Autocorrelación

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	7
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

La autocorrelación de una señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b = \{ \ldots ,b_{ - 2} ,\;b_{ - 1} ,\;b_0 ,\;b_1 ,\,b_2 ,\; \ldots se define como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_k=\sum^{\infty }_{j=-\infty}{b_{j+k}} b^{*}_j. \end{align}

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Esta fórmula proporciona el coeficiente de autocorrelación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_k para cada entero k. Para una ondícula causal de longitud finita Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b=\left\{b_0{,\ }b_{{\rm l}}{,\ }b_{2}{,\ .\ .\ .}b_{N}\right\} , la expresión se convierte en

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_k=\sum^{\infty }_{j=0}{b_{+k}}b^{*}_j=r^{*}_{-k} \mathrm{for} k=0, 1,\dots , N

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} & r_k= 0\mathrm{\ for\ } k<-N \mathrm{\ and\ } k>N \end{align}

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El asterisco en superíndice indica el conjugado complejo. El asterisco en superíndice puede omitirse excepto en los casos en que los coeficientes wavelet sean complejos.

Examinemos los wavelets, todos los cuales tienen la misma autocorrelación. Las figuras 14 a 17 muestran miembros representativos de un conjunto de wavelets, todos con la misma autocorrelación.

Figure 14.  (izquierda) La ondícula de retardo mínimo de un conjunto dado de ondículas, todas con la misma autocorrelación. (derecha) La acumulación de Energy de esta ondícula.

Figure 15.  Una ondícula de retardo mixto del conjunto dado de ondículas, todas con la misma autocorrelación (derecha). La acumulación de energía de esta ondícula.

Figure 16.  La ondícula de retardo máximo del conjunto dado de ondículas, todas con la misma autocorrelación. (derecha) La acumulación de Energy de esta ondícula.

Figure 17.  Gráfico conjunto de las curvas de acumulación de energía de las tres ondículas que se muestran en las figuras 14 a 16.

Tabla 4. Acumulaciones de energía para una ondícula de retardo mínimo, una ondícula de cuatro longitudes con retardo mixto y una ondícula de cuatro longitudes con retardo máximo.

Acumulación de energía
Tipo de ondícula	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_0	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_1	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_2	Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_3
Ondícula de retardo mínimo	4	5	5,25	5,3125
Ondícula de cuatro longitudes con retardo mixto	1	5	5,0625	5,3125
Wavelet de cuatro longitudes con retardo máximo	0,0625	0,3125	1,3125	5,3125

A continuación, demostraremos que la autocorrelación es la convolución de una señal con su inversa de punto cero. Para autocorrelacionar una wavelet, simplemente convolucionamos la wavelet con su inversa. Por ejemplo, hallemos la autocorrelación de la wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left\{b_0{,\ }b_{{\rm l}}{,\ }b_{2}\right\} . Su inversa es la wavelet anticausal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^R=\{b^{*}_{2},b^{*}_{1},b^{*}_0\} . Por lo tanto, la tabla de plegado para tal operación es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \begin{array}{*{20}c} \begin{array}{l} \\ \left. \begin{array}{l} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ \end{array} \right| \\ \\ \end{array} & \begin{array}{l} \underline {b_2^* \;\;\;\;\;\;\;b_1^* \;\;\;\;\;\;b_0^* } \\ b_0 b_2^* \;\;\;\;b_0 b_1^* \;\;\;b_0 b_0^* \\ b_1 b_2^* \;\;\;\;b_1 b_1^* \;\;\;b_1 b_0^* \\ b_2 b_2^* \;\;\;\;b_2 b_1^* \;\;b_2 b_0^* \\ \\ \end{array} \\ \end{array}. \end{align}

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Vemos que la autocorrelación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_0 para el índice de tiempo 0 es igual a la suma de la diagonal principal suroeste-noreste:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_0=b_0b^{*}_0+b_{{ 1}} b^*_{1}+b_{2}b^*_{2}. \end{align}

(48)

Para cada sumando, el primer índice menos el segundo índice es 0. El valor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_0 da la Energía de la ondícula. Trabajando hacia arriba desde la diagonal, obtenemos el Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_k para las k negativas; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_{-{ l}} =b_{1}b_{2}+b_0b^{*}_{1}. \end{align}

(49)

Para cada sumando, el primer índice menos el segundo índice es -1. Además, vemos que

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_{-2}=b_0b^*_{2}. \end{align}

(50)

El primer índice menos el segundo índice es -2. Trabajando hacia abajo desde la diagonal, obtenemos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_k para "k" positivo; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_{{ l}} =b_{2}b^*_{1}+b_{1}b^{*}_0. \end{align}

(51)

Para cada sumando, el primer índice menos el segundo es 1. Además, vemos que

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} r_{2}=b_{2}b^{*}_0. \end{align}

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El primer índice menos el segundo índice es 2. La ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b=\left\{b_0{,\ }b_{1}{\ ,\ }b_{2}\right\} se denomina señal componente de la autocorrelación. En otras palabras, una autocorrelación se obtiene mediante la convolución de una señal componente y su inverso de punto cero. Una señal componente para una autocorrelación no es única.

