Modelos utilizados para la deconvolución
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 10 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
¿Qué multitud es ésta? ¿Qué tenemos aquí? No debemos pasar de largo; un telescopio sobre su marco apuntando al cielo. —William Wordsworth (1770-1850)
Pitágoras (c. 580-c. 500 a. C.) enseñó que “todo es número”. Pitágoras se dio cuenta de que los números estaban ocultos en todo, desde las armonías de la música hasta las órbitas de los planetas. En otras palabras, el número y la naturaleza del número hacen que una cosa sea clara, ya sea en sí misma o en su relación con otras cosas. El mundo actual, con sus computadoras digitales, imágenes digitales, animación digital, televisión digital, teléfonos digitales, reguladores digitales y procesamiento digital, da testimonio de la visión de futuro de Pitágoras. Pitágoras fue fundamental en el desarrollo del lenguaje de las matemáticas, que le permitió a él y a otros describir la naturaleza del universo.
De otras maneras que Pitágoras no había previsto, todo es número. El gran matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo una vez: “Las matemáticas son la reina de la ciencia y la teoría de números, la reina de las matemáticas”. Cuando todavía era adolescente, a Gauss le intrigaban los números. A los 18 años, ideó y justificó el “método numérico de los mínimos cuadrados”.
El amor de Gauss por los cálculos numéricos despertó su interés por la astronomía. En la víspera de Año Nuevo de 1800-1801, Giuseppe Piazzi había descubierto lo que creía que era un nuevo planeta (se trataba del asteroide Ceres). Como los observadores pronto perderían de vista un objeto tan pequeño, era importante calcular su órbita elíptica lo antes posible. Utilizando únicamente las pocas observaciones que se habían hecho del asteroide, Gauss calculó su órbita (según se dice por mínimos cuadrados) con tanta precisión que los astrónomos pudieron localizarlo de nuevo a finales de 1801 y principios de 1802.
Siguiendo la mejor tradición de Piazzi y Gauss, los geofísicos modernos Joe Dellinger y Bill Dillon descubrieron y calcularon la órbita de un nuevo asteroide, al que llamaron Svenders en honor a los autores actuales (Schuster, 2005[1]). Desde el trabajo de Gauss, el método de mínimos cuadrados ha sido importante en la ciencia, especialmente en astronomía y geodesia.
Traducciones:Modelo utilizado para la deconvolución/6/es El propósito de un filtro de mínimos cuadrados es, en el sentido de mínimos cuadrados, convertir una señal de entrada en una señal de salida deseada. El diseño de un filtro de mínimos cuadrados requiere dos entidades: la autocorrelación de la señal de entrada y la correlación cruzada de la señal de salida deseada con la señal de entrada.
Un filtro de predicción de mínimos cuadrados es un caso especial de filtro de mínimos cuadrados. En este caso, la salida deseada es una versión adelantada en el tiempo de la señal de entrada. El diseño de un filtro de predicción de mínimos cuadrados requiere únicamente la autocorrelación de la señal de entrada. El filtrado de mínimos cuadrados, como proceso matemático, no requiere una descripción detallada de las señales involucradas. Ese aspecto hace que el filtrado de mínimos cuadrados sea muy útil.
La deconvolución se implementa típicamente con el criterio de error de mínimos cuadrados, aunque también se pueden utilizar otros criterios de error. La deconvolución requiere un modelo que describa la estructura interna de una traza sísmica. Más exactamente, la "deconvolución" se basa en el supuesto de que una traza sísmica se puede representar como la "convolución" de una serie de reflectividad con una ondícula sísmica. Este llamado modelo convolucional de la traza sísmica conduce directamente al método de deconvolución, en el que intentamos recuperar estimaciones de la serie de reflectividad a partir de la traza sísmica registrada.
