Ondículas

**Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing**
Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	7
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

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Una gota de rocío sobre una planta bebé
ha doblado para siempre el roble real
una onda sobre una ola escasa
ha cambiado el curso de muchos ríos

- Autor desconocido

Faraday (1831)^[1] investigó los patrones del agua producidos bajo vibración. Las ondulaciones transitorias revelaron patrones distintos. A partir de las ondulaciones, Faraday discernió una condición oscilatoria que resultó útil en sus posteriores investigaciones sobre la luz. De la misma manera, los geofísicos deben investigar cada ondulación en una ondícula sísmica para desentrañar los secretos profundos de la tierra.

¿Qué es una wavelet? Una wavelet es una señal que tiene energía finita (Robinson, 1962^[2], 1964a^[3], 1964^[4]b). En otras palabras, una wavelet es una forma de onda con la mayor parte de su energía confinada a un intervalo finito en la escala de tiempo. Una wavelet se puede escribir como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b=\ \left({\dots ,\ }b_{-2}{\ ,\ }b_{-1}{\ ,\ }b_0{\ ,\ }b_{{\rm l}} {\ ,\ }b_{2}{\ ,\dots}\right) , \end{align}

(1)

donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_n es el coeficiente en el tiempo discreto n. El instante de tiempo presente n = 0 representa el punto crítico en la clasificación de una wavelet. Los tiempos pasados serían todos los instantes n < 0 antes del tiempo presente, y los tiempos futuros serían todos los instantes n > 0 después del tiempo presente.

Para que conste, todos los filtros digitales que consideramos (a menos que se indique lo contrario) entran en la categoría de "filtros lineales invariantes en el tiempo". Nótese que un filtro se llama "lineal" si satisface la propiedad aditiva y la propiedad multiplicativa. Sea que una entrada dada produce una salida dada. Un filtro se llama "invariante en el tiempo" si la misma entrada retrasada (o adelantada) por una cantidad dada produce la misma salida retrasada (o adelantada) por la misma cantidad (Robinson y Silvia, 1978^[5]).

Recuerde nuestra discusión en el Capítulo 4, en la que mencionamos los tres tipos de wavelets: wavelets "causales", "no causales" y "puramente no causales". Ahora aprenderemos más sobre ellos. Recuerde también que en el Capítulo 5, vimos que un "filtro digital" está representado por una secuencia de números llamada su "respuesta al impulso" o sus "coeficientes de ponderación". Se dice que un filtro digital es causal si su salida actual (en el momento "n") depende solo de las entradas presentes y pasadas (es decir, depende solo de las entradas en los momentos "n", "n" - 1, "n" - 2, … , y así sucesivamente). Otro término para un filtro causal es un filtro "realizable". En la ecuación 2 del Capítulo 5, vimos que el filtro causal más general con un número finito de elementos de retardo tiene la forma

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{{\rm l}}Z+b_{2}Z^{2}+b_{3}Z^{3}+\dots +b_NZ^N.

Este filtro se denomina filtro de respuesta al impulso finito causal o simplemente filtro FIR causal. El conjunto de coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left\{b_0{,\ }b_{1}{\ ,\ }b_{2}{,\ }b_{3}{,\ \dots ,\ }b_N\right\} constituye la función de respuesta al impulso, que reconocemos como una ondícula causal con un número finito de coeficientes. En otras palabras, la función de respuesta al impulso de un filtro FIR causal es una ondícula causal con un número finito de coeficientes. En general, un filtro digital es causal si y solo si su función de respuesta al impulso es una ondícula causal. Un filtro digital es no causal si y solo si su función de respuesta al impulso es una ondícula no causal. Un filtro digital es puramente no causal si y solo si su función de respuesta al impulso es una ondícula puramente no causal.

Cada wavelet consta de dos componentes: el "componente causal"

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b_C=\ \left({\dots ,\ 0,0,\ }b_0{\ ,\ }b_{1}{\ ,\ }b_{2}{\, \dots }\right) , \end{align}

(2)

que se compone de todos los coeficientes para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\ge 0 (es decir, el presente y el futuro), y el "componente anticausal"

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(3)

que se compone de todos los coeficientes para n < 0 (es decir, el pasado). Una wavelet que tiene coeficientes distintos de cero en ambos componentes se dice que es no causal. Una wavelet que tiene coeficientes distintos de cero solo en el componente causal se dice que es causal. Una wavelet causal es unilateral en la escala de tiempo no negativa. Una wavelet que tiene coeficientes distintos de cero solo en el componente anticausal se dice que es anticausal (o puramente no causal). Una wavelet no causal con coeficientes iguales a cero para tiempos positivos se dice que es una wavelet no causal unilateral. En otras palabras, una wavelet no causal unilateral es unilateral en la escala de tiempo no positiva.

