Modelado de la cola y modelado de la cabeza
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 10 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Traducciones:Formación de cola y formación de cabeza/1/es La cabeza de una wavelet consta de sus primeros valores $ \alpha $; su cola es todo el resto. El filtro con la wavelet de fase mínima Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b= \left(b_0{ ,\ }b_{{\rm l}}{ ,\ }b{ 2,\ }\cdots \right) como entrada y la cola como salida deseada se denomina filtro de formación de cola. El filtro con la wavelet de fase mínima como entrada y la cabeza como salida deseada se denomina filtro de formación de cabeza. ¿Cómo son estos filtros?
Si la salida deseada es la cola, entonces la correlación cruzada entre la salida deseada y la entrada es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g_n= \sum_i{b_{\alpha +n+i}} b_i= r_{n+\alpha }. \end{align} ()
Esto demuestra que la correlación cruzada es igual a la autocorrelación avanzada de la ondícula de fase mínima. Debido a que la traza sísmica Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x= b*\varepsilon (donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon es ruido blanco) y la ondícula b tienen la misma autocorrelación teórica, las ecuaciones normales son las mismas que antes; es decir, las ecuaciones normales son las mismas que la ecuación matricial 9 para el filtro de predicción con distancia de predicción Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha .
Si asumimos que la salida deseada es la cabeza Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h= \left(b_0{ ,\ }b_{1}{ ,\ldots ,}\ b_{\alpha-1}\right) , la correlación cruzada entre la salida deseada y la entrada es simplemente la autocorrelación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \rho de la cabeza; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \rho_0= b^{2}_0+b^{2}_{1}+\ldots +b^{2}_{\alpha }{ \ ,\ }\rho_{1}= b_{1}b_0+b_{2}b_{1}+\ldots +b_{\alpha }b_{\alpha -1}{,\ldots ,\ }\rho_{\alpha-1 }= b_{\alpha-1 }b_0. \end{align} ()
Por lo tanto, el lado derecho de las ecuaciones normales es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g= \left({\rho }_0{ ,\ }{\rho }_{{ 01}} ,\dots ,{\rho }_{\alpha-1 }{ ,\ 0,0,}\dots ,0\right) . \end{align} ()
Para el filtro modelador de cabeza, la ecuación matricial 4 se convierte en
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left[ \begin{array}{l} \,r_0 \;\;\;\;\;\;\;\;r_1 \;\;\;\;\;\,\,\, \ldots \;\;\;\;\;\,r_{\alpha - 1} \;\;\;\;r_\alpha \;\;\;\;\;r_{\alpha + 1} \,\,\,\,\, \ldots \,\,\,\,r_{\alpha + N - 1} \\ r_1 \;\;\;\;\;\;\;\;r_0 \;\;\;\;\,\,\,\,\, \ldots \;\;\;\;\;r_{\alpha - 2} \;\;\;\;r_{\alpha - 1} \;\;\;r_\alpha \;\;\;\;\;\, \ldots \;\;\;r_{\alpha + N - 2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\,\,\,\, \ldots \;\;\;\;\;\; \\ r_{\alpha - 1} \;\;\,\;\;r_{\alpha - 2} \;\;\;\;\;\; \ldots \;\;\;\;\;r_0 \;\;\;\;\;\;\;r_1 \,\;\;\;\;r_2 \;\;\;\;\;\,\, \ldots \;\;\;\,r_{N + 1} \\ r_\alpha \;\;\;\;\,\;\;r_{\alpha - 1} \;\;\;\;\;\;\, \ldots \;\;\;\;\;r_1 \;\;\;\;\;\;\;r_0 \;\;\;\;r_1 \;\;\;\;\;\,\,\, \ldots \;\;\;\,r_N \; \\ r_{\alpha + 1} \;\;\,\;\;r_\alpha \;\;\;\;\;\;\;\,\, \ldots \;\;\;\;r_2 \;\;\;\;\;\;\;r_1 \;\;\;\;\;r_0 \;\;\;\;\;\;\,\, \ldots \;\;\,\,r_{N - 1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\, \ldots \\ r_{\alpha + N - 1} \;\;r_{\alpha + N - 2} \,\,\,\, \ldots \;\;\;\;r_{N + 1} \,\,\,\,\,r_N \;\;\;\,r_{N - 1} \,\,\,\,\,\,\, \ldots \;\;\;\;r_0 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} f_0 \\ f_1 \\ \ldots \\ f_{\alpha - 1} \\ f_\alpha \, \\ f_{\alpha + 1} \\ \ldots \\ f_{\alpha + N - 1} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \rho _0 \\ \rho _1 \\ \ldots \\ \rho _{\alpha - 1} \\ 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \\ \end{array} \right]. ()
Interpretemos esta ecuación en términos del el filtro de error de predicción. Como la salida deseada son los primeros valores de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha de la ondícula de fase mínima, la correlación cruzada es la autocorrelación de la cabeza. Como la cabeza tiene una longitud de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha , la correlación cruzada se anula para los desfases mayores que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha-1 . La ondícula de entrada tiene una fase mínima. El operador de error de predicción acorta esta ondícula de entrada b a su cabeza, que tiene una longitud de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha . Como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha es una variable independiente, tenemos la libertad de seleccionar cualquier valor que queramos para $ \alpha $. Por lo tanto, podemos controlar el grado deseado de resolución o contracción de la ondícula. Sin embargo, este uso del filtro de predicción de error no es un enfoque más generalizado de la deconvolución, sino que es parte de un todo unificado. El conjunto de filtros de predicción de error (con varias distancias de predicción) para una autocorrelación dada tiene el filtro de picos (que tiene una distancia de predicción de 1) en un extremo y el filtro de no hacer nada (con una distancia de predicción Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \infty ) en el otro extremo. Todos los filtros de predicción de error en el conjunto están simplemente relacionados entre sí.
