Predicción de mínimos cuadrados y suavizamiento
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 10 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Una operación importante es la extrapolación de señales o, en otras palabras, la predicción. El suavizado es otra operación importante de las señales. A menudo, la cantidad deseada sólo se puede observar después de que se ha corrompido o alterado mediante la mezcla (quizás de forma aditiva) con otras señales. A esa señal corrompida se la suele llamar "ruido", incluso en los casos en los que la señal tiene una presencia física legítima. Por ejemplo, las reverberaciones suelen considerarse ruido, pero son una necesidad física. Ese "ruido generado por la señal" contiene información valiosa por sí mismo, y el truco consiste en utilizar esa información para obtener una ventaja siempre que sea posible.
A menudo es importante determinar, en el sentido de mínimos cuadrados, cómo habrían sido los datos sin contaminación por ruido. El suavizado puede ser el problema completo que se debe abordar; alternativamente, se puede combinar con un problema de predicción, lo que significa que deseamos saber qué hará la señal no contaminada en el futuro. Mientras que el problema de suavizado es claramente distinguible del problema de predicción, los problemas mixtos que involucran elementos de ambos son muy importantes. De hecho, un buen desempeño del suavizado generalmente depende de la introducción de un retraso suficiente. Si el retraso es negativo, el desempeño del filtro se ve afectado. Por otro lado, el filtro se convierte en un predictor de suavizado, que a menudo es una herramienta útil. El procesamiento sísmico debe ser innovador. La mayoría de los métodos de procesamiento de datos geofísicos son híbridos matemáticos y físicos y se basan en un modelo geofísico particular.
Antes de poder diseñar un filtro digital real, es necesario construir un modelo. El modelo de mínimos cuadrados, que se ha hecho famoso por su uso, requiere tres señales: la señal de entrada $ x=(\ x_{0},x_{1},x_{2},...) $, la señal de salida real $ y=\left(y_{0}{,\ }y_{\rm {l}}{,\ }y_{2}{,\ .\ ..}\right) $, y la señal de salida deseada $ z=(\ z_{0},z_{1},z_{2},\ldots ) $. El filtro es un filtro de respuesta a impulso finito (FIR). Sea dicho filtro k un número finito de coeficientes, dado por
$ {\begin{aligned}k=\left(k_{0}{\ ,\ }k_{1}{\ ,\ }k_{2}{,\dots ,}k_{N-1}\right).\end{aligned}} $ ()
Se dice que este filtro tiene una longitud "N". La salida es la convolución del filtro con la entrada, es decir, $ y=k*x $. Más específicamente, el valor de salida $ y_{n} $ en el tiempo "n" viene dado por la fórmula de convolución discreta.
$ {\begin{aligned}y_{n}=k_{0}x_{n}+k_{\rm {1}}x_{n-1}+\dots +k_{N-{\rm {1}}}x_{n-N+1}.\end{aligned}} $ ()
Se conocen la señal de entrada y la señal de salida deseada. El problema es encontrar el filtro mediante el criterio de mínimos cuadrados. En el instante de tiempo n, el valor de la salida es $ y_{n} $ y el valor de la salida deseada es $ z_{n} $. La diferencia entre la
$ {\begin{aligned}I=\sum _{n}{{\left(z_{n}-y_{n}\right)}^{2}}\end{aligned}} $ ()
es la energía de error. El filtro f que minimiza el valor de la energía de error es el filtro óptimo en el sentido de mínimos cuadrados. Fijando sus derivadas parciales con respecto a cada uno de los coeficientes del filtro igual a cero se minimiza la energía de error. El resultado de esa minimización es el conjunto de un sistema de N ecuaciones lineales simultáneas conocidas como ecuaciones normales. En su forma matricial, las ecuaciones normales son
$ \left[{\begin{array}{l}r_{0}\;\;\;\;\;\;\;r_{1}\;\;\;\;\;\;\ldots \;\;\;r_{N}\\r_{1}\;\;\;\;\;\;\;r_{0}\;\;\;\;\;\ldots \;\;\;r_{N-1}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ldots \\r_{N-1\;}\;\;r_{N-1}\;\;\ldots \;\;\;r_{0}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{l}k_{0}\\k_{1}\\\ldots \\k_{N-1}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}g_{0}\\g_{1}\\\ldots \\g_{N-1}\\\end{array}}\right], $ ()
que se derivaron en detalle en el Capítulo 9.
