Ondículas de doble longitude

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	7
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Las ondículas de dos longitudes son ondículas de retardo mínimo o de retardo máximo. Podemos emparejar cada ondícula de dos longitudes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0{,\ }b_{1}\right) con otra ondícula de dos longitudes, es decir, su inversa $ \left(b_{l}^{*}{\ ,\ }b_{0}^{*}\right) $. Un par de este tipo se denomina dipolo. Uno de los miembros del dipolo es una ondícula de retardo mínimo y el otro es una ondícula de retardo máximo. La ondícula de retardo mínimo es la que tiene el coeficiente más grande (en magnitud) en la parte delantera, mientras que la ondícula de retardo máximo es la que tiene el coeficiente más pequeño (en magnitud) en la parte delantera.

Un ejemplo de dipolo es (2, 1) y (1, 2). Para este dipolo, la ondícula de retardo mínimo es (2, 1) y la ondícula de retardo máximo es (1, 2). Otro ejemplo es el dipolo (i, 0,5) y (0,5, – i). Para ese dipolo, la ondícula de retardo mínimo es (i, 0,5) y la ondícula de retardo máximo es (0,5, – i).

¿Cuál es el significado de la raíz de la transformada Z de una ondícula de dos longitudes? Sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}b_0{|}\ge {|}b_{1}{|} de modo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0{,\ }b_{1}\right) una ondícula de dos longitudes con un retardo mínimo. Su transformada Z es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): B\left(z\right)= Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{1}Z . El polinomio B(Z), que forma la transformada Z, se denomina polinomio de retardo mínimo. La raíz (o cero) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_1 de B(Z) se encuentra resolviendo la ecuación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+ Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1}Z=0 . La solución de esta ecuación da como raíz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{{\rm l}}=-b_0/b_{{\rm 1}} , que designamos por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{{\rm l}}=\alpha e^{-i\theta } . Aquí, $ \alpha $ representa la magnitud de la raíz y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta representa la frecuencia angular de la raíz.

Como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}b_0{|}\ge {|}b_{{\rm l}}{|} , la magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha de la raíz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{1} es mayor o igual que uno. Por ejemplo, el cero de la wavelet de retardo mínimo (2, –1) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{{\rm l}}=2 . Como la magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha de la raíz es mayor que uno, la raíz se encuentra fuera del círculo unitario Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}Z{|}=1 . En general, el cero (o raíz) de la transformada Z de una wavelet de retardo mínimo de dos longitudes se encuentra fuera (o sobre) el círculo unitario.

El recíproco Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right)=1/B\left(Z\right) es la transformada Z de la inversa de la ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(h_0{,\ }h_{{\rm l}}{,\ }h_{2}{,\ ..\ .}\right) . El cero $ Z_{1} $ se convierte en el polo de H(Z). Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0{,\ }b_{1}\right) es una ondícula de retardo mínimo, entonces este polo se encuentra fuera del círculo unitario. Como resultado, podemos formar la serie de potencias

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(z\right)=h_0+h_{{\rm l}} Z+h_{2}Z^{2}+ \dots, \end{align}

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que converge en cada punto dentro del círculo de radio Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha . Como resultado, los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(h_0{,\ }h_{{\rm l}}{,\ }h_{2}{,\ ..\ .}\right) representan la inversa, que es un filtro causal estable. En particular, H(Z) converge en el círculo unitario, por lo que existe la transformada de Fourier Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(e^{-i\omega }\right) . Por ejemplo, la inversa causal estable de (2, –1) está dada por los coeficientes en la expansión

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm l}} {2-Z}=\frac{{\rm l}}{2}+\frac{{\rm l}}{{4}}Z+\frac{{\rm l}}{{8}}Z^{2}+\frac{{\rm l}}{{16}}Z^{3}+\dots . \end{align}

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Así, vemos que la inversa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(h_0{,\ }h_{{\rm l}}{,\ }h_{2}{,\ ..\ .}\right) es la serie geométrica amortiguada (en la dirección del tiempo positivo) (0,5, 0,25, 0,125, 0,0625, …) (Figura 2).

Figure 2.  La inversa causal de la ondícula de retardo mínimo (2, –1).

