Analogía

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	1
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

El papel de la analogía es un tema recurrente en la ciencia. Las mismas matemáticas pueden emplearse a menudo para describir fenómenos físicos de distinta naturaleza. La analogía es uno de los métodos más sólidos disponibles para explicar fenómenos antiguos y descubrir otros nuevos. Para comprender los conceptos científicos, tenemos que utilizar analogías. Las relaciones precisas entre los avances matemáticos y los descubrimientos físicos dependen de las analogías.

Galileo descubrió la trayectoria parabólica de los proyectiles y dedujo las leyes cuantitativas del movimiento. Cuando descubrió las lunas de Júpiter, Galileo se dio cuenta de que esas lunas eran análogas a la luna de la Tierra y a los planetas que giraban alrededor del Sol. Observó las fases de Venus y se dio cuenta de que eran análogas a las fases de la luna de la Tierra. Estas analogías ayudaron a confirmar la teoría heliocéntrica de Copérnico. Galileo estaba a punto de realizar el mayor descubrimiento científico de todos los tiempos, pero aún no era el momento oportuno.

El día que murió Galileo nació Newton. Newton hizo una analogía entre el movimiento de los proyectiles y el movimiento de los planetas o las lunas que orbitan alrededor del sol o de un planeta, respectivamente. El resultado fue la ley de la gravedad, que regía la trayectoria de una bala de cañón, así como el paso de la Tierra alrededor del sol (Robinson y Clark, 2008).

Los descubrimientos astronómicos de Galileo inspiraron a las generaciones posteriores. El estudio de la luz se volvió primordial. Al desarrollar la teoría de la luz, los científicos utilizaron constantemente analogías entre ondas de luz y ondas mecánicas o entre rayos de luz y corrientes de partículas. René Descartes (1596-1650) describió el funcionamiento del ojo y presentó una versión preliminar de un concepto científico enormemente importante: la teoría ondulatoria de la luz (Clark y Robinson, 1985). Robert Hooke (1635-1703) formuló relaciones de esfuerzo-deformación, que establecieron el comportamiento elástico de los cuerpos sólidos (Robinson y Clark, 1988b). Hooke propuso que la luz es un desplazamiento vibratorio del medio a través del cual se propaga a una velocidad finita. Thomas Young fue el primero en considerar la cizalladura como una deformación elástica. Augustus Jean Fresnel demostró que si la luz fuera una onda transversal, entonces se podría desarrollar una teoría que tuviera en cuenta la polarización de la luz. Green (1842) ilustró el poder de usar analogías matemáticas en su tratamiento de las ondas elásticas (materiales) y las ondas de luz.

Gran parte del procesamiento de señales digitales actual está orientado al procesamiento de imágenes. La gente quiere ver imágenes. Las imágenes digitales pueden revelar muchos más detalles que las antiguas imágenes analógicas. Es importante reconocer que la diferencia entre las imágenes digitales y analógicas no es sólo cosmética. La transición a las imágenes digitales es comparable a la transición que supuso la introducción de la lupa, el microscopio o el telescopio. Antes, una persona podía ver la luna, pero cuando Galileo la vio a través de un telescopio, era una luna diferente. Los geofísicos podían crear imágenes de los estratos subterráneos con registros analógicos, pero ahora pueden crear imágenes digitales de tal calidad que se abre un mundo completamente nuevo.

La geofísica se beneficia de la enorme cantidad de trabajos sobre el movimiento de las ondas. Toda la teoría de la migración sísmica se justifica por analogía con el principio de Huygens-Fresnel, tal como lo expuso en el estilo matemático de Kirchhoff. Ahora existen métodos aproximados para la solución numérica de la ecuación de onda en medios cuyos parámetros materiales varían arbitrariamente. Algunos programas informáticos están diseñados específicamente para exhibir efectos de difracción. Los geofísicos utilizan la migración de Kirchhoff para producir imágenes digitales de la tierra subterránea, y esas imágenes tienen un alcance y una belleza inigualables.

Los geofísicos también son activos en el lado matemático de la teoría de ondas, como lo ejemplifican Aki y Richards (1980) y otros. Ricker (1977) extendieron la teoría de la propagación de ondas sísmicas al caso de medios viscoelásticos. Recientemente, Carcione y Cavallini (1995) mostró que las ecuaciones de Maxwell 2D que describen la propagación del modo magnético transversal (TM) en medios anisotrópicos son matemáticamente equivalentes a la ecuación de onda transversal-horizontal (SH) en un sólido anisotrópico-viscoelástico donde la atenuación se describe con el modelo de Maxwell. Las ecuaciones de Fresnel representan un ejemplo clásico de la analogía entre ondas transversales y ondas electromagnéticas. Carcione y Robinson (2002) investigaron la analogía matemática correspondiente entre ondas elásticas y ondas electromagnéticas. Obtuvieron un paralelismo completo para el problema de reflexión y el problema de refracción, considerando la situación más general: una situación con presencia de anisotropía y atenuación.