A continuación se muestra un ejemplo numérico: supongamos que la ondícula de fase mínima es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b={1} , -{ 0,6,0,3,-0,1} . Supongamos que la longitud del filtro de predicción es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): N={4} y que la distancia de predicción es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha ={2} . La cola de la ondícula es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t= \left({0,3,\ }-{ 0,1}\right) . La autocorrelación wavelet de fase mínima unilateral es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r= (1,46, -{ 0,81}, 0,36, -{ 0,1} . La correlación cruzada de la cola con el wavelet, que es la misma que la autocorrelación avanzada del wavelet, es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g={(0,36,}-{ 0,1}, 0,{ 0} . L
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left[ \begin{array}{l} \,\,\,1.46\;\;\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\;\;\,\, - 0.1\;\, \\ - 0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,1.46\;\;\;\, - \;0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,0.36 \\ \;\;0.36\;\;\;\;\;\, - 1.81\;\;\;\;\;\;\,1.46\;\;\;\;\;\,\, - \,0\;.81\; \\ - 0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;\,\;\;1.46\, \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} \;\;\,0.2998 \\ \,\,\,\,0.08012 \\ \, - \,0.04197 \\ \;\;\;0.0225\, \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \,\,\,0.36 \\ - 0.1 \\ \,\,\,\,0 \\ \;\;\,0\;\;\, \\ \end{array} \right], ()
where the column vector on the left is the prediction operator — namely, the solution of system 41. Equation 18 for the prediction-error operator is
$ \left[{\begin{array}{l}\,\,\,1.46\;\;\;\;\;\;-0.81\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\;\;\,\,-0.1\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,\,\,0\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,0\\-0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,1.46\;\;\;\,-\;0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,0.36\;\;\;\;\,\,\,-0.1\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,0\\\;\;0.36\;\;\;\;\;\,-1.81\;\;\;\;\;\;\,1.46\;\;\;\;\;\,\,-\,0\;.81\;\;\;\;\,\;\,\,\,0.36\;\;\,\,-0.1\\-0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\;-0.81\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,1.46\,\,\,\;\;\,\,-0.81\;\;\;-0.36\\\,\,\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-0.1\;\;\;\;\;\,-0.36\;\;\;\;\;\;-0.81\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,1.46\;\;\;-0.81\\\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,0\;\;\;\;\;\;\;\;-0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\;\,\,-0.81\;\;\;\;\;\;1.46\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{l}\;\;\,1\\\,\,\,\,0\\\,-\,0.2997\\\;\;\;0.08012\\\;\;\;0.04197\\\,-0.0225\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}\,\,\,1.36\\-0.6\\\,\,\,\,0\\\;\;\,0\\\;\;\,0\\\;\;\,0\\\end{array}}\right], $ ()
donde el vector de columna de la izquierda es el operador de error de predicción
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f = \left({ 1,\ 0.0001957,\ }-{0.2997,\ }{ 0.08011,\ }{ 0.0225}\right) , \end{align} ()
como se indica en la solución de las ecuaciones. La correlación cruzada de la cabeza con la ondícula, que es la misma que la autocorrelación de la cabeza, es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \rho = \left({ 1.36,\ }-{ 0.6,0,0,0,0}\right) .
La ecuación 40 para el operador de modelado de cabeza es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left[ \begin{array}{l} \,\,\,\, 1.46\;\;\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;0.36\;\;\;\;\;\,\, - 0.1\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\, 0\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \\ - 0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\, 1.46\;\;\;\, - 0.81\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, 0.36\;\;\;\;\, - 0.1\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \\ \;\;\, 0.36\;\;\;\;\;\, - 1.81\;\;\;\;\;\;\,1.46\;\;\;\;\;\,\, - \,0\;.81\;\;\;\;\;\,\,0.36\;\;\,\, - 0.1 \\ - 0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, 0.36\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\, 1.46\,\,\,\;\; - 0.81\;\;\; - 0.36 \\ \,\,\,\, 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - 0.1\;\;\;\;\;\, - 0.36\;\;\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\,\,\,\,\,1.46\;\;\; - 0.81 \\ \;\;\, 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \,\;\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\, - 0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, 0.36\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;1.46 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} \;\;\,1 \\ \,\,\,\,0.0001957 \\ \, - \,0.2997 \\ \;\;\;0.08011 \\ \;\;\;0.04196 \\ \;\;\;0.0225 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \,\,\,1.36 \\ - 0.6 \\ \,\,\,\,0 \\ \;\;\,0 \\ \;\;\,0 \\ \;\;\,0 \\ \end{array} \right], ()
donde el vector de columna de la izquierda es el operador que da forma a la cabeza
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f = \ \left({ 1,\ 0.0001957,\ }{-0.2997,\ }{0.08011,\ }{ 0.0225}\right) , \end{align} ()
como se indica en la solución de las ecuaciones. Los filtros 43 y 45 son los mismos, dentro de los límites de las aproximaciones numéricas utilizadas.
