Deconvolución de pico

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	10
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Por su propia naturaleza, la deconvolución se basa en un modelo convolucional. Sin un modelo convolucional, puede haber filtrado de errores de predicción, pero no deconvolución como tal. El modelo convolucional es nuestra representación particular de la estructura física de la Tierra. El modelo convolucional estándar establece que una traza sísmica es la convolución de una ondícula de fase mínima con una reflectividad blanca. Cualquier generalización del modelo convolucional siempre debe comenzar con formas de relajar el supuesto de fase mínima o el supuesto de reflectividad blanca o ambos.

Sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x= \left(x_0{ ,\ }x_{1}{ \ ,\ }x_{2}{ ,\ .\ .\ .}\right) la traza sísmica, sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b= \left(b_0{ ,\ }b_{1}{ \ ,\ }b_{2}{ ,\ }\dots \right) la ondícula de fase mínima y sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon = \left({\varepsilon }_0{ ,\ }{\varepsilon }_{{\rm l}}{ ,\ }{\varepsilon }_{2}{ ,\ .\ .\ .}\right) la reflectividad blanca aleatoria. Matemáticamente, el modelo convolucional es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_n= b_0{\varepsilon }_n+b_{1}{\varepsilon }_{n-1}+\dots = \sum^{\infty }_{i={0}} {b_i}{\varepsilon }_{n-i}. \end{align}

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Por conveniencia, el primer coeficiente $ b_{0} $ de la ondícula se toma igual a uno. En una notación más concisa, el modelo convolucional es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x= b*\varepsilon . El problema de deconvolución consiste en eliminar la ondícula de la traza, dejando una estimación de la reflectividad.

El proceso de deconvolución se puede resumir de la siguiente manera. La traza es el dato dado. A continuación se calcula la función de autocorrelación de esta traza. Como la reflectividad es blanca, el cálculo de la función de autocorrelación de la traza promedia la serie de reflectividad aleatoria no correlacionada. Como resultado, la autocorrelación de la traza es la misma función, dentro de límites estadísticos, que la autocorrelación de la ondícula. A partir de la traza sísmica, podemos estimar la autocorrelación de la ondícula. Este es el paso crucial en el proceso de deconvolución. Sin embargo, siempre quedan asperezas en la autocorrelación calculada. Como resultado, la autocorrelación calculada debe ajustarse o reducirse para que sea más adecuada desde el punto de vista de su energía espectral. Un ajuste típico es aumentar el coeficiente de autocorrelación de retardo cero en un pequeño porcentaje. Debido a que este aumento en el coeficiente de autocorrelación de retardo cero aumenta el nivel de ruido blanco del espectro, este ajuste a menudo se denomina "preblanqueamiento".

La ondícula sísmica es desconocida; sin embargo, dadas las suposiciones del modelo convolucional, se puede encontrar la autocorrelación de la ondícula. Nótese, sin embargo, que la función de autocorrelación no conserva información de fase. Resulta que muchas formas de ondícula comparten la misma función de autocorrelación pero tienen diferentes espectros de fase (Capítulo 7). Sin embargo, solo una de estas ondículas es de fase mínima. Debido a que el modelo convolucional supone que la ondícula sísmica es de fase mínima, la especificación de la ondícula de fase mínima nos proporciona la información necesaria para determinar la ondícula a partir de la función de autocorrelación dada. Una vez que se conoce la ondícula de fase mínima, se puede eliminar de la traza mediante deconvolución, dejando así, como residuo, la serie de reflectividad aleatoria.

Si bien los operadores de predicción se pueden utilizar con varios valores de la distancia de predicción, ahora nos centraremos en el operador de predicción para la distancia de predicción unitaria, es decir, para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha = 1 . La ecuación de predicción para la distancia de predicción unitaria es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \hat{x_n}= k_0x_{n-1}+k_{{\rm 1}} x_{n-2}+...+k_{N-{\rm 1}}x_{n-N}. \end{align}

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Los datos proporcionados son la autocorrelación de la traza, que es la misma que la autocorrelación de la ondícula. La simplificación crítica que aporta el modelo convolucional es que ahora solo es necesario trabajar con la ondícula en lugar de con la traza completa cuando se trata del diseño del operador. Por lo tanto, ahora la ondícula "b" puede considerarse como la entrada del filtro. La autocorrelación de la ondícula es la misma que la autocorrelación "r" de la traza.

