Transformada de Fourier

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	7
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

¿Qué es la transformada de Fourier (o espectro) de una ondícula? Recuerde que en el Capítulo 6 aprendimos sobre la transformada de Fourier y sus muchas aplicaciones para usar la función de tiempo de un sistema para determinar la función de frecuencia del sistema. Ahora ampliaremos esta discusión y daremos más aplicaciones. Las funciones de tiempo en cuestión serán Wavelets.

Los geofísicos siguen la misma convención que utilizan los ingenieros eléctricos con respecto a la transformada de Fourier. Esta práctica es sensata porque los ingenieros eléctricos escriben la mayoría de los libros sobre filtrado digital. En concreto, los ingenieros eléctricos optan por utilizar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-2\pi if\Delta tn} (que tiene un signo negativo) en su definición de la transformada de Fourier y no Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{+2\pi if\Delta tn} (que tiene un signo positivo), como suelen hacer los matemáticos. La variable f representa la frecuencia cíclica en unidades de hercios (es decir, ciclos por segundo). La versión de ingeniería eléctrica de la transformada de Fourier (o espectro) de una ondícula bilateral b es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=\sum^{\infty }_{n=-\infty }{b_n}e^{-2\pi jf\Delta tn}=A\left(f\right)e^{i\psi \left(f\right)}\ =\ A\left(f\right)e^{-i\phi \left(f\right)}, \end{align}

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donde A(f) es el espectro de amplitud, donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \psi (f) es el espectro de adelanto de fase y donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(f\right) es el espectro de desfase. El espectro de desfase es el negativo del espectro de adelanto de fase. Cualquiera de los dos puede llamarse espectro de fase. Sin embargo, debido a que la exponencial Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-2\pi i f\Delta tn} en la transformada de Fourier tiene un signo negativo, la elección de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i\phi \left(f\right)} , que también tiene un signo negativo en la exponencial, parece ser la favorita. Por esa razón, elegimos que la palabra fase se refiera al desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(f\right) y no al adelanto de fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \psi (f) . Por ejemplo, la transformada de Fourier del retardo unitario Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\delta }_{n-{\rm l}} (que es 1 para n = 1 y 0 en caso contrario) es simplemente

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{\infty }_{n=-\infty}{{\delta }_{n-{\rm l}} }e^{-2\pi if\Delta tn}=e^{-2\pi if\Delta t}=A\left(f\right)e^{-i\ \phi \left(f\right)}, \end{align}

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Por lo tanto, el espectro de fase (es decir, el espectro de desfase de fase) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(f\right)=2\pi f\Delta t .

La frecuencia de muestreo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_s={\rm 1/}\Delta {\rm t} . Por lo tanto,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} e^{-2\pi if_{{\rm s}} \Delta tn}\ =\ e^{-2\pi in}=1. \end{align}

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Por eso,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &B\left(f+f_s\right)=\sum^{\infty }_{n=-\infty}{b_n}e^{-2\pi i\left(f+f_s\right)\Delta tn}=B\left(f\right) , \end{align}

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lo que demuestra que el espectro es periódico con un período igual a la frecuencia de muestreo. A menudo, es más conveniente calcular el espectro en el rango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0\le f<f_s en lugar del rango de Nyquist más habitual Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -f_s/2\le f<f_s{/2} , que conocimos en el Capítulo 4.

Si definimos la unidad de tiempo no como 1 s sino como el intervalo de muestreo $ \Delta t $ (por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t=1 ), entonces Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi f\Delta t=2\pi f=\omega . La variable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega representa la frecuencia angular en unidades de ciclos por radián. Como resultado, la transformada de Fourier se convierte en

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(\omega \right)=\sum^{\infty }_{n=-\infty}{b_n}e^{-i\omega n}=A\left(\omega \right)e^{-i\phi \left(\omega \right)}, \end{align}

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donde el rango de Nyquist es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm es}-\pi \le \omega <\pi .

¿Cuál es la transformada de Fourier (o espectro) de la ondícula inversa de punto cero? El espectro de la ondícula inversa de punto cero "b" es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B^{ZPR}\left(f\right)=\sum^{\infty }_{k=-\infty }{b^*_{-k}} e^{-2\pi if\Delta {\rm t}k}=\sum^{\infty }_{n=-}{b^{*}_n}e^{2\pi if\Delta m}=B^*\left(f\right)=A\left(f\right)e^{i\phi \left(f\right)} \end{align}

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Por lo tanto, la ondícula inversa de punto cero tiene un espectro de amplitud que es el mismo que el espectro de amplitud de la ondícula, y tiene un espectro de fase que es el negativo del espectro de fase de la ondícula.

¿Qué es la transformada de Fourier discreta? A menudo, trabajamos con una wavelet finita $ b=\ (b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{\rm {N}}) $ de longitud N + 1, cuyos coeficientes pueden ser complejos. Su transformada de Fourier se reduce a la transformada de Fourier discreta (DFT)

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(k\right)=\sum^{N-1}_{n=0}{b_n}w^{nk}_N, \end{align}

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donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): w_N=e^{-2\pi {i/}N} para k 0, 1, …, N – 1. La transformada de Fourier discreta inversa (IDFT) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b_n=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k=0}{B}\left(k\right)w^{-'{\rm t}k}_N \end{align}

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para n = 0, 1, …, N – 1. La transformada rápida de Fourier (FFT) (Cooley y Tukey, 1965) proporciona una forma computacionalmente eficiente de calcular la DFT y su inversa.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Ondículas
• Transformada Z
• Retraso: Mínimo, mixto y máximo
• Ondículas de doble longitude
• Ilustración del espectro
• Retraso en general
• Energía
• Autocorrelación
• Representación canónica
• Ondículas de fase cero
• Ondículas simétricas
• Ondícula de Ricker
• Apéndice G: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Fourier transform - book/es