Retraso en general
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 7 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Los conceptos de retardo mínimo y retardo máximo se han definido para wavelets de dos longitudes. Por ejemplo, tomemos la wavelet de retardo mínimo (7, 3), en la que el coeficiente 7 se produce en el índice de tiempo 0 y el coeficiente 3 en el índice de tiempo 1. El caso inverso es la wavelet de retardo máximo (3, 7), en la que el coeficiente 3 se produce en el índice de tiempo 0 y el coeficiente 7 en el índice de tiempo 1. Ahora definamos estos conceptos para wavelets de mayor longitud. Para ello, tomemos un grupo de dipolos, cada uno con la wavelet de retardo mínimo a la izquierda (Tabla 3).
La convolución de las ondículas de retardo mínimo en el grupo (es decir, la convolución de las ondículas de la izquierda) produce una ondícula de retardo mínimo
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} & (2,1)*(i,0.5)*(-i,0.5)\\ &=(2,1)*(1,0,0.25)\\ & =(2,1,0.5,0.25). \end{align} ()
Ahora definiremos el retardo máximo en general. La convolución de las ondículas de retardo máximo en el grupo de dipolos (es decir, la convolución de las ondículas de la derecha [Tabla 3]) produce una ondícula de retardo máximo. Por lo tanto, (0,25, 0,5, 1, 2) es una ondícula de retardo máximo. Vemos que la ondícula de retardo máximo es la inversa de la ondícula de retardo mínimo (2, 1, 0,5, 0,25), como cabría esperar. La inversa de una ondícula de retardo mínimo de longitud finita es, por lo tanto, una ondícula de retardo máximo.
Definamos ahora el retardo mixto en general. La convolución de una ondícula de cada dipolo del grupo, elegida de modo que tengamos una mezcla de ondículas de retardo mínimo y máximo, da como resultado una ondícula de retardo mixto. Por lo tanto,
| Dipolos | Retardo mínimo | Retardo máximo |
|---|---|---|
| Dipolo 1 | (2, 1) | (1, 2) |
| Dipolo 2 | (i, 0,5) | (0,5, –i) |
| Dipolo 3 | (–i, 0,5) | (0,5, i) |
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &\left({1,\ 2}\right)*\left(i{,\ 0.5}\right)*\left(-i{,\ 0.5}\right)=\left({1,2}\right)*\left({l,\ 0,0.25}\right)=\left({1,2,0.25,0.5}\right) \end{align} ()
es una wavelet de retardo mixto.
La inversa de la transformada Z de la wavelet de retardo igual de dos términos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ }-e^{i\theta }\right) es
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Por lo tanto, la inversa es la forma discreta de la exponencial compleja para el tiempo positivo. De manera similar, la inversa de la transformada Z de la wavelet de retardo igual de dos términos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ }-e^{-i\theta }\right) es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{1}} {1-e^{-i\theta }Z}=1+e^{-1\theta }Z+e^{-2i\theta }Z^{2}+e^{-{3}_i\theta }Z^{3}+\dots. \end{align} ()
Por lo tanto, la transformada Z del seno causal (con parámetro $ \theta $) es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &u_n \mathrm{sin}\theta_n=\frac{u_n}{2i}\left[e^{i\theta n}-e^{-i\theta n}\right], \end{align} ()
donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_n = 0,1,2,3,... es el paso unitario, y que es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} \frac{1}{{2i}} \left( {\frac{1}{{1 - e^{i\theta } Z}} - \frac{1}{{1 - e^{ - i\theta } Z}}} \right) = \frac{1}{{2i}}\frac{{(1 - e^{ - i\theta } Z) - (1 - e^{i\theta } Z)}}{{(1 - e^{i\theta } Z)(1 - e^{i\theta } Z)}} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{Z\sin \theta }}{{1 - 2\cos \theta Z + Z^2 }}. \\ \end{array} ()
Observamos que el denominador es la transformada Z de la convolución de la wavelet de igual retardo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ }-e^{i\theta }\right) con la wavelet de igual retardo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ }-e^{-i\theta }\right) . Esta convolución da la wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ }-{2\ cos\ }\theta {,\ 1}\right) , cuya inversa se ve que tiene la transformada Z
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{1} {{1 - 2\;\cos \theta \;z + Z^2 }}. \end{align} ()
Sin embargo, esta expresión es igual a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {1/}\left(Z{\rm \ sin\ }\theta \right) multiplicado por la transformada Z del seno causal.
Así, dividimos el seno causal por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ sin\ }\theta y adelantamos el resultado una unidad de tiempo para obtener la inversa de la ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ }{,\ }-{2\ \ cos\ }\theta {,\ 1}\right) . En otras palabras, esta inversa es la senoide $ u_{n\;}\sin n/\theta \sin \theta $. Por ejemplo, tomemos el caso cuando la frecuencia es f = 12,5 Hz. Entonces el parámetro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta =2\pi f\Delta t=2\pi \left({12,5}\right)\left({0,004}\right)=\pi {/10}) . La sinusoide unilateral para esta frecuencia se muestra en la Figura 12.
