Ondícula de Ricker
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 7 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
En la práctica, se utilizan varios tipos de wavelets (Hubral y Tygel, 1989[1]). La estimación precisa de wavelets es esencial en el procesamiento sísmico (Ulrych et al., 1995[2]). Un wavelet que se utiliza comúnmente para generar sismogramas sintéticos es el wavelet de Ricker, llamado así por Norman Ricker (1896–1980). El wavelet de Ricker no es causal y es simétrico respecto de su tiempo de origen. Además, la ondícula de Ricker tiene la importante cualidad de ser una señal de fase cero. (Una señal de fase cero también es una autocorrelación; véase más arriba.) En tiempo continuo, la ondícula de Ricker está dada por la segunda derivada de la función gaussiana (Clay, 1990[3], p. 285):
$ {\begin{aligned}&w\left(t\right)=-{\frac {b^{2}}{12}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\rm {\ exp\ }}\left(-{\frac {{6}t^{2}}{b^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {{12}t^{2}}{b^{2}}}\right){\rm {\ exp\ }}\left(-{\frac {{6}t^{2}}{b^{2}}}\right).\end{aligned}} $ ()
El parámetro "b" se denomina amplitud de la ondícula y mide la separación (en el tiempo) de los dos valles de la ondícula, que se producen a cada lado del lóbulo central. Muestreemos la ondícula de Ricker continua infinitamente larga de amplitud 10, con un espaciamiento temporal de una unidad, y hagámosla de longitud finita, digamos, 23. La ondícula de Ricker discreta resultante de longitud 23 (Figura 22) es
$ {\begin{aligned}&\{-{0.01\ ,\ }-{0.03,\ }-{0.07,\ }-{0.14,\ }-{0.26,\ }-{0.38,\ }-{0.45,\ }-{0.35,}\\&-{0.05},0.41,0.83,1.00,0.83,0.41,-{0.05,}-{0.35,}\\&-{0.45,\ }-{0.38,\ }-0.{26,\ }-{0.14,\ }-{0.07,\ }-{0.03,\ }-{0.01}{}.\end{aligned}} $ ()
¿Qué es la transformada Z de la ondícula discreta de Ricker? La transformada Z de una ondícula no causal implica potencias tanto positivas como negativas de Z. Por ejemplo, la transformada Z de la versión discreta de la ondícula continua de Ricker presentada anteriormente es
$ {\begin{aligned}R\left(Z\right)=-{0.01}Z^{-{11}}-0.0{3}_{l}Z^{-{10}}+\dots +0.83Z^{-1}\\+1+0.83Z+\dots -0.0{3}_{l}Z^{10}-0.0{l}_{N}Z^{11}.\end{aligned}} $ ()
Si multiplicamos R(Z) por $ Z^{11} $, obtenemos un polinomio. Este polinomio es la transformada Z de la ondícula de Ricker, desplazada lo suficiente para que la ondícula resultante sea causal. La ondícula resultante se denomina ondícula de Ricker desplazada.
