Relexión y refracción
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 1 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Ahora consideraremos los fenómenos relacionados con la propagación de ondas a través de medios reales. En particular, estudiaremos las características de las ondas a medida que avanzan a través de diversos materiales, cruzando interfaces y reflejándose y refractándose en el proceso. Muchos de los conceptos básicos del movimiento ondulatorio, aunque se basan en los aspectos ondulatorios del fenómeno, son, sin embargo, independientes de la naturaleza exacta de la onda. Como veremos, el concepto más importante de estos es nuevamente el Principio de Huygens.
Cuando una onda elástica choca contra una interfaz que separa dos medios de características físicas diferentes, se crea una onda reflejada. La onda reflejada está presente en el mismo medio que la onda incidente y, por lo tanto, coexistirán. La onda "incidente" transporta energía hacia la interfaz, mientras que la onda "reflejada" transporta energía desde ella. La energía de la onda reflejada necesariamente debe derivarse de la onda incidente. Sin embargo, esto no implica que toda la energía incidente se refleje, porque una parte de ella puede refractarse (como onda "refractada") en el segundo medio. La teoría geométrica es incapaz de determinar cómo se distribuye la energía de la onda incidente entre el rayo reflejado y el rayo refractado, pero puede determinar una relación geométrica entre los ángulos involucrados. La relación angular entre el rayo incidente y el rayo reflejado se derivará ahora con una aplicación del Principio de Huygens (Figura 12).
En la Figura 12, ST es una interfaz plana (en ángulo recto con el papel) que separa dos medios. La línea PA es perpendicular a este plano. La línea AD es la traza (en el plano del papel) de una onda plana en ángulo recto con el papel e incidente en la interfaz ST en el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i . Las líneas EA y FB son dos rayos paralelos de la onda incidente. En el instante en que el punto A en el frente de onda incidente golpea la interfaz ST, se inicia una ondícula, de acuerdo con el Principio de Huygens. De manera similar, se inicia una nueva ondícula en cada punto sucesivo en ST a medida que el frente de onda incidente AD avanza y golpea ST. Finalmente, cuando el punto D golpea la interfaz ST en B, la ondícula MCN, con centro en A, tiene el radio AC = DB. El radio de la ondícula en B en ese instante particular es cero. Como la línea BC es tangente a todas las ondículas, constituye su envolvente. Por lo tanto, BC es un frente de onda de la onda reflejada. Como BC es tangente a la ondícula MCN en C, se deduce que BC es perpendicular al radio AC. Por lo tanto, AG es un rayo reflejado asociado con el frente de onda reflejado BC. Además, los triángulos rectángulos ABC y BAD son similares, de modo que el ángulo ABC es igual al ángulo BAD. Pero el ángulo ABC es igual al ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_r , y el ángulo BAD es igual al ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i . Por lo tanto, el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_r , el ángulo de reflexión, es igual al ángulo $ {\theta }_{i} $, el ángulo de incidencia.
El enunciado completo de la ley de reflexión es ahora el siguiente:
1) El rayo reflejado se encuentra en el plano determinado por el rayo incidente y la normal erigida sobre la interfaz reflectora en el punto de reflexión.
2) El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.
Supongamos que una onda incide en la interfaz que separa dos medios. Como sabemos, una parte de la onda incidente se desviará de vuelta en forma de onda reflejada, mientras que el resto se transmitirá a través de la frontera como onda refractada. Ahora tratamos de determinar los principios generales que rigen o al menos describen la refracción (Figura 13).
El Principio de Huygens también se puede utilizar para mostrar cómo se refracta una onda plana en una interfaz plana. Observemos la Figura 13, en la que ST es la traza de una interfaz plana (en ángulo recto con el papel) que separa dos medios. La velocidad en el medio superior es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} , y en el medio inferior es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} . La línea AD es la traza de una onda plana en ángulo recto con el papel e incidente en la interfaz ST en el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i . Las líneas EA y FB son dos rayos paralelos de la onda plana incidente. En el instante en que el punto A del frente de onda incidente choca con la interfaz ST, se inicia una ondícula en el medio inferior, de acuerdo con el Principio de Huygens. A medida que puntos sucesivos de AD chocan con la interfaz, se generan otras ondículas. Finalmente, cuando el punto D del frente de onda AD alcanza la interfaz ST en B, la ondícula MCN, con centro en A, ha alcanzado el radio AC. La energía tarda el mismo tiempo en recorrer la distancia DB que en recorrer la distancia AC, es decir,
$ {\begin{aligned}{\frac {DB}{v_{1}}}&={\frac {AC}{v_{2}}}\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, AC es igual a DB por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}}{\rm /}v_{{\rm 1}} . La ondícula en B tiene un radio de cero. Como la línea BC es tangente a todas las ondículas, constituye su envolvente. Por lo tanto, BC representa un frente de onda refractado en el medio inferior. La línea BC es tangente a la ondícula circular MCN en el punto C y, por lo tanto, es perpendicular al radio AC. De ello se deduce que AG es un rayo refractado asociado con el frente de onda refractado BC. Ahora, en el triángulo BAD, tenemos
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donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i es el ángulo de incidencia. También en el triángulo "ABC", tenemos
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donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_t es el ángulo de refracción (es decir, de transmisión). De ello se deduce que
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Esta es la "ley de refracción de Snell". El enunciado completo de la ley es el siguiente:
1) El rayo refractado se encuentra en el plano determinado por el rayo incidente y la normal erigida sobre la interfaz refractora en el punto de refracción.
