Velocidad de fase

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	1
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Tenga en cuenta que todas estas ondas tienen una extensión infinita. Es decir, para cualquier valor fijo de tiempo "t", la distancia "x" varía de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\infty a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \infty . Cada onda tiene una única frecuencia constante y, por lo tanto, se dice que es monocromática.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u\left(x,t\right)=A{\rm \ sin\ }\left(kx-\omega t\right) . \end{align}

(21)

El argumento de la función seno se conoce como la fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi de la onda, de modo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi\ \ {\rm = }kx-\omega t . En Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t{\rm =}x{\rm =0} , tenemos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u\left(0,0\right){\rm =0} , que es ciertamente un caso especial.

En lugar de la ecuación anterior, podemos escribir una onda sinusoidal en la forma más general

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} u\left(x,t\right)&{\rm =}A{\rm \ sin\ }\left(kx-\omega t{\rm +}\varepsilon \right) , \end{align}

(22)

donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon es la fase inicial. La fase de esta onda sinusoidal más general es

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y es evidentemente una función tanto de x como de t. La derivada parcial de $ \varphi $ con respecto a t, manteniendo x constante, es la tasa de cambio de fase con respecto al tiempo y es igual a la frecuencia angular negativa.

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(24)

De manera similar, la tasa de cambio de fase con la distancia "x", manteniendo "t" constante, es el número de onda.

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(25)

La condición de fase constante se expresa como

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(26)

Tomando diferenciales, tenemos

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(27)

Resolviendo esta ecuación, obtenemos (para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi = constante)

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(28)

Sin embargo,

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(29)

Así que tenemos

$ {\begin{aligned}{\left[{\frac {\partial x}{\partial t}}\right]}_{\varphi }=-{\frac {\partial {\varphi }{/}\partial t}{\partial \varphi {/}\partial x}}={\frac {\omega }{k}}.\end{aligned}} $

(30)

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación, sujeta a la condición de fase constante. Elija cualquier punto en el perfil de onda, por ejemplo, la cresta de la onda. A medida que la onda se mueve a través del espacio, el desplazamiento "u" de la cresta permanece constante. Debido a que la única variable en la función de onda sinusoidal es la fase, también debe ser constante. Es decir, la fase se fija en un valor que produce el desplazamiento constante "u" en el punto elegido. El punto se mueve junto con el perfil a la velocidad "v", y lo mismo ocurre con la condición de fase constante.

Como la velocidad es igual a la frecuencia por la longitud de onda, es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}f\lambda , y como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega {\rm =2}\pi f y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k{\rm =2}\pi {\rm /}\lambda , se deduce que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v{\rm =}\omega /k . Por lo tanto, la ecuación 30 también se puede escribir

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(31)

Por lo tanto, la velocidad a la que se mueve el perfil es la velocidad de onda "v" o, más específicamente, la velocidad de fase. La velocidad de fase tiene un signo positivo cuando la onda se mueve en la dirección de aumento de "x", y tiene un signo negativo cuando la onda se mueve en la dirección de disminución de "x".

Consideremos más a fondo el concepto de propagación en fase constante y examinemos cómo este concepto gobierna la propagación de cualquiera de las ondas sinusoidales, digamos, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u {\rm =}A{\rm \ sin\ }\left(k\left(x\pm vt\right)\right) ). Supongamos que la cantidad v en esta ecuación es positiva y escojamos el signo negativo. Entonces la condición de fase constante es que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi {\rm = }k\left(x - vt\right)\mathrm{=constant} . Esta ecuación dice que a medida que t aumenta, x también debe aumentar. Incluso cuando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x{\rm < 0} , de modo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi {\rm < 0} , la cantidad x debe aumentar, es decir, se volverá menos negativa. Por lo tanto, la condición de fase constante implica propagación en la dirección creciente de "x". Supongamos una vez más que "v" es positiva, pero ahora elegimos el signo negativo en la condición de fase constante. Obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \varphi {\rm =}k\left(x{\rm +}vt\right)&{\rm =} \mathrm{constant}. \end{align}

(32)

Esta ecuación nos dice que, a medida que "t" aumenta, la cantidad "x" puede ser positiva y decreciente o negativa y volverse más negativa. Aquí, la condición de fase constante implica propagación en la dirección "x" decreciente.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 1
• Frentes de ondas y trayectoria del rayo
• Solución de D'alembert
• Ondas unidimensionales
• Ondas sinusoidales
• Pulsos de ondas
• Sismología geométrica
• La velocidad de la luz
• Principio de Huygens
• Relexión y refracción
• Teoria del rayo
• Principio de Fermat
• Principio de Fermat y reflexión y refracción
• Difracción
• Analogía
• Apéndice A: Ejercicio

Vínculos externos

find literature about Phase velocity/es