Ecuación del rayo

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	2
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Necesitamos entender cómo un rayo que se mueve a lo largo de una trayectoria particular -por ejemplo, un rayo sísmico- puede saber qué es una trayectoria extrema en el sentido variacional. Para ilustrar el problema, consideremos una onda sísmica que viaja a través de un medio cuya lentitud "n" aumenta en la dirección de viaje. Debido a que la trayectoria del rayo es paralela al gradiente de la lentitud, no sufre curvatura. Sin embargo, si las líneas de contorno de la lentitud están en un ángulo con el rayo, entonces el rayo se curvará, aunque la lentitud en cada punto a lo largo de la trayectoria sea idéntica a la que era antes, cuando no había curvatura. Esto demuestra que la trayectoria de un rayo no se puede explicar únicamente en términos del valor de la lentitud en esa trayectoria. También debemos considerar la lentitud a lo largo de las trayectorias vecinas, es decir, a lo largo de las trayectorias no tomadas.

La explicación ondulatoria clásica, propuesta por Huygens, resuelve este problema diciendo que la luz no se propaga en forma de un único rayo. Según la interpretación ondulatoria, la luz se propaga como un frente de onda que posee un ancho transversal. Si una pequeña sección de un frente de onda que se propaga encuentra el mismo valor de lentitud a lo largo de su ancho, entonces el rayo no se doblará. Si una pequeña sección de un frente de onda que se propaga encuentra diferentes valores de lentitud a lo largo de su ancho, entonces el rayo se doblará. La cantidad de curvatura depende del gradiente de lentitud. El frente de onda se propaga más rápidamente en el lado donde la lentitud es baja (es decir, donde la velocidad es alta) que en el lado donde la lentitud es alta. Como resultado, el frente de onda gira naturalmente en la dirección de lentitud creciente.

En esta sección, el vector de posición r siempre representa un punto en una trayectoria de rayos específica y no cualquier punto arbitrario en el espacio. A medida que aumenta el tiempo, r traza la trayectoria de rayos particular en cuestión. El rayo sísmico en cualquier punto dado sigue la dirección del el gradiente del campo tiempo de viaje Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t\mathbf(r) . Como antes, sea u el vector unitario a lo largo del rayo. El rayo en general seguirá una trayectoria curva, y el vector de trayectoria de rayos $ n\mathbf {\ u} $ será tangente a esta trayectoria de rayos curva.

Derivemos la ecuación de rayos. Esta ecuación nos dice cómo cambia el vector de trayectoria de rayos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\mathbf{u} a lo largo de la trayectoria de rayos curva. La ecuación para el el vector tangente unitario es

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(17)

También sabemos que

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(18)

Por lo tanto, el vector tangente unitario u es

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(19)

La lentitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\left(x,y\right) es una función escalar que depende de las coordenadas x e y. Sin embargo, podemos mantener y constante y considerar la curva que da la variación de la lentitud con x solamente. La pendiente de esta curva Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial n/\partial x se llama derivada parcial de la lentitud con respecto a x. La derivada parcial Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial n/\partial y se define de manera similar. El gradiente de la superficie de lentitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\left(x,y\right) es el vector con estas derivadas parciales como componentes; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \mathrm{grad}\ \textit{n}&{\ \rm =}\left(\frac{\partial n}{\partial x}{\rm ,\ }\frac{\partial n}{\partial y}\right). \end{align}

(20)

Sabemos que el gradiente del tiempo de viaje es

$ {\begin{aligned}\mathrm {grad} \ {\textit {t}}&{\ {\rm {=}}}\left({\frac {\partial t}{\partial x}},{\frac {\partial t}{\partial y}}\right).\end{aligned}} $

(21)

Recordamos la ecuación eikonal 14. Ahora haremos los cálculos. Tomamos la derivada de la ecuación eikonal con respecto a la longitud del camino s. Obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}\ \left(n\mathbf{u}\right)&{\rm =}\frac{d}{ds}{\rm (}\mathrm{grad}\ \textit{t}{\rm )}. \end{align}

(22)

En el lado derecho, intercambiamos las dos operaciones para obtener

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}&{\rm (}\mathrm{grad}\ \textit{t}{\rm )=}\mathrm{grad}\ (\frac{dt}{ds}{\rm )}. \end{align}

(23)

Reconocemos a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \partial t{\rm /}\partial s como la lentitud n. Por lo tanto, el lado derecho de la ecuación 23 es el gradiente de la lentitud, por lo que podemos escribir

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}&{\rm (}\mathrm{grad}\ \textit{t}{\rm )=}\mathrm{grad}\ (n{\rm )}. \end{align}

(24)

Si juntamos las ecuaciones anteriores obtenemos la ecuación del rayo

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{d}{ds}\ \left(n\mathbf{u}\right)&{\rm =}\mathrm{grad}\ \textit{n}. \end{align}

(25)

La ecuación de rayos 25 dice que la tasa de cambio del vector de trayectoria de rayos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\mathbf{u} es igual al el gradiente de la lentitud. Sabemos que la ecuación eikonal 14 dice que el vector de trayectoria de rayos es una línea de flujo en la superficie tiempo de viaje. La ecuación de rayos dice que la tasa de cambio del vector de trayectoria de rayos es una línea de flujo en la superficie de lentitud.

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Ley de Snell	Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad
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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Sismología de Reflexión
• Procesamiento digitales
• Realce de señales
• Migración
• Interpretación
• Rayos
• Vector unitario tangente
• Tiempo de viaje
• El gradiente
• La derivada direccional
• El principio de tiempo mínimo
• La ecuación de Eikonal
• Ley de Snell
• Ecuacón del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Camino del rayo para velocidad lineal con la profundidad
• Tiempo de viaje para velocidad lineal con la profundidad
• Punto de máxima profundidad
• Frente de onda para velocidad lineal con la profundidad
• Dos conjuntos ortogonales de círculos
• Migración en el caso de velocidad constante
• Implementación de la migración
• Apéndice B: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Ray equation/es