El conjunto de los coeficientes de reflexión comprende la serie de reflectividad. La traza sísmica es la respuesta de la serie de reflectividad a la excitación de las ondículas, es decir, la traza es una superposición de las ondículas individuales. Este proceso lineal se denomina "principio de superposición", que analizamos en el Capítulo 1. El proceso se logra computacionalmente convolucionando la ondícula con la serie de reflectividad. Para identificar límites de reflexión muy espaciados, la ondícula debe eliminarse de la traza para obtener la serie de reflectividad. Este proceso de eliminación es el opuesto del proceso convolucional utilizado para representar la respuesta de la serie de reflectividad a una excitación de ondículas. Un proceso opuesto o inverso de este tipo se denomina apropiadamente "filtrado inverso" o "deconvolución" (Robinson, 1954[2], 1957[3], 1966[4]; Robinson y Treitel, 1967[5], 1969[6]; Peacock y Treitel, 1969[7]).
El modelo convolucional establece que una traza es la convolución de una wavelet y una serie de reflectividad. Como escribió Robinson (1957, [3], p. 767-768), este modelo convolucional produce
la representación de la serie temporal en cualquier momento en términos de su propia historia observable más una innovación impredecible y aleatoria. Se supone que una traza sísmica está compuesta de forma aditiva de muchas ondículas sísmicas superpuestas que llegan a medida que avanza el tiempo. Se supone que cada ondícula tiene la misma forma estable, unilateral y de fase mínima y que los tiempos de llegada y las intensidades de estas ondículas pueden representarse mediante una secuencia temporal de variables aleatorias no correlacionadas. Dado que la estructura geológica es físicamente fija y constante por naturaleza y no tiene características aleatorias intrínsecas, cualquier enfoque estadístico de este problema encuentra inmediatamente dificultades que se asocian comúnmente en la literatura estadística con el teorema de Thomas Bayes. Sin embargo, la teoría estadística moderna admite la elusión de estas dificultades, aunque con reservas, y por lo tanto se puede considerar que el geofísico en ejercicio se enfrenta a una situación que es esencialmente estadística.
Curiosamente, cuando Robinson presentó este artículo para su publicación en 1954, no fue aceptado. En aquel momento, se consideraba que la Tierra sólida era determinista y que debía tratarse mediante ecuaciones diferenciales e integrales, en lugar de aleatoria o similar al azar y que debía tratarse mediante métodos estadísticos.
Cuando Norman Ricker se convirtió en editor de GEOPHYSICS en 1957, encontró por accidente el manuscrito de Robinson en una vieja caja de cartón y lo publicó. Para aclararlo, no se pueden encontrar mejores palabras que las de Ulrych et al. (2001[8], pág. 55):
Una característica inherente de cualquier problema inverso es la aleatoriedad. Como veremos, la aleatoriedad puede estar asociada con varias partes de nuestra búsqueda, pero ciertamente no puede haber duda de que el ruido siempre asociado con las observaciones es de hecho aleatorio. Por lo tanto, nuestro enfoque debe ser de naturaleza estadística. Las estadísticas, para muchos, implican probabilidades. Las probabilidades, al menos para nosotros, implican Bayes. Esta no es la única perspectiva; de hecho, consideramos dos perspectivas bastante diferentes. En la primera, consideramos que los parámetros del modelo son una realización de una variable aleatoria. En la segunda, tratamos los parámetros como no aleatorios. La teoría de la probabilidad y la estadística son diferentes. La primera se refiere a la búsqueda de predecir propiedades de observaciones a partir de leyes de probabilidad que se suponen conocidas. La segunda es, en cierto sentido, lo inverso. Observamos datos y deseamos inferir la ley de probabilidad subyacente. En general, los problemas inversos son más complejos de resolver que los problemas directos. A menudo están mal planteados o no son únicos.
