Ilustración del espectro
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 7 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Ilustremos ahora los espectros de diferentes dipolos. Empezamos con el pico unitario: el coeficiente 1 en el índice de tiempo 0. En términos de una ondícula causal de dos longitudes, el pico unitario es (1, 0). La transformada de Fourier de (1, 0) es 1 para todos los $ \omega $. Por lo tanto, el espectro de amplitud del pico unitario es igual a uno para todas las frecuencias o, en otras palabras, el espectro de amplitud es blanco. Si escribimos 1 = 1 + 0 i, vemos que el espectro de desfase del pico unitario es $ -{\rm {tan}}^{-1}\left({0/1}\right) $, que es cero para todos los $ \omega $. En otras palabras, el pico unitario tiene el espectro de fase mínima, que es igual a cero para todas las frecuencias.
Si desplazamos el pico unitario en una unidad de tiempo, obtenemos el pico retardado (0, 1). Su Transformada de Fourier es
$ {\begin{aligned}{\rm {\ exp\ }}\left(-i\omega \right)={\rm {\ cos\ }}\omega -i{\rm {\ sin\ }}\omega .\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, el espectro de amplitud del pico retardado es igual a uno para todas las frecuencias. El espectro de desfase es
$ {\begin{aligned}&-{\rm {tan}}^{-1}\left({\frac {-{\rm {\ sin\ }}\omega }{{\rm {\ cos\ }}\omega }}\right)={\rm {tan}}^{-1}\left({\rm {\ tan\ }}\omega \right)=\omega .\end{aligned}} $ ()
El pico retrasado tiene un espectro de desfase máximo, que es igual a la frecuencia $ \omega $ para todas las frecuencias en el rango de Nyquist. La Figura 5 muestra el espectro de amplitud (línea discontinua) que estas dos ondículas tienen en común. El espectro de fase mínima es la línea $ 0^{\rm {o}} $ que pasa por el origen, y el espectro de desfase máximo es la línea $ {4}{5}^{o} $ que pasa por el origen. La suma de las dos curvas de fase también es la línea $ {4}{5}^{o} $.
A continuación, observamos la ondícula de retardo mínimo (1, 0,5) y la ondícula de retardo máximo correspondiente (0,5, 1). La figura 6 muestra el espectro de amplitud común (línea discontinua) de estas dos ondículas. El espectro de amplitud es una curva con forma de colina con su pico en la frecuencia 0. En otras palabras, el espectro de amplitud es el de un filtro de paso bajo. Vemos que el espectro de retardo de fase mínimo (línea gruesa) y el espectro de retardo de fase máximo (línea media-ligera) suman una línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {4}{{5}}^{{o}} (línea ligera). Nótese que las dos curvas de fase en la figura 6 están más juntas que las líneas de fase en la figura 5.
Repasemos la terminología que introdujimos al principio de este capítulo. Como sabemos, existe el adelanto de fase y el desfase, siendo uno el negativo del otro. En particular, el espectro de desfase es el negativo del espectro de adelanto de fase. A cualquiera de los dos se le puede llamar espectro de fase. Según la convención de ingeniería eléctrica (que seguimos), la exponencial en la transformada de Fourier directa lleva un signo negativo. Por esa razón, elegimos que la palabra fase se refiera al desfase y no al adelanto de fase. Los ingenieros eléctricos a menudo dicen fase en lugar de desfase de fase, por lo que estamos en buena compañía. Por ejemplo, los ingenieros eléctricos dicen fase mínima en lugar de desfase de fase mínimo, como hacemos nosotros.
Veamos la wavelet de retardo mínimo (1, 0,9) y la wavelet de retardo máximo correspondiente (0,9, 1). La figura 7 muestra el espectro de amplitud común (línea discontinua) de estas dos wavelets. El espectro de amplitud es una curva en forma de colina con su pico en la frecuencia 0. El espectro de amplitud es cercano a cero en las frecuencias de Nyquist Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pm \pi . El espectro de amplitud es el de un filtro de paso bajo. Vemos que el espectro de fase mínima (línea gruesa) y el espectro de fase máxima (línea de grosor medio) casi se intersecan con la línea de pendiente 0,5. Debido a que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {{\rm tan}}^{-{l}}\left({0.5}\right)= 26,6^\circ , llamamos a esta línea la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 26,6^\circ . Los dos espectros de fase suman una línea de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 45^\circ (línea fina). Nótese que las curvas de fase en la Figura 7 están más próximas entre sí que las curvas de fase en la Figura 6.
Veamos la wavelet de igual retardo (1, 1) y su correspondiente wavelet inverso (1, 1), que por supuesto es la misma wavelet. La figura 8 muestra sus espectros. Por definición, una wavelet de igual retardo es tanto una wavelet de mínimo retardo como una wavelet de máximo retardo. El espectro de amplitud en forma de colina toca cero en las frecuencias Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pm \pi . El espectro de fase es la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 26.6^\circ (línea gruesa) que pasa por el origen. Esta línea sumada a sí misma da la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 45^\circ (línea fina).
Veamos la wavelet de retardo mínimo (1, –0,5) y la wavelet de retardo máximo correspondiente (–0,5, 1). La Figura 9 muestra el espectro de amplitud común (línea discontinua) de estas dos wavelets. El espectro de amplitud es una curva en forma de valle con su valle en la frecuencia 0. En otras palabras, el espectro de amplitud es el de un filtro de paso alto. Vemos que el espectro de fase mínima (línea gruesa) y el espectro de fase máxima (línea de grosor medio) suman una línea de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 45^\circ (línea fina). Nótese que las dos curvas de fase en la Figura 9 están más separadas que las dos curvas de fase en la Figura 6.
Veamos la wavelet de retardo mínimo (1, –0,9) y la wavelet de retardo máximo correspondiente (–0,9, 1). La figura 10 muestra el espectro de amplitud común (línea discontinua) de estas dos wavelets. Es una curva en forma de V con su valle en la frecuencia 0. El espectro de amplitud es el de un filtro de paso alto. El espectro de fase mínima (línea gruesa) y el espectro de fase máxima (línea media) casi se intersecan con dos líneas de 26,6°, una a través de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi {/2} en el eje vertical y la otra a través de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\pi {/2} en el eje vertical. Los dos espectros de fase suman una línea de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 45^\circ (línea fina).
Veamos la wavelet de igual retardo (1, –1) y la wavelet inversa correspondiente (–1, 1) (Figura 11). Por definición, una wavelet de igual retardo es tanto una wavelet de mínimo retardo como una wavelet de máximo retardo. El espectro de amplitud en forma de V común toca 0 en la frecuencia 0. La figura muestra dos líneas Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 26.6^\circ , una a través de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi/2 en el eje vertical y la otra a través de $ -\pi /2 $ en el eje vertical. El espectro de fase de mínimo retardo está formado por el lado izquierdo de la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 26.6^\circ que pasa por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi/2 y el lado derecho de la línea de 26.6° que pasa por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\pi/2 . Lo opuesto es cierto para el espectro de máxima fase. Estos dos espectros de fase se suman a la línea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 45^\circ (línea delgada).
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También en este capítulo
- Ondículas
- Transformada de Fourier
- Transformada Z
- Retraso: Mínimo, mixto y máximo
- Ondículas de doble longitude
- Retraso en general
- Energía
- Autocorrelación
- Representación canónica
- Ondículas de fase cero
- Ondículas simétricas
- Ondícula de Ricker
- Apéndice G: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Illustrations of spectra/es |
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