Ondas unidimensionales

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	1
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Investiguemos más a fondo la fórmula de d’Alembert. Supongamos que una perturbación u viaja en la dirección x positiva con una velocidad positiva constante v. La naturaleza específica de la perturbación no es importante en este momento. Debido a que la perturbación, o pulso, se está moviendo, debe ser una función tanto de la posición como del tiempo y, por lo tanto, se puede escribir como u ( x , t ) {\displaystyle u\left(x,t\right)}. La forma de la perturbación en cualquier instante, digamos, t = 0 {\displaystyle t{\rm {=0}}}, se puede encontrar manteniendo el tiempo constante en ese valor. En este caso,

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representa la forma o perfil de la onda en el instante t = 0 {\displaystyle t{\rm {=0}}}. El proceso es análogo a tomar una fotografía del pulso a medida que viaja. Por el momento, nos limitaremos a una onda que no cambia su forma a medida que avanza a través del espacio. La figura 3 es una doble exposición de una perturbación de este tipo, tomada al principio y al final de un intervalo de tiempo t. En un marco de referencia fijo, el pulso se ha movido a lo largo del eje x una distancia vt, pero en todos los demás aspectos, ha permanecido inalterado.

Ahora introducimos un marco de coordenadas que viaja junto con el pulso a una velocidad v. En este marco móvil, u ya no es una función del tiempo sino que es un perfil constante estacionario con la misma forma funcional que la forma de onda en el tiempo 0. En otras palabras, u ( x , t ) {\displaystyle u\left(x,t\right)} puede escribirse como

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Figure 3.  Doble exposición de una forma de onda a medida que se propaga.

Esta ecuación representa una forma general de la función de onda 1D. Para ser más específicos, solo tenemos que elegir una forma f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} y luego sustituir x − v t {\displaystyle x-vt} por x en f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)}. La expresión resultante u ( x , t ) {\displaystyle u\left(x,t\right)} describe una onda que viaja en la dirección x positiva y que tiene el perfil deseado. Podemos verificar la forma de la ecuación 5 examinándola después de un aumento en el tiempo de Δ t {\displaystyle \Delta t} y un aumento correspondiente de v Δ t {\displaystyle v\Delta t} en x. Encontramos

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lo que demuestra que el perfil no se altera.

De manera similar, si la onda se propaga en la dirección x negativa (es decir, hacia la izquierda), la ecuación se convierte en

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donde, como antes, suponemos que la cantidad v es un número positivo. Podemos concluir, por lo tanto, que independientemente de la forma de la onda, las variables x y t deben aparecer en la función como una unidad, es decir, como una sola variable en la forma ( x ± v t ) {\displaystyle \left(x\pm vt\right)}. Si requerimos que v sea una cantidad positiva, entonces ambas ecuaciones anteriores para u se pueden combinar en la ecuación única

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con el signo negativo indicando propagación en la dirección x positiva y el signo positivo indicando propagación en la dirección x negativa.

Debido a que la ecuación de onda 1 D {\displaystyle {\rm {1D}}} es una ecuación diferencial parcial lineal, se deduce que si dos funciones de onda u 1 {\displaystyle u_{\rm {1}}} y u 2 {\displaystyle u_{\rm {2}}} son cada una soluciones separadas, entonces u 1 + u 2 {\displaystyle u_{1}+u_{2}} también es una solución. En consecuencia, la ecuación de onda se satisface con una función de onda que tiene la forma

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donde A l {\displaystyle A_{\rm {l}}} y B l {\displaystyle B_{\rm {l}}} son constantes. Esto es claramente una suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil. El principio de superposición es inherente a esta ecuación.

Muchos sistemas físicos implican la propagación simultánea de dos o más formas de onda. Los ejemplos son especialmente comunes en acústica. Los sonidos que oímos representan una combinación complicada de varios movimientos de ondas que dan como resultado un patrón general. Dentro de los límites normales, se cumple la siguiente suposición básica: la resultante de dos o más ondas individuales es simplemente la suma de las ondas individuales.