La suposición estándar es que cada wavelet tiene la misma forma de fase mínima y que los tiempos de llegada y las intensidades de cada wavelet están dados por una serie de reflectividad de variables aleatorias no correlacionadas. El operador de deconvolución de picos se puede calcular a partir de la autocorrelación de la traza. El operador de picos, así calculado, es necesariamente de fase mínima (Robinson y Wold, 1963[9]). Este operador se puede utilizar para deconvolucionar la traza, es decir, el operador de picos elimina el wavelet de la traza, produciendo así la serie de reflectividad. Además, el operador de picos se puede invertir para producir estimaciones de la forma básica de wavelet.
La deconvolución mejora la resolución temporal de una sección sísmica al comprimir las ondículas sísmicas. Por ejemplo, el carácter reverberante (de timbre) de un registro marino sin deconvolución limita seriamente la resolución. La deconvolución puede atenuar significativamente dichas reverberaciones. Un filtro de deconvolución de spiking es un filtro de error de predicción con una distancia de predicción igual a una unidad de tiempo. Por otro lado, el método de deconvolución de gap también utiliza el filtro de error de predicción de mínimos cuadrados, pero con distancias de predicción mayores que la unidad. En ciertos casos, la deconvolución de gap se puede utilizar para eliminar las reverberaciones de una traza sísmica generada por una ondícula de fase mixta. Presentamos algunos ejemplos en el Capítulo 11.
Se pueden derivar otros filtros de una wavelet de fase mínima (Robinson, 1998[10]). Por ejemplo, podemos dividir la wavelet en dos partes. Una parte consiste en los primeros coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha de la wavelet y se llama su "cabeza". La otra parte consiste en todos los coeficientes más allá de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha y se llama la "cola" de la wavelet. Estos operadores de modelado se pueden calcular por mínimos cuadrados. El operador de modelado que da forma a la wavelet en su cabeza se llama "operador de modelado de cabeza". Dentro de la precisión computacional, este operador es el mismo que el operador de error de predicción para la traza para la distancia de predicción Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha . El operador de modelado que da forma a la ondícula en su cola se denomina "operador de modelado de cola".
Referencias
- ↑ Schuster, G. T., 2005, Svenders: A stellar tribute: Geophysics, 70, no. 4, 4JA.
- ↑ Robinson, E. A., 1954, Predictive decomposition of time series with applications to sesmic explorer: Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology. (Reimpreso en Geophysics, 32, 418-484, 1967.)
- ↑ 3.0 3.1 Robinson, E. A., 1957, Predictive decomposition of sesmic traces: Geophysics, 22, 767-778.
- ↑ Robinson, E. A., 1966, Multichannel z-transforms and minimum-delay: Geophysics, 31, 482-500. Erratum: Geofísica, 31, 992.
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 1967, Principios del filtrado digital de Wiener: Prospección geofísica, 15, 311-333.
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 1969, El lector Robinson-Treitel: Seismograph Service Corporation.
- ↑ Peacock, K. L., y S. Treitel, 1969, Deconvolución predictiva: teoría y práctica: Geofísica, 34, 155-169.
- ↑ Ulrych, T. J., M. D. Sacchi y A. Woodbury, 2001, A Bayes tour of inversion, a tutorial: Geophysics, 66, 55-69.
- ↑ Robinson, E. A., y H. Wold, 1963, Minimum-delay structure of less-squares and eo ipso predicting systems, in M. Rosenblatt, ed., Time series analysis: John Wiley, 192-196.
- ↑ Robinson, E. A., 1998, Model-driven predictive deconvolution: Geophysics, 63, 713-722.
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|---|---|
| nada | Predicción de mínimos cuadrados y suavizamiento |
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| Procesamiento de la ondícula | Algunas consideraciones |
También en este capítulo
- Predicción de mínimos cuadrados y suavizamiento
- El filtro de error predicción
- Deconvolución de pico
- Deconvolución predictiva
- Modelado de la cola y modelado de la cabeza
- Deconvolución sísmica
- Modelo convolucional por partes
- Modelo convolucional variable en tiempo
- Modelo de coeficientes de reflexión aleatorios
- Implementación de la deconvolución
- Representación canónica
- Apéndice J: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Model used for deconvolution/es |
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