Volviendo a los días del álgebra de la escuela secundaria, recordamos que tan pronto como un profesor presentaba un polinomio a una clase, se les pedía a los estudiantes que lo factorizaran. Lo mismo ocurre con las transformadas "Z": las factorizamos. Factorizar $ Z^{11}R\left(Z\right) $ da como resultado 22 raíces. Debido a que los coeficientes wavelet de Ricker son reales, todas las raíces complejas ocurren en pares complejos conjugados. Los valores absolutos de estas raíces son
$ {\begin{aligned}\{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0.83,0.83,1.2,1.2,0.58\\0.58,1.73,1.73,0.99,1.01\}.\end{aligned}} $ ()
Vemos que 12 de las raíces tienen un valor absoluto de unidad. Cualquier raíz con un valor absoluto de unidad corresponde a una ondícula de retardo igual de dos longitudes en la composición de la ondícula discreta de Ricker que se está considerando. No nos gustan las ondículas de retardo igual por las razones expuestas anteriormente en este capítulo. Queremos que todas las ondículas constituyentes de dos longitudes sean estrictamente ondículas de retardo mínimo o estrictamente ondículas de retardo máximo (Robinson et al., 1978[4]). Por lo tanto, modificamos la ondícula de Ricker agregando un poco de ruido blanco al valor central de la función autocorrelation - digamos, el 1% de este valor - que es una operación llamada "preblanqueamiento". En otras palabras, multiplicamos el valor central de esta función autocorrelation por 1,01. La ondícula de Ricker modificada ahora se convierte en
$ {\begin{aligned}\{&-0.01,-0.03,-0.07,-0.14,-0.26,-0.38,-0.45,-0.35\\&-0.05,0.41,0.83,1.01,0.83,0.41,-0.05,-0.35\\&-0.45,-0.38,-0.26,-0.14,-0.07,-0.03,-0.01\}.\end{aligned}} $ ()
Observamos que solo se ha modificado el valor central: ahora es 1,01 en lugar de 1,00. Cuando se representa gráficamente la ondícula de Ricker modificada, se parece tanto a la ondícula de Ricker real de la Figura 22 que no vale la pena mostrarla.
A continuación, calculemos las raíces de esta nueva transformada "Z" de la wavelet de Ricker modificada. Los valores absolutos de las raíces son ahora
$ {\begin{aligned}\{1.13,1.13,0.89,1.12,1.12,0.89,0.89,1.11,1.11,0.9\\0.9,0.83,0.83,1.21,1.21,0.58,0.58,1.73,1.73,0.98,1.02\}.\end{aligned}} $ ()
Ninguna raíz tiene un valor absoluto de unidad y, por lo tanto, ninguna de las dos wavelets constituyentes de longitud es una wavelet de retardo igual.
¿Cuál es la señal componente para la wavelet de Ricker modificada? Considere los valores absolutos anteriores de las raíces de la wavelet de Ricker modificada: la mitad de ellas son mayores que uno, mientras que la otra mitad son menores que uno. Tome las 11 raíces con valores absolutos mayores que uno. Con estas 11, forme un polinomio. Los coeficientes de este polinomio forman lo que llamaremos una wavelet componente (Robinson y Treitel, 1985[5]). Esta wavelet componente es necesariamente una wavelet de retardo mínimo porque (por construcción) cada raíz de su polinomio de transformada "Z" tiene una magnitud mayor que uno (Figura 23). En la Figura 23, también mostramos la inversión temporal de esta wavelet componente, que es necesariamente una wavelet de retardo máximo.
Referencias
- ↑ Hubral, P. y M. Tygel, 1989, Analysis of the Rayleigh pulse: Geophysics, 54, 654–658.
- ↑ Ulrych, T. J., R. D. Velis y M. D. Sacchi, 1995, Wavelet estimation revisited: The Leading Edge, 14, 1139–1143.
- ↑ Clay, C. S., 1990, Elementary explorer seismology: Prentice Hall.
- ↑ Robinson, E. A., D. Loewenthal y S. Treitel, 1978, Numerical testing of minimum-delay, positive-real, and positive-definite digital filter: Journal of Computational Physics, 29, 421–430.
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 1985, The right-half autocorrelation theorem, en O. D. Anderson, J. K. Ord, y E. A. Robinson, eds., Time series analysis, theory and practice 6: North Holland Publishing Co., 105–132.
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También en este capítulo
- Ondículas
- Transformada de Fourier
- Transformada Z
- Retraso: Mínimo, mixto y máximo
- Ondículas de doble longitude
- Ilustración del espectro
- Retraso en general
- Energía
- Autocorrelación
- Representación canónica
- Ondículas de fase cero
- Ondículas simétricas
- Apéndice G: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Ricker wavelet/es |
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