El comportamiento de un pulso único que viaja en una dirección es fácil de visualizar. Pero ¿qué sucede cuando un pulso se mueve de derecha a izquierda al mismo tiempo que otro pulso se mueve de izquierda a derecha? Como sabemos, los dos pulsos se superponen cuando se encuentran. La mejor forma de entender este fenómeno es mediante una película. Supongamos que dos pulsos comienzan en extremos opuestos de la misma cuerda al mismo tiempo y se dirigen uno hacia el otro. Los pulsos se aproximan como si cada uno tuviera la cuerda para sí mismo. A medida que se cruzan, los dos pulsos se combinan de forma aditiva para formar una forma compuesta. Pero después de cruzarse, vuelven a asumir sus formas originales y viajan a lo largo de la cuerda como si nada hubiera sucedido. Si realizamos este experimento una y otra vez con diferentes pulsos, siempre obtenemos el mismo resultado.

El hecho de que dos pulsos pasen uno a través del otro sin que ninguno de ellos se altere es una propiedad fundamental de las ondas lineales. Sin embargo, cuando dos pelotas de tenis se lanzan una contra la otra en direcciones opuestas, su movimiento se modifica violentamente si chocan. Por lo tanto, el cruce de ondas es un proceso muy diferente del cruce de corrientes de pelotas hechas de materia sólida.

Veamos ahora con más detalle la superposición que se produce cuando dos pulsos se cruzan. A menudo, la forma del pulso combinado no se parece a la forma de ninguno de los dos pulsos originales. Podemos visualizar cada uno de los pulsos originales en la posición que ocuparía si estuviera solo y luego sumamos los desplazamientos de ambos pulsos originales para obtener el pulso resultante. En otras palabras, el principio de superposición dice que el desplazamiento resultante de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante es igual a la suma de los desplazamientos que se habrían producido por los dos pulsos de forma independiente. De hecho, el principio funciona para más de dos pulsos; el desplazamiento resultante para cualquier número de pulsos es la suma de los desplazamientos de los pulsos individuales.

El principio de superposición se puede resumir de la siguiente manera: para hallar la forma del desplazamiento total de la onda en cualquier instante, se suman en cada punto los desplazamientos correspondientes a cada pulso que pasa por el medio. Esta simple suma da el desplazamiento real en el medio.

Apliquémosle ahora el principio de superposición al caso de dos pulsos simétricos iguales que tienen polaridad opuesta. Se supone que los dos pulsos tienen exactamente la misma forma y tamaño, y que ambos son simétricos. Supongamos que el que desplaza la cuerda hacia arriba es el que viaja hacia la derecha. El pulso que desplaza la cuerda hacia abajo viaja hacia la izquierda. Hay un momento en su cruce en el que la suma de desplazamientos iguales hacia arriba (más) y hacia abajo (menos) nos deja con un desplazamiento neto de cero. Por lo tanto, en el momento en que los pulsos se cruzan, toda la cuerda parece no estar desplazada. En otras palabras, hay una cancelación completa en ese momento particular. ¿En qué se diferencia esta situación del caso de una cuerda en reposo? En tal caso -es decir, cuando la cuerda no lleva movimiento ondulatorio- todos los diversos fragmentos de la cuerda permanecen inmóviles en todo momento. Por otra parte, cuando dos ondas simétricas, iguales y opuestas, viajan a lo largo de la cuerda, esta pasa por su posición de reposo solo durante un instante, pero en ese instante la cuerda sigue en movimiento. En ese instante en particular, toda la energía de la cuerda en movimiento existe puramente como energía cinética.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 1
• Frentes de ondas y trayectoria del rayo
• Solución de D'alembert
• Ondas sinusoidales
• Velocidad de fase
• Pulsos de ondas
• Sismología geométrica
• La velocidad de la luz
• Principio de Huygens
• Relexión y refracción
• Teoria del rayo
• Principio de Fermat
• Principio de Fermat y reflexión y refracción
• Difracción
• Analogía
• Apéndice A: Ejercicio

Vínculos externos

find literature about One-dimensional waves/es