mathbf {u} \left(x,y\right)$ el vector de trayectoria de rayos. La ecuación eikonal dice que el vector de trayectoria de rayos es igual al el gradiente del tiempo de viaje. El el gradiente grad $t\left(x,y\right)$ da las líneas de flujo en la superficie tiempo de viaje. Por lo tanto, la ecuación eikonal afirma que el vector de trayectoria de rayos es una línea de flujo en la superficie tiempo de viaje.

Como u es un vector unitario en la misma dirección que la de el gradiente, se deduce que $n{\rm {=}}{\rm {|}}\mathrm {grad} {\textit {t}}{\rm {|}}$ . En otras palabras, la lentitud es igual a la magnitud de el gradiente de el tiempo de viaje. Si tomamos el cuadrado de cada lado, obtenemos la ecuación eikonal (en forma escalar)

{\begin{aligned}n^{\rm {2}}&{\rm {=}}{\left({\frac {\partial t}{\partial x}}\right)}^{\rm {2}}{\rm {+}}{\left({\frac {\partial t}{\partial y}}\right)}^{\rm {2}}\end{aligned}}

(15)

La ecuación eikonal 15 dice que la magnitud del el gradiente del tiempo de viaje es igual a la lentitud (Robinson y Clark, 2003^[1]).

La ecuación eikonal 14 dice que en cualquier punto, el gradiente del tiempo de viaje es igual a la lentitud n multiplicada por la tangente unitaria al rayo. Por lo tanto, el gradiente y la tangente van en la misma dirección. Como el gradiente es ortogonal al frente de onda y la tangente va a lo largo del rayo, se deduce que el rayo es ortogonal al frente de onda:

{\begin{aligned}\left({\frac {\partial t}{\partial x}}{\rm {\ ,\ }}{\frac {\partial t}{\partial y}}\right){\rm {=\ }}n\left({\rm {\ cos\ }}\theta {\rm {,\ sin\ }}\theta \right).\end{aligned}}

(16)

El lado izquierdo de la ecuación 16 involucra al frente de onda; el lado derecho involucra al rayo. Como hemos visto, la velocidad se llama rapidez. El recíproco de la velocidad es lentitud. El nexo de unión es la lentitud. En la ecuación anterior, la función $t\left(x,y\right)$ es el tiempo de viaje desde la fuente hasta el punto con las coordenadas (x,y), y $n\left(x,y\right){\rm {=}}{\rm {1}}/v\left(x,y\right)$ es la lentitud (o velocidad recíproca) en ese punto. Las rapidezes aparentes a lo largo de las direcciones de las coordenadas son, respectivamente, $\partial x{\rm {/}}\partial t,\partial y/\partial t$ . Por lo tanto, las lentitud aparentes a lo largo de las direcciones de coordenadas son $\partial t{\rm {/}}\partial x,\partial t/\partial y$ . La rapidez real a lo largo de la dirección de la trayectoria del rayo es $v{\rm {=}}ds/dt$ . Por lo tanto, la lentitud real a lo largo de la dirección de la trayectoria del rayo es $n{\rm {=}}dt/ds$ .

La ecuación eikonal describe la propagación del tiempo de viaje en un medio isotrópico. Para obtener un problema de valor inicial bien planteado, es necesario conocer la función de velocidad $v\left(x,y\right)$ en todos los puntos. Además, como condición inicial, se debe especificar la fuente o algún frente de onda particular. Además, se debe elegir una de las dos ramas de las soluciones (es decir, la onda que sale de la fuente o la onda que va a la fuente). La ecuación eikonal produce entonces el campo tiempo de viaje $t\left(x,y\right)$ en el medio heterogéneo, como se requiere para Migration y otras necesidades de procesamiento sísmico.