Resumamos ahora. Según Huygens, cada punto de un frente de onda puede considerarse como una fuente de ondículas esféricas secundarias. De este modo, se puede determinar el progreso a través del espacio de un frente de onda o de cualquier porción de un frente de onda. En cualquier momento particular, la forma del frente de onda es la envoltura de todas las ondículas secundarias. Esta técnica, sin embargo, ignora la mayoría de las porciones de cada ondícula secundaria, reteniendo así solo las porciones que son comunes a la envoltura. Debido a esta limitación, el principio de Huygens por sí solo no puede explicar el proceso de difracción, cuya prevalencia se confirma en la experiencia cotidiana. Las ondas sonoras se desvían fácilmente alrededor de objetos grandes como postes telefónicos y árboles que, por otro lado, proyectan sombras bastante definidas cuando son iluminados por la luz. Sin embargo, el principio de Huygens es independiente de cualquier consideración de longitud de onda y predeciría el mismo comportamiento del frente de onda en ambas situaciones.

Fresnel resolvió esa dificultad con la introducción del principio de interferencia. El principio de Huygens-Fresnel, que corresponde a este principio, establece que cada punto no obstruido de un frente de onda en un instante dado sirve como fuente de ondículas esféricas secundarias (del mismo contenido espectral que la onda primaria). La amplitud de la onda en cualquier posición más allá de ese punto es entonces la superposición de todas esas ondículas (considerando sus amplitudes y fases relativas).

Gustav Kirchhoff desarrolló una formulación precisa del principio de Huygens-Fresnel basado en la ecuación de onda. En la actualidad, los geofísicos utilizan la teoría de Kirchhoff para producir imágenes digitales de medios cuyos parámetros materiales varían de manera arbitraria. Para comprender plenamente los principios que sustentan la obtención de imágenes sísmicas, debemos apreciar las limitaciones que la difracción impone al rendimiento del sistema.

Dos o más ondas superpuestas producen claramente una onda que es diferente de cada una de ellas por separado. La superposición de ondas y los fenómenos de interferencia resultantes son fundamentales para el estudio de la difracción. Las ondas sonoras longitudinales pueden interferir para producir pulsaciones. De manera similar, la interferencia de las ondas de luz transversales produce colores. La interferencia constructiva y destructiva se esquematizan en la Figura 23. La interferencia de las ondas de agua es algo común. En algunos lugares, las crestas se superponen a las crestas, y en otros lugares, las crestas se superponen a los valles. No existe una distinción física clara entre los fenómenos de interferencia y difracción. Sin embargo, se ha vuelto habitual hablar de interferencia cuando se hace referencia a la superposición de unas pocas ondas y hablar de difracción cuando se superponen una gran cantidad o un número infinito de ondas. >

Figure 23.  Interferencia constructiva y destructiva.

Las ondas sísmicas, con longitudes de onda que oscilan entre varios cientos de metros, pueden sortear fácilmente obstáculos como pinzamientos y discordancias. Una consecuencia negativa de la difracción son los límites que impone al tamaño de los objetivos de exploración sísmica. Las señales sísmicas que se originan en objetos suficientemente pequeños se vuelven cada vez menos definidas a medida que el tamaño del objeto se acerca a la longitud de onda de las ondas sísmicas que lo iluminan. Si el objeto es más pequeño que una sola longitud de onda, entonces es necesaria una combinación de recopilación de datos cuidadosa, procesamiento de datos cuidadoso e interpretación de datos cuidadosa. Sin embargo, ninguna teoría puede vencer por completo este límite fundamental de la difracción.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 1
• Frentes de ondas y trayectoria del rayo
• Solución de D'alembert
• Ondas unidimensionales
• Ondas sinusoidales
• Velocidad de fase
• Pulsos de ondas
• Sismología geométrica
• La velocidad de la luz
• Principio de Huygens
• Relexión y refracción
• Teoria del rayo
• Principio de Fermat
• Principio de Fermat y reflexión y refracción
• Difracción
• Apéndice A: Ejercicio

Vínculos externos

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