Traducciones:Retardo en general/21/es
Para el factor de amortiguamiento Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}\alpha {|<}1 , formemos la ondícula
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &\left({1,\ }-\alpha e^{i\theta }\right)*\left({l,\ }-\alpha e^{-i\theta }\right)=\left({1,\ }-2\alpha {\rm \ cos\ }\theta {,\ }{\alpha }^{2}\right) . \end{align} ()
Su inversa es una sinusoide unilateral amortiguada. La figura 13 muestra una sinusoide de 12,5 Hz amortiguada para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha = 0,97. .
¿Cuántos wavelets se pueden generar a partir de N dipolos? Si cada wavelet de dos longitudes en un grupo de N dipolos es distinto, hay Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {2}^N posibles wavelets de (N + 1) longitudes que se pueden generar tomando un wavelet de dos longitudes de cada dipolo. Por supuesto, si algunos de los wavelets de dos longitudes no son distintos, algunos de los wavelets de (N + 1) longitudes tampoco lo serán. En cualquier caso, todos los wavelets de (N + 1) longitudes generados de esta manera a partir de un grupo de dipolos tendrán la misma autocorrelación. Se dice que estos wavelets de (N + 1) longitudes, así generados, pertenecen a un conjunto de wavelets todos con la misma autocorrelación.
Ahora, demostremos que el concepto de retardo mínimo es único. De los Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {2}^{{\rm N}} wavelets de longitud (N + 1) posibles en la suite, uno es un wavelet de retardo mínimo, otro es un wavelet de retardo máximo y los otros son wavelets de retardo mixto. Sin embargo, estos wavelets de longitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {2}^N \left(N{+\ 1}\right) no son los únicos wavelets en la suite porque existen otros wavelets que tienen mayor longitud pero la misma autocorrelación. Por lo tanto, esos otros wavelets también son miembros de la suite. Si consideramos todos los miembros de la suite, solo hay un wavelet de retardo mínimo, que es el wavelet de retardo mínimo de longitud (N + 1) que hemos encontrado. Por lo tanto, el concepto de retardo mínimo es único.
Por el contrario, el concepto de retardo máximo es relativo, porque un wavelet es un wavelet de retardo máximo con respecto a su longitud. En nuestro ejemplo, el wavelet (0,25, 0,5, 1, 2) es el wavelet de cuatro longitudes con retardo máximo de la suite. Al retrasar este wavelet una unidad de tiempo, obtenemos el wavelet (0, 0,25, 0,5, 1, 2), que es el wavelet de cinco longitudes con retardo máximo de la suite. De manera similar, (0, 0, 0,25, 0,5, 1, 2) es el wavelet de seis longitudes con retardo máximo de la suite, y así sucesivamente. Todos los demás wavelets de la suite (es decir, los wavelets distintos del wavelet de retardo mínimo y los wavelets de retardo máximo) son wavelets de retardo mixto.
La transformada "Z" de la respuesta al impulso de un filtro se denomina función de transferencia del filtro. Se dice que un filtro lineal estable, causal e invariante en el tiempo es (estrictamente) un filtro de retardo mínimo (o un filtro de fase mínima) si los ceros (o raíces) de su función de transferencia se encuentran fuera del círculo unitario.
La función de transferencia de un filtro FIR causal es el polinomio
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &H\left(Z\right)=h_0+h_{1}Z+\dots +h_mZ^m. \end{align} ()
Este polinomio se denomina "polinomio de retardo mínimo" si el filtro tiene un retardo mínimo. Se denomina "polinomio de retardo máximo" si el filtro tiene un retardo máximo. Se denomina "polinomio de retardo mixto" si el filtro tiene un retardo mixto.
El inverso de un filtro de retardo mínimo A(Z) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): A^{-{\rm l}}\left(Z\right)={\rm l}lA\left(Z\right) , que también es un filtro de retardo mínimo. Un tipo importante de filtro IIR (respuesta al impulso infinito) causal estable es el filtro recursivo, cuya función de transferencia viene dada por la función racional Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right)=B\left(Z\right)/A\left(Z\right) con la condición de que el polinomio denominador A(Z) sea un polinomio de retardo mínimo (es decir, todas las raíces del polinomio se encuentran fuera del círculo unitario). Esta disposición garantiza que el filtro recursivo sea estable (Treitel y Robinson, 1964[1]). No es necesario especificar las ubicaciones de los ceros del polinomio numerador B(Z) para que el filtro recursivo sea estable. Sin embargo, si se especifica además que el polinomio numerador B(Z) es un polinomio de retardo mínimo, el filtro recursivo es un filtro de retardo mínimo.
Referencias
- ↑ Treitel, S., y E. A. Robinson, 1964, The stability of digital filter: IEEE Transactions on Geoscience Electronics, GE-2, 6–18.
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También en este capítulo
- Ondículas
- Transformada de Fourier
- Transformada Z
- Retraso: Mínimo, mixto y máximo
- Ondículas de doble longitude
- Ilustración del espectro
- Energía
- Autocorrelación
- Representación canónica
- Ondículas de fase cero
- Ondículas simétricas
- Ondícula de Ricker
- Apéndice G: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Delay in general/es |
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