La ecuación eikonal es una reformulación del principio de Fermat del tiempo mínimo. En otras palabras, la trayectoria de un rayo debe ser una línea de flujo. Una línea de flujo es ortogonal a todos los frentes de onda. La ecuación eikonal es la ecuación fundamental que conecta el rayo (que corresponde al fuselaje del avión) con el frente de onda (que corresponde a ambas alas del avión). Las alas permiten que el fuselaje sienta los efectos de los puntos retirados de la trayectoria del fuselaje. La ecuación eikonal hace que una onda viajera (como la imaginó Huygens) sea fundamentalmente diferente de una partícula viajera (como la imaginó Newton). Hamilton percibió que existe una dualidad onda-partícula, que proporciona la base matemática de la mecánica cuántica. El trabajo de Hamilton se basa en el principio de mínima acción, que es una formulación más general del el principio del mínimo tiempo (Robinson y Douze, 1985^[2]).

Resumamos. Hemos definido el gradiente de la superficie del tiempo de viaje. También hemos definido la curva de la trayectoria del rayo. Hemos establecido que la dirección del rayo siempre es perpendicular a la superficie. Una onda, a medida que viaja, debe seguir la trayectoria de menor tiempo. Los frentes de onda son como las curvas de nivel de una colina. La altura de la colina se mide en tiempo. Tomemos un punto en una curva de nivel. ¿En qué dirección apuntará el rayo? Supongamos que el rayo apunta en la dirección de la curva de nivel. En otras palabras, supongamos que la trayectoria del rayo se encuentra directamente sobre el frente de onda. A medida que la onda viaja una cierta distancia a lo largo de este rayo, tarda un tiempo, pero todo el tiempo es el mismo a lo largo del frente de onda. Por lo tanto, una onda no puede viajar a lo largo de un frente de onda. De ello se deduce que un rayo debe apuntar en dirección opuesta a un frente de onda.

Supongamos ahora que un rayo apunta en dirección contraria al frente de onda. La onda quiere tardar el menor tiempo posible en viajar hasta el nuevo frente de onda. Por isotropía, la velocidad de la onda es la misma en todas las direcciones. Como el tiempo de viaje es la velocidad multiplicada por la distancia, la onda quiere tomar el camino del rayo que recorra la distancia más corta. La distancia más corta es a lo largo del camino que no tiene componente a lo largo del frente de onda; es decir, la distancia más corta es a lo largo de la normal al frente de onda. En otras palabras, el camino del rayo debe ser ortogonal (es decir, en ángulo recto) al frente de onda. Por lo tanto, el vector tangente unitario del rayo u debe ser ortogonal al frente de onda. Por definición, el gradiente es un vector que apunta en la dirección ortogonal al frente de onda. Por lo tanto, el vector tangente unitario del rayo u y el gradiente grad t del frente de onda deben apuntar en la misma dirección.

La propiedad pitagórica del triángulo rectángulo es fundamental para comprender la propagación de las ondas en un medio isotrópico, en el que el frente de onda se mueve a lo largo de trayectorias de rayos que siempre son perpendiculares al frente de onda. Por lo tanto, la clave para el movimiento de las ondas en un medio isotrópico es el ángulo recto. Tanto los frentes de onda como las trayectorias de rayos revelan la propagación de una onda viajera, y cada enfoque tiene sus propios méritos.

Referencias

↑ Robinson, E. A., y R. D. Clark, 2003, La ecuación eikonal y el teorema secreto de Pitágoras: La vanguardia, 22, no. 8, 749–750.
↑ Robinson, E. A., y E. J. Douze, 1985, Trazado de rayos y modelado sísmico: imágenes acústicas, 14, 169–186.

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[ch02r8-1] Robinson, E. A., y R. D. Clark, 2003, La ecuación eikonal y el teorema secreto de Pitágoras: La vanguardia, 22, no. 8, 749–750.

[ch02r12-2] Robinson, E. A., y E. J. Douze, 1985, Trazado de rayos y modelado sísmico: imágenes acústicas, 14, 169–186.

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La ecuación de Eikonal

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