Nuevamente, sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm let|}b_0{|}\ge {|}b_{{\rm l}}{|} de modo que la ondícula inversa de dos longitudes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b^{*}_{{\rm l}}{,\ }b^{*}_0\right) sea una ondícula de retardo máximo. Su transformada Z es $ C\left(Z\right)=b_{\rm {l}}^{*}+b_{0}^{*}Z $. El polinomio C(Z), que forma la transformada Z, se denomina polinomio de retardo máximo. La raíz (o cero) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{2} de C(Z) se encuentra resolviendo la ecuación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{*}_{{\rm l}}+b^{*}_0Z_{2}=0 . La solución de esta ecuación da como raíz Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{2}=-b^{*}_{{\rm l}}/b^{*}_0 . Porque

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} Z_{1}Z^{*}_{2}=\left(-b_0/b_{{\rm l}} \right){\left(-b^{*}_{1}/b^{*}_0\right)}^{*}=1, \end{align}

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de esto se deduce que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{2}=1/Z^{*}_{{\rm l}} . Recordamos que escribimos la expresión Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{1}=\alpha e^{-i\theta } para la raíz de la ondícula de retardo mínimo. Por lo tanto, la raíz de la ondícula de dos longitudes de retardo máximo correspondiente es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{2}={1/}{\left(\alpha e^{-i\theta }\right)}^{*}= {\alpha }^{-1}e^{-i\theta } . Por lo tanto, la magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\alpha }^{-1} de la raíz de la ondícula de retardo máximo es el recíproco de la magnitud de la raíz de la ondícula de retardo mínimo correspondiente. Como la raíz de la ondícula de retardo mínimo se encuentra fuera (o sobre) el círculo unitario, se deduce que la raíz de la ondícula de retardo máximo se encuentra dentro (o sobre) el círculo unitario. Es importante observar que ambas raíces tienen la misma frecuencia angular Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta (Figura 3).

Template:Number de figura El cero de la ondícula de dos longitudes con retardo mínimo y el cero del cero correspondiente de la ondícula de dos longitudes con retardo máximo.

El recíproco $ K\left(Z\right)={\rm {l}}/C\left(Z\right) $ es la transformada Z de la inversa de la ondícula de retardo máximo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b^{*}_{1}{,\ }b^{*}_0\right) . El cero Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z_{2} se convierte en el polo de H(Z). Como este polo se encuentra dentro del círculo unitario, podemos formar la serie de Laurent.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} &K\left(z\right)=k_{-{\rm l}} Z^{-{\rm l}}+k_{-2}Z^{-2}+k_{-3}Z^{-3}+ \dots, \end{align}

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que converge en cada punto fuera del círculo de radio Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\alpha }^{-{\rm l}} . Como resultado, la inversa (..., Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k_{-3},k_{-2},k_{-{\rm l}} ) representa un filtro anticausal estable. En particular, K(Z) converge en el círculo unitario, por lo que existe la transformada de Fourier Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): K\left(e^{-i\omega }\right) . Por ejemplo, la inversa anticausal estable de (–1, 2) está dada por los coeficientes en la expansión

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm l}} {2Z-1}=\frac{{\rm l}}{2}Z^{-1}+\frac{{\rm l}}{{4}}Z^{-2}+\frac{{\rm l}}{{8}}Z^{-3}+\frac{{1}}{{16}}Z^{-{4}}+ .\dots \end{align}

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Vemos que la inversa (..., Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({\ }k_{-3}{,\ }k_{-2}{,\ }k_{-{\rm l}}\right) ) es la serie geométrica amortiguada (en la dirección del tiempo negativo) (0,0625, 0,125, 0,25, 0,5) (Figura 4).

Figure 4.  La inversa anticausal de la ondícula de retardo máximo (–1, 2).

¿Qué son las wavelets de igual retardo? Cualquier wavelet de dos longitudes cuya raíz se encuentre en el círculo unitario es tanto una wavelet de retardo mínimo como una wavelet de retardo máximo. Una wavelet de dos longitudes de este tipo se denomina "wavelet de igual retardo". En otras palabras, una wavelet de igual retardo es una que es tanto una wavelet de retardo mínimo como una wavelet de retardo. Para una wavelet de este tipo, las raíces de su transformada "Z" se encuentran en el círculo unitario. Podría decirse que una wavelet de igual retardo representa dos wavelets en una.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Ondículas
• Transformada de Fourier
• Transformada Z
• Retraso: Mínimo, mixto y máximo
• Ilustración del espectro
• Retraso en general
• Energía
• Autocorrelación
• Representación canónica
• Ondículas de fase cero
• Ondículas simétricas
• Ondícula de Ricker
• Apéndice G: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Two-length wavelets/es