Ondas sinusoidales

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	1
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Hasta ahora no hemos dado a la función de onda Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u\left(x,t\right) una dependencia funcional explícita; es decir, no hemos especificado su forma. Examinemos ahora la forma de onda más simple cuyo perfil es una curva seno o coseno. Estas ondas se conocen como ondas sinusoidales o, en terminología antigua, como ondas armónicas simples. Debido a que, según el teorema de Fourier, cualquier función periódica puede sintetizarse mediante una superposición de ondas sinusoidales, es importante que conozcamos sus propiedades.

Elija como perfil la función simple

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u\left(x,t\right){{\rm |}} _{{\rm t=0}}&{\rm =}u\left(x,0\right){\rm =} Asin kx=f\left(x\right) , \end{align}

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donde k es una constante positiva conocida como número de onda o número de propagación, y el producto kx está en radianes. El seno varía en magnitud de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm +l} a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -{\rm 1} de modo que el valor máximo de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u\left(x,0\right) es A, que se conoce como la amplitud de la onda. Para transformar la ecuación 10 en una onda progresiva que viaja a velocidad v en la dirección positiva x, necesitamos reemplazar x por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x-vt , en cuyo caso

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u\left(x,t\right)&{\rm =}Asin k\left(x-vt\right){\rm =}f\left(x-vt\right). \end{align}

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Esta es una solución de la ecuación de onda. Si se mantiene "x" o "t" fijos, se produce una perturbación sinusoidal, por lo que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.

Examinemos ahora el período espacial. El período espacial se conoce como "longitud de onda" y se denota por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda . Un aumento o disminución en "x" por la cantidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda deja "u" inalterada; es decir,

$ {\begin{aligned}u\left(x,t\right)&{\rm {=}}u\left(x\pm \lambda ,t\right).\end{aligned}} $

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Por lo tanto, un aumento o disminución en x por la cantidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda deja la representación del seno inalterada; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm \ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\right)&{\rm =\ sin\ }\left(k\left(x\pm \lambda -vt\right)\right){\rm =\ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\pm k\lambda\right). \end{align}

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También sabemos que un aumento o disminución del argumento por la cantidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm 2}\pi deja la representación del seno inalterada; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm \ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\right)&{\rm =\ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\pm {\rm 2}\pi \right) . \end{align}

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De las dos ecuaciones anteriores, vemos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm |}k\lambda {\rm |}{\rm =2}\pi . Como tanto k como $ \lambda $ se toman como números positivos, obtenemos la ecuación fundamental Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k{\rm =2}\pi {\rm /}\lambda . La longitud de onda Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda es la distancia entre crestas sucesivas de la onda sinusoidal espacial y, por lo general, se expresa en metros.

De manera completamente análoga, podemos examinar el período temporal "T", que generalmente se denomina período. Es la cantidad de tiempo que tarda una oscilación completa en pasar por un observador estacionario. En este caso, el comportamiento repetitivo de la onda en el tiempo es de interés, por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u\left(x,t\right){\rm =}u\left(x,t\pm T\right) y

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm \ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\pm {\rm 2}\pi \right)&{\rm \ =\ sin\ }\left(k\left(x-vt\right)\right){\rm =\ sin\ }\left(k\left(x-v\left(t\pm T\right)\right)\right) \end{align}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm =\ sin\ }&\left(k\left(x-vt\right)\mp kvT\right) . \end{align}

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Por lo tanto, $ {\rm {|}}kyT{\rm {|}}{\rm {=2}}\pi $. Pero todas estas son cantidades positivas, por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): kyT{\rm =2}\pi . Como acabamos de ver, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k{\rm =2}\pi {\rm /}\lambda , por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm 2}\pi vT/\lambda {\rm =2}\pi de lo que se sigue que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): T{\rm =}\lambda /v . El período T es el número de unidades de tiempo por ciclo. El período se expresa comúnmente en segundos. Por lo tanto, la velocidad es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}\lambda /T .

Para describir el período, primero elegimos un punto fijo en el espacio. Luego medimos el intervalo de tiempo entre los picos (o valles) sucesivos de una onda para obtener el período. Para describir la longitud de onda, primero fijamos el tiempo tomando una fotografía de la onda. Luego medimos la distancia entre los picos (o valles) sucesivos en la fotografía para obtener la longitud de onda (Figura 4).

Figure 4.  Onda sinusoidal. Diagrama superior: Cuando la onda se representa en función del tiempo a una distancia dada, el periodo es el intervalo de tiempo entre dos crestas adyacentes. Diagrama inferior: Cuando la onda se representa en función de la distancia a un tiempo dado, la longitud de onda es el intervalo de distancia entre dos crestas adyacentes. La velocidad de la onda es igual al cociente de la longitud de onda dividido por el periodo.

El recíproco del período es la frecuencia "f", o el número de ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia "f" se expresa comúnmente en hercios (Hz), o ciclos por segundo. La ecuación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): T{\rm =}\lambda /v se convierte en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}\lambda f . La velocidad "v" se expresa comúnmente en metros por segundo. Las dos cantidades que se utilizan a menudo en la literatura sobre el movimiento ondulatorio son la "frecuencia angular"

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \omega &{\rm =}\frac{{\rm 2}\pi }{T}, \end{align}

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que comúnmente se expresa en radianes por segundo, y el "número de onda angular"

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} k&{\rm =}\frac{{\rm 2}\pi }{\lambda }, \end{align}

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que comúnmente se expresa en radianes por metro. Vemos que el número de onda angular es la misma cantidad que antes llamamos número de propagación. La longitud de onda, el número de onda, el período y la frecuencia describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una onda en el espacio y el tiempo. Estos conceptos se pueden aplicar a ondas que no sean sinusoidales, siempre que cada onda esté formada por un patrón que se repita regularmente (es decir, ondas periódicas, ejemplos de las cuales se muestran en la Figura 5).