Sin embargo, los dos métodos anteriores no necesitan ser utilizados para calcular el operador de error de predicción. La deconvolución de picos y la deconvolución de huecos están íntimamente relacionadas. La ecuación 36 establece que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f= a*h , lo que indica que el filtro de deconvolución de huecos f para un valor dado de $ \alpha $ es la convolución del filtro de picos a con la cabeza h de la ondícula de fase mínima b. Debido a que el filtro de picos a es necesariamente de fase mínima, se deduce que el filtro de huecos f es de fase mínima si y solo si la cabeza h es de fase mínima.
Sea la longitud del filtro de predicción N = 4, y sea la distancia de predicción Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha = 1 . La cola del wavelet es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t= \left(-{ 0.6,0.3,\ }-{ 0.1}\right) . La correlación cruzada de la cola con el wavelet, que es la misma que la autocorrelación avanzada del wavelet, es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g={(\ 0.81,0.36,-0.1,0)} . La ecuación 4 se convierte en
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left[ \begin{array}{l} \,\,\,\,1.46\;\;\;\;\;\; - 0.81\;\;\;\;\;\;\, 0.36\;\;\;\;\;\, - 0.1 \\ - 0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\, 1.46\;\;\;\, -0.81\;\;\;\;\;\;\;\,\,\, 0.36\;\; \\ \;\;\, 0.36\;\;\;\;\; - 1.81\;\;\;\;\;\;\,\, 1.46\;\;\;\;\;\, -0.81\;\; \\ - 0.1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, 0.36\;\;\;\; -0.81\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, 1.46 \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} - 0.5998 \\ - 0.06096 \\ \,\,\,\, 0.04497 \\ - 0.001103 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 0.81 \\ - 0.36 \\ - 0.1 \\ \;\;\;0 \\ \end{array} \right], ()
donde el vector columna de la izquierda es el operador de predicción, tal como se indica en la solución de las ecuaciones. Por lo tanto, el operador de pico es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a= (1 , 0,5998, 0,06096, -{ 0,04497}, 0,001103) . La convolución del operador de pico con la cabeza $ h=\left({1\ ,\ }-{0,6}\right) $ para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha ={2} da el operador de error de predicción
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f= ({\rm 1}, -{ 0.0002227,} -{ 0.2989,} -{ 0.08154}, 0.02808, -{ 0.0006696}). \end{align} ()
Hemos encontrado el filtro de error de predicción de tres maneras, lo que dio como resultado la ecuación 43, la ecuación 45 y la ecuación 47. Para un operador de error de predicción de una longitud dada, el método de modelado de la cabeza dado por la ecuación 45 produce el resultado más preciso. La ecuación 47, que se obtiene por convolución del filtro de picos con la cabeza, da el resultado menos preciso.
En general, las salidas de los filtros de picos no se pueden interpretar con facilidad porque en la traza deconvolucionada hay componentes de alta frecuencia. Esos componentes resultan del hecho de que este tipo de deconvolución utiliza filtros inversos o de picos. Esta condición se mejora al pasar la traza deconvolucionada sin procesar a través de filtros de paso bajo adecuados, al suavizar la función de autocorrelación o por otros medios relacionados.
El uso de filtros de predicción de error con una distancia de predicción arbitraria Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha conduce a un método de deconvolución en el que la traza deconvolucionada por gap se vuelve igual a la convolución de la cabeza de la ondícula con la traza deconvolucionada por spike. La cabeza de la ondícula generalmente es una mala elección excepto en los casos para los que se dispone de un tipo especial detallado de modelo convolucional. Existen controles más efectivos para el grado deseado de resolución que los que ofrece deconvolución por gap. En conclusión, no se debe utilizar deconvolución por gap excepto cuando las circunstancias lo justifiquen.
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|---|---|
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También en este capítulo
- Modelos utilizados para la deconvolución
- Predicción de mínimos cuadrados y suavizamiento
- El filtro de error predicción
- Deconvolución de pico
- Deconvolución predictiva
- Deconvolución sísmica
- Modelo convolucional por partes
- Modelo convolucional variable en tiempo
- Modelo de coeficientes de reflexión aleatorios
- Implementación de la deconvolución
- Representación canónica
- Apéndice J: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Tail shaping and head shaping/es |
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