Las cantidades conocidas en este sistema son la autocorrelación $ r_{n} $ de la señal de entrada y los valores de retardo positivo de la correlación cruzada $ g_{n} $ de la señal de salida deseada con la señal de entrada. Las cantidades desconocidas son los valores de los coeficientes del filtro. La autocorrelación de la entrada es
$ {\begin{aligned}r_{n}=\sum _{i}{x_{i+n}}x_{i},\end{aligned}} $ ()
mientras que la correlación cruzada entre la salida deseada y la entrada es
$ {\begin{aligned}g_{n}=\sum _{i}{z_{i+n}}x_{i}.\end{aligned}} $ ()
La solución de las ecuaciones normales (ecuaciones 4) produce los coeficientes de filtro. La matriz cuadrada en las ecuaciones normales tiene los coeficientes de autocorrelación dispuestos en forma de Toeplitz. Es decir, todos los coeficientes de autocorrelación a lo largo de cualquier diagonal (la diagonal principal o cualquier subdiagonal) son los mismos. Debido a esta estructura de Toeplitz, el conocido algoritmo de Levinson se puede utilizar en la solución de las ecuaciones normales (Robinson y Treitel, 2000[1], pág. 163-169).
Ahora, derivemos el filtro de predicción de mínimos cuadrados y denotemos con $ k= $$ \left(k_{0}{,\ }k_{\rm {l}}{\ ,\ }k_{N-{\rm {l}}}\right) $ este filtro de predicción. Este filtro utiliza los valores pasados de la señal de entrada para predecir los valores futuros de esa señal. La entrada es la señal $ x_{n} $ y la salida deseada es la versión adelantada en el tiempo de la entrada. Sea la distancia de predicción dada por el entero positivo $ \alpha $. La entrada del filtro es la entrada $ x_{n} $ en el tiempo presente n. La salida deseada $ z_{n} $ es la entrada $ x_{n+\alpha } $ en el tiempo futuro $ n+\alpha $. El filtro de predicción está diseñado de modo que la salida $ y_{n} $ en el momento actual n sea una estimación óptima del valor futuro $ x_{n+\alpha } $. Si esta estimación se denota por $ {\hat {x}}_{n+\alpha } $, la acción del filtro se puede representar mediante la convolución
$ {\begin{aligned}{\hat {x}}_{n+\alpha }=k_{0}x_{n}+k_{1}x_{n-1}+\ldots +k_{N-1}x_{n-N+1}.\end{aligned}} $ ()
Equation 7 says that the prediction operator acts on an input up to time n and estimates its value at some future time $ n+\alpha $. Normal equations 4 now can be used.
La correlación cruzada entre la salida deseada y la entrada está dada por los coeficientes de retardo positivos de la correlación cruzada entre la traza adelantada en el tiempo y la traza
$ {\begin{aligned}g_{n}=\sum _{i}{x_{i+n+\alpha }}x_{i}=r_{n+\alpha }.\end{aligned}} $ ()
Como muestra la ecuación 8, la correlación cruzada entre la salida deseada y la entrada es igual a la autocorrelación de la entrada para rezagos mayores o iguales a $ \alpha $. Por lo tanto, las ecuaciones normales para el filtro de predicción se pueden escribir como
$ \left[{\begin{array}{l}r_{0}&r_{1}&.&.&r_{N-1}&\\r_{1}&r_{0}&&&r_{N-2}&\\&.&.&.&\\\\r_{N}&r_{N-1}&.&.&r_{0}&\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{l}k_{0}\\k_{1}\\.\\.\\k_{N}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}r_{\alpha }\\r_{\varepsilon +1}\\.\\.\\r_{\alpha +N}\\\end{array}}\right]. $ ()
Su solución produce los coeficientes del filtro de predicción óptimo que buscamos.
Referencias
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 2000, Análisis de señales geofísicas: SEG.
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|---|---|
| Modelos utilizados para la deconvolución | El filtro de error predicción |
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| Procesamiento de la ondícula | Algunas consideraciones |
También en este capítulo
- Modelos utilizados para la deconvolución
- El filtro de error predicción
- Deconvolución de pico
- Deconvolución predictiva
- Modelado de la cola y modelado de la cabeza
- Deconvolución sísmica
- Modelo convolucional por partes
- Modelo convolucional variable en tiempo
- Modelo de coeficientes de reflexión aleatorios
- Implementación de la deconvolución
- Representación canónica
- Apéndice J: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Least-squares prediction and smoothing/es |
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