2) El ángulo de incidencia y el ángulo de refracción se relacionan de la siguiente manera:
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De la construcción se desprende que la relación anterior se cumple cuando se intercambian las velocidades en los dos medios. Esto equivale a decir que el proceso de refracción es reversible en el sentido de que la misma relación entre los ángulos de incidencia y refracción es válida independientemente de que el rayo incidente se encuentre en el medio superior o inferior, es decir, el rayo incidente puede dirigirse hacia arriba o hacia abajo.
Cuando el medio inferior tiene una velocidad menor que el medio superior que contiene el rayo incidente, el rayo se desvía hacia la normal. Si el medio inferior tiene una velocidad mayor, el rayo se desvía de la normal. En este último caso, existe un valor crítico para el ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es igual a $ 90^{\circ } $. En este caso particular, el rayo refractado es paralelo a la interfaz refractora y la roza. El "ángulo crítico" Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_c viene dado por la relación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ sin\ }{\theta }_c{\rm =}v_{{\rm 1}}{\rm /}v_{{\rm 2}} , porque Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ sin\ }{\theta }_t{\rm =\ sin\ }\left({\rm 9}0^{{\rm o}}\right) es igual a la unidad. Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico, no existe ningún rayo refractado. Esto implica que toda la energía de la onda incidente está contenida en la onda reflejada, y se dice que la onda incidente se refleja totalmente.
Resumamos ahora. Supongamos que tenemos una onda plana incidente en la interfaz lisa que separa dos medios. Podemos determinar el comportamiento de la onda utilizando la construcción de Huygens. En la Figura 14, los ángulos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i , $ {\theta }_{r} $ y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_{{\rm t}} son los ángulos de incidencia, reflexión y refracción, respectivamente. Como hemos visto, la aplicación del Principio de Huygens da
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{sin\theta_{i}} {v_{1}}&=\frac{sin\theta_{r}}{v_{1}}=\frac{sin\theta_{t}}{v_{2}}. \end{align} ()
Los dos primeros términos dan la ley de reflexión, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i{\rm =} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_r . El primer y tercer término dan la ley de refracción, $ {\rm {\ sin\ }}{\theta }_{i}/{\rm {\ sin\ }}{\theta }_{t}{\rm {=}} $ Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}}{\rm /}v_{{\rm 2}} . En la antigüedad, Claudio Ptolomeo de Alejandría había encontrado la expresión Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i{\rm /}{\theta }_t{\rm =} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}}{\rm /}v_{{\rm 2}} , que es aproximadamente correcta para ángulos pequeños. Kepler estuvo a punto de deducir la ley de refracción, pero se vio engañado por datos erróneos. Finalmente, la relación correcta fue deducida independientemente por Snell en Leyden y por el matemático y filósofo francés René Descartes (Robinson y Clark, 1987c[1]). En cualquier caso, la ley de refracción pasó a conocerse generalmente como la "ley de Snell".
En las derivaciones anteriores, las leyes de la reflexión y refracción se han derivado bajo el supuesto de que la onda incidente es una onda plana y que la interfaz es una superficie plana. Sin embargo, la onda incidente no necesita ser una onda plana. Solo necesita ser una superficie curva suave, continua y libre de curvas o cortes pronunciados. En tal caso, podemos concentrar nuestra atención en un área infinitesimal de la superficie de la onda, que puede considerarse plana. Los dos rayos incidentes EA y FB estarán entonces muy cerca uno del otro y esencialmente serán paralelos. Por lo tanto, las derivaciones anteriores para frentes de onda finitos también se mantendrán para frentes de onda infinitesimales. El hecho de que estas leyes se establezcan en términos de relaciones geométricas entre rayos en lugar de entre frentes de onda elimina la necesidad de especificar que los frentes de onda sean planos o infinitesimales en área. Mediante un razonamiento similar, se puede argumentar que la superficie reflectante o refractante no necesita ser necesariamente una superficie plana, sino que puede ser una superficie curva suave. Se puede erigir una normal en cualquier punto de una superficie lisa, de modo que los distintos ángulos se pueden definir de forma única.
Referencias
- ↑ Robinson, E. A., y R. D. Clark, 1987c, A wave at a bounding: Reflection, transmission/refraction and diffraction: The Leading Edge, 6, no. 9, 38–42.
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También en este capítulo
- Introducción - Capítulo 1
- Frentes de ondas y trayectoria del rayo
- Solución de D'alembert
- Ondas unidimensionales
- Ondas sinusoidales
- Velocidad de fase
- Pulsos de ondas
- Sismología geométrica
- La velocidad de la luz
- Principio de Huygens
- Teoria del rayo
- Principio de Fermat
- Principio de Fermat y reflexión y refracción
- Difracción
- Analogía
- Apéndice A: Ejercicio
Vínculos externos
| find literature about Reflection and refraction – book/es |
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