El primer paso es determinar los coeficientes del operador de predicción para la distancia de predicción unitaria para esta ondícula. Configuración de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \alpha {{NumBlk|:|<math>\left[ \begin{array}{l} \,r_0 \;\;\;\;\;r_1 \;\;\;\;\;\, \ldots \;\;\;\;\;\,r_{N - 1} \\ r_1 \;\;\;\;\;\;r_0 \;\;\;\;\,\, \ldots \;\;\;\;\;r_{N - 2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,\,\,\, \ldots \;\;\;\;\;\; \\ r_{N - 1} \;\;r_{N - 2} \;\;\; \ldots \;\;\;\;r_0 \, \\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} k \\ k_1 \\ \ldots \\ k_{N - 1} \, \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} r_1 \\ r_2 \\ \ldots \\ r_N \\ \end{array} \right], |21}}

La solución de estas ecuaciones normales da los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k_0,k_{{\rm 1}},\ldots , k_{N-1} del operador de predicción para la distancia de predicción unitaria. Por la ecuación 12, el operador de error de predicción para una distancia de predicción de 1 es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(a_0{ \ ,\ }a_{1}{ \ ,\ }a_{2}{,\dots, }a_N\right)= \left({ 1,\ }-k_0{,\ }-k_{1}{,\dots, }-k_{N-1}\right) . \end{align}

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El operador Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a= \left({ 1\ ,\ }a_{{\rm 1}}{ ,\ }a_{2}{,\dots ,\ }a_N\right) es un operador de picos o un filtro de picos (normalizado de modo que el coeficiente principal sea 1). El operador de picos es necesariamente de fase mínima.

El modelo convolucional tiene dos componentes: la ondícula de fase mínima y la reflectividad blanca. El operador de pico representa el medio para obtener ambos componentes. El inverso del operador de pico es la ondícula de fase mínima. Por lo tanto, la ondícula se puede encontrar a partir del filtro de pico a con la relación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a*b= {\delta }_0 , que es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} a_0\ b_0={1,\ }\;\;\;\;\; \sum^M_{i={0}} {a_i}b_{n-i}={0,\ }\;\;\;\;\; n={1,\ 2,\ 3,\dots} . \end{align}

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Esta ecuación dice que la ondícula de fase mínima b es la inversa del filtro de picos a, es decir, $ b=a^{-1} $. El filtro de picos finalmente produce la reflectividad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon con

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y= x*a= b*\varepsilon *b^{-1}= \varepsilon . \end{align}

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Esta ecuación denota deconvolución de picos. Por lo tanto, el filtro de picos produce tanto la ondícula como la reflectividad. La deconvolución del modelo convencional de la traza ahora está completa.

Una vez que se ha encontrado el operador de pico, se puede obtener fácilmente cualquier otro filtro lineal de longitud dada dentro de límites dados de precisión computacional. Supongamos que el filtro requerido q tiene una entrada b y una salida deseada z. Entonces, el filtro requerido tiene una respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): q= z*a . Podemos verificar este resultado calculando la salida. La salida del filtro es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b*q= b*\left(z*a\right)\approx z. \end{align}

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Una vez resueltas las ecuaciones normales para el filtro de picos, no es necesario resolver ningún otro conjunto de ecuaciones normales para la entrada dada. Se puede obtener cualquier otro filtro simplemente convolucionando la salida deseada requerida con el filtro de picos.

Como ejemplo, considere el problema de dar forma a la wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b=(\ {1}, 0.5) en la salida deseada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): d= (0.3, 1) . Si calculamos el filtro de modelado de mínimos cuadrados, obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f= \left({ 0.3012,0.8469,\ }-{ 0.4185,0.1993,\ }-{ 0.07971}\right) . \end{align}

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Si calculamos el filtro de picos de mínimos cuadrados, obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} a= \left({ 0.9971,\ }-{ 0.4927,0.2346,\ }-{ 0.09384}\right) \end{align}

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que, cuando se convoluciona con la salida deseada, da

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f= \left({ 0.2991,0.8493,\ }-{ 0.4223,0.2065,\ }-{ 0.09384}\right) . \end{align}

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Vemos que los filtros en las ecuaciones 26 y 28 son los mismos, dentro de los límites de precisión que se pueden obtener para filtros de longitud tan corta.

Sigue leyendo

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El filtro de error predicción	Deconvolución predictiva
Capítulo previo	Siguiente capítulo
Procesamiento de la ondícula	Algunas consideraciones
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Modelos utilizados para la deconvolución
• Predicción de mínimos cuadrados y suavizamiento
• El filtro de error predicción
• Deconvolución predictiva
• Modelado de la cola y modelado de la cabeza
• Deconvolución sísmica
• Modelo convolucional por partes
• Modelo convolucional variable en tiempo
• Modelo de coeficientes de reflexión aleatorios
• Implementación de la deconvolución
• Representación canónica
• Apéndice J: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Spiking deconvolution - book/es