Figure 5.  Tres ejemplos de ondas periódicas.

Veamos ahora la ecuación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}\lambda f . Si dividimos la velocidad de onda "v" (expresada en metros por segundo) por la longitud de onda Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda (expresada en metros), el término de longitud (metros) se cancela y el resultado debe expresarse en algo por segundo. Como sabemos, a este resultado lo llamamos frecuencia "f" porque indica la frecuencia con la que las nuevas crestas de onda pasan por un punto dado. La frecuencia "f" se expresa en ciclos por segundo porque nos dice cuántos valles y crestas de onda (es decir, cuántos ciclos) pasan por el punto dado en un segundo. Más específicamente, podemos decir que la longitud de onda Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda se expresa en metros por ciclo. Entonces tenemos la ecuación

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm meters\ \ per\ \ second}} {{\rm meters\ \ per}{\rm\ \ cycle}} = \mathrm{cycles\ \ per\ \ second, or \frac{v}{\lambda }=f}. \end{align}

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Así que podemos escribir

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \mathrm{frequency \times wavelength {\rm =} velocity, or\ f\ \lambda {\rm \ =}\ v}. \end{align}

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En un medio de velocidad constante, vemos que una onda con una longitud de onda corta tiene una frecuencia alta, y una con una longitud de onda larga tiene una frecuencia baja.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una máquina que genera la misma forma de pulso, uno tras otro, en intervalos de tiempo iguales "T". Al hacer esto, el generador de ondas repite su movimiento una vez cada intervalo "T", el período del movimiento. Si el movimiento se repite cada 0,01 s, entonces la frecuencia es 100 Hz (es decir, 100 ciclos/s).

Centrémonos ahora en un punto del espacio. Los pulsos producidos por el generador se desplazan hacia este punto y pasan por el punto con la misma frecuencia con la que salen de la fuente. La frecuencia del movimiento ondulatorio es, por tanto, también de 100 Hz y el tiempo entre los pasos de pulsos sucesivos es también de 0,01 s. Además, a medida que las ondas se desplazan, la distancia espacial entre dos pulsos adyacentes cualesquiera es siempre la misma y es la longitud de onda $ \lambda $. Como los pulsos están separados por una distancia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda y como cada pulso recorre esta distancia en un tiempo T, se deduce que la velocidad de propagación es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}\lambda /T . Utilizando la relación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f{\rm =}1/T , encontramos nuevamente que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}f\lambda o que la velocidad de propagación de una onda periódica es el producto de la frecuencia por la longitud de onda. Esta es una relación importante; en particular, se cumple para las ondas sinusoidales.

Ahora llegamos a una aplicación de la fórmula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}f\lambda . En lugar de observar una onda periódica de forma continua, la observamos a través de un obturador que está cerrado la mayor parte del tiempo y se abre periódicamente durante intervalos de tiempo cortos. Un instrumento de este tipo es el estroboscopio. La primera vez que se abre el obturador, vemos el patrón de onda en una posición determinada. Cuando el obturador está cerrado, todos los pulsos se mueven una distancia igual a su velocidad multiplicada por esa duración de tiempo. Cuando miramos a través del obturador mientras se abre y se cierra periódicamente, el patrón suele parecer que se mueve. Sin embargo, si el período del obturador es el mismo que el período del movimiento de la onda, entonces, mientras el obturador está cerrado, cada pulso se mueve hasta la posición del pulso que está justo delante de él. En consecuencia, vemos el mismo patrón cada vez que se abre el obturador. En otras palabras, vemos un patrón estacionario a partir del cual es fácil medir la longitud de onda. Además, como hemos dicho antes, el período del obturador es igual al período de la onda, que obtenemos simplemente contando el número de veces que se abre el obturador cada segundo, es decir, midiendo la frecuencia del obturador. Ahora tenemos tanto "f" como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \lambda para la onda, por lo que podemos utilizar la fórmula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}1\lambda para determinar la velocidad de la onda.

Hasta ahora hemos definido varias magnitudes que caracterizan diversos aspectos del movimiento ondulatorio. Por consiguiente, existen varias formulaciones equivalentes de la onda sinusoidal progresiva. Algunas de las más comunes son:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u{\rm =}A{\rm \ sin\ }k\left(x\pm vt\right) \end{align}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u{\rm =}A{\rm \ sin\ 2}\pi \left(\frac{x}{\lambda }\pm \frac{t}{T}\right) \end{align}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u=A{\rm \ sin\ }\left(kx \pm \omega t\right) \end{align}

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u{\rm =}A{\rm \ sin\ 2}\pi f\left(\frac{x}{v}\pm t\right) . \end{align}

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Tenga en cuenta que todas estas ondas tienen una extensión infinita. Es decir, para cualquier valor fijo de tiempo "t", la distancia "x" varía de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\infty a $ \infty $. Cada onda tiene una única frecuencia constante y, por lo tanto, se dice que es monocromática.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 1
• Frentes de ondas y trayectoria del rayo
• Solución de D'alembert
• Ondas unidimensionales
• Velocidad de fase
• Pulsos de ondas
• Sismología geométrica
• La velocidad de la luz
• Principio de Huygens
• Relexión y refracción
• Teoria del rayo
• Principio de Fermat
• Principio de Fermat y reflexión y refracción
• Difracción
• Analogía
• Apéndice A: Ejercicio

Vínculos externos

find literature about Sinusoidal waves/es