Ahora, demostremos que una wavelet y su inversa tienen la misma autocorrelación. La convolución se describe como una operación de plegado entre dos señales. La autocorrelación de una señal se define como la convolución de la señal con su inversa de punto cero. Consideremos la wavelet (2, 1) en la que el valor 2 ocurre en el tiempo 0. Su inversa de punto cero es (1, 2) en la que el valor 2 ocurre en el tiempo 0, por lo que su tabla de autocorrelación es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &\ \ \ \underline{1}\,\,\,\underline{2}\\ &2|2\,\,\,\,4.\\ &1|1\,\,\,\,2 \end{align}

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Su autocorrelación es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &r_{-1}=2,\ r_0=1+4=5,\ r_{1}=2. \end{align}

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Por otra parte, considere la wavelet (1, 2), en la que el 1 ocurre en el tiempo 0. Su inverso de punto cero es (2, 1), en el que el 1 ocurre en el tiempo 0. La tabla de autocorrelación es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &\ \ \ \underline{2}\,\,\,\underline{1}\\ &1|2\,\,\,\,1\ ,\\ &2|4\,\,\,\,2 \end{align}

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y su autocorrelación es la misma. Por lo tanto, la wavelet (2, 1) tiene la misma autocorrelación que su inversa (1, 2). Esto es siempre así. Es decir, la autocorrelación de cualquier wavelet es la misma que la autocorrelación de la wavelet inversa.

Ahora ilustraremos un filtro de paso total. El ejemplo anterior ilustra algo más. Sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0{,\ }b_{1}\right) un wavelet de dos longitudes. Entonces, el único otro wavelet de dos longitudes con la misma autocorrelación que el de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left\{b_0{,\ }b_{1}\right\} es su inverso (punto medio) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b^{*}_{1}{\ ,\ }b^{*}_0\right) . (Por supuesto, cuando hablamos del wavelet $ \left\{b_{0}{,\ }b_{1}\right\} $ y su inverso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b^{*}_{{ 1}}{,\ }b^{*}_0\right) , nos referimos a la clase de equivalencia de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left\{cb_O{,\ }cb_{1}\right\} y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left\{c^{*}{\ }b^{*}_{{ 1}}{,\ }c^{*}{\ }b^{*}_0\right\} para cualquier constante c donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cc^{*}=1 . Aquí, tomamos c = 1.) Por lo tanto, el único otro wavelet de dos longitudes con la misma autocorrelación que la de (2, 1) es (1, 2). Resulta que hay wavelets de mayor longitud con la misma autocorrelación, pero no hay ningún otro wavelet de longitud 2 con la misma autocorrelación. La figura 18 muestra el wavelet (2, 1) y un wavelet de mayor longitud, ambos con la misma autocorrelación. El wavelet de mayor longitud se obtiene convolucionando el wavelet (2, 1) con el filtro de paso total que se muestra en la figura.

Figure 18.  Dos wavelets con la misma autocorrelación. Como la autocorrelación es simétrica, solo se muestra un lado.

Un filtro pasa todo causal se define como un filtro causal con un espectro de amplitud igual a la unidad para todas las frecuencias. La función de transferencia de un filtro pasa todo causal es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &P\left(Z\right)=\frac{A^R\left(Z\right)}{A\left(Z\right)}, \end{align}

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donde A(Z) es la transformada Z de una ondícula de retardo mínimo de longitud finita a, y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {{\rm A}}^R\left(Z\right) es la transformada Z de la inversa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a^R . El espectro de amplitud de este filtro pasa todo es la unidad porque tanto a como su inversa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a^R tienen el mismo espectro de amplitud. Esta inversa es, por supuesto, el retardo máximo. Debido a que una ondícula pasa todo causal tiene un espectro de amplitud unidad, se deduce que su inversa es igual a su inversa; es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p^{-{ 1}}=p^R , o

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &P^{-1}\left(Z\right)=A\left(Z\right)/A^R\left(Z\right)={\left(A^R\left(Z\right)/A\left(Z\right)\right)}^R=P^R\left(Z\right) . \end{align}

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Por lo tanto, lo inverso es no causal y unilateral al pasado

En general, una wavelet causal de paso total tiene una longitud infinita. Sin embargo, en dos casos especiales, una wavelet causal de paso total se reduce a una wavelet de longitud finita. En el primer caso especial, A(Z) es una constante. Como resultado, la función de transferencia de la wavelet causal de paso total es igual a uno, por lo que la wavelet causal de paso total es el pico unitario {1, 0, 0, 0, …}, donde el 1 ocurre en el índice de tiempo 0. Una wavelet causal de paso total de este tipo se llama trivial porque el pico unitario convolucionado con cualquier señal no cambia la señal. En el segundo caso especial, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): A^R\left(Z\right)=Z^n donde n es un entero positivo. En este caso, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): P\left(Z\right)=Z^n , por lo que la wavelet causal de paso total produce un retardo puro de n unidades de tiempo.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Ondículas
• Transformada de Fourier
• Transformada Z
• Retraso: Mínimo, mixto y máximo
• Ondículas de doble longitude
• Ilustración del espectro
• Retraso en general
• Energía
• Representación canónica
• Ondículas de fase cero
• Ondículas simétricas
• Ondícula de Ricker
• Apéndice G: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Autocorrelation - book/es