Un subgrupo importante de wavelets consiste en aquellos que tienen un número finito de coeficientes, es decir, el subgrupo consiste en wavelets que tienen una longitud finita. Un wavelet de longitud finita c de longitud M + N + 1 está dado por

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} c=\ \left(c_{-M},\dots ,c_{-2}{\ ,\ }c_{-1}{\ ,\ }c_0{\ ,\ }c_{1}{\ ,\ }{{\rm c}} _{2}{\ ,\ }c_N\right) , \end{align}

(4)

donde el coeficiente Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): c_0 ocurre en el índice de tiempo 0. La parte causal está formada por los coeficientes que ocurren desde el índice de tiempo 0 en adelante, y la parte anticausal está formada por los coeficientes que ocurren antes del índice de tiempo 0. Una ondícula causal de longitud finita tiene la forma

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b=\ \left(b_0{,\ }b_{1}{,\ }b_{2}{,\ \dots,\ }b_N\right) , \end{align}

(5)

donde el coeficiente Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 ocurre en el índice de tiempo 0.

¿Qué es una inversa de punto cero de una wavelet? Es posible considerar wavelets con coeficientes complejos, es decir, coeficientes de la forma u + iv, donde u, v son números reales y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): i=\sqrt{-{\rm l}} . Un ejemplo es la wavelet (i, 0.5), donde i es el coeficiente en el índice de tiempo 0 y donde 0.5 es el coeficiente en el índice de tiempo 1. Otro ejemplo es la wavelet (2 + i, 1–i, i), donde 2 +i es el coeficiente en el índice de tiempo 0, donde 1 – i es el coeficiente en el índice de tiempo 1, y donde i es el coeficiente en el índice de tiempo 2.

Una inversa de una ondícula se obtiene reflejando una ondícula dada alrededor de un índice de tiempo fijo. Para una inversa de tiempo de punto cero, el punto de reflexión es el índice de tiempo 0. Por ejemplo, la inversa de punto cero (ZPR) de la ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b=\left({\dots ,\ }b_{-2}b_{-{\rm l}}{,\ }b_0{,\ }b_{{\rm l}}{,\ }b_{2,\ .\ .\ .}\right) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b^{ZPR} = \;(...,\;b_2^* ,\;b_1^* ,\;b_0^* ,\;b_{ - 1}^* ,\;b_{ - 2}^* ,...), \end{align}

(6)

donde el asterisco denota el conjugado complejo. El coeficiente Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^*_0 ocurre en el índice de tiempo 0. Los coeficientes con índices positivos ahora son anticausales, y los coeficientes con índices no positivos ahora son causales. El reverso del punto cero de la ondícula causal de longitud finita Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b=\left(b_0{,\ }b_{{\rm l}}{,\ }b_{2}{,\dots,\ }b_N\right) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b^{ZPR} = \;\{ \;b_N^* ,...,\;b_2^* ,\;b_1^* ,\;b_0^* \} , \end{align}

(7)

donde el coeficiente Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 ocurre en el índice de tiempo 0. El único coeficiente causal distinto de cero en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{ZPR} es $b_{0}^{*}$ . Los otros coeficientes distintos de cero son anticausales. Por lo tanto, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{ZPR} es una wavelet "unilateral no causal" o es unilateral en la escala de tiempo no positiva.

Deberíamos añadir aquí una nota explicativa. Un asterisco en la posición de superíndice denota el conjugado complejo. Sin embargo, un asterisco a nivel de línea denota convolución. La convolución de dos wavelets, por ejemplo, a y b, se denota por a*b. La autocorrelación de un wavelet está dada por la convolución del wavelet con su inverso de punto cero; es decir, la autocorrelación del wavelet a es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a*a^{ZPR} . La correlación cruzada del wavelet a con el wavelet b está dada por $a*b^{ZPR}$ . La autocorrelación y la correlación cruzada como se definen aquí no están normalizadas.

Referencias

↑ Faraday, M., 1831, On the forms and states adopted by fluids in contact with vibratorting elastic surface: Philosophical Transactions of the Royal Society, Londres, 121, 319–340.
↑ Robinson, E. A., 1962, Random wavelets and cybernetic systems: Charles Griffin and Co.
↑ Robinson, E. A., 1964a, Wavelet composition of time series, en H. O. A. Wold, ed., Econometric model building, essays on the causal chain approach: North Holland Publishing Co., 37–106.
↑ Robinson, E. A., 1964b, Recursive decomposition of time series, en H. O. A. Wold, ed., Econometric model building, essays on the causal chain approach: North Holland Publishing Co., 111–168.
↑ Robinson, E. A., y M. T. Silvia, 1978, Procesamiento de señales digitales y análisis de series temporales: Holden Day, Inc.

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[ch07r3-1] Faraday, M., 1831, On the forms and states adopted by fluids in contact with vibratorting elastic surface: Philosophical Transactions of the Royal Society, Londres, 121, 319–340.

[ch07r5-2] Robinson, E. A., 1962, Random wavelets and cybernetic systems: Charles Griffin and Co.

[ch07r6-3] Robinson, E. A., 1964a, Wavelet composition of time series, en H. O. A. Wold, ed., Econometric model building, essays on the causal chain approach: North Holland Publishing Co., 37–106.

[ch07r7-4] Robinson, E. A., 1964b, Recursive decomposition of time series, en H. O. A. Wold, ed., Econometric model building, essays on the causal chain approach: North Holland Publishing Co., 111–168.

[ch07r9-5] Robinson, E. A., y M. T. Silvia, 1978, Procesamiento de señales digitales y análisis de series temporales: Holden Day, Inc.

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