Difracción

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	1
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Al tratar con reflexión y refracción, hemos considerado únicamente interfaces suaves.

Sin embargo, si una interfaz contiene una curva pronunciada, se requiere una consideración especial. Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de material de velocidad $ v_{1} $ con un borde afilado está incrustado en un medio uniforme de velocidad $ v_{2} $, como se muestra en la Figura 22. Un rayo BA incidente en el borde afilado B, de acuerdo con el Principio de Huygens, perturbará el punto B de modo que actuará como una fuente puntual y emitirá energía en forma de un frente de onda circular en expansión. Este frente de onda se llama onda difractada o dispersa porque las trayectorias de los rayos, como se muestra en la figura, se dispersan en todas las direcciones con respecto al rayo incidente BA. Existen evidencias en muchos registros sísmicos de que este proceso, que se espera sobre la base del Principio de Huygens, no es meramente hipotético sino real y que las ondas difractadas a menudo transportan cantidades de energía muy apreciables y mensurables. La situación representada en la Figura 22 es de hecho representativa de una falla en un estrato geológico del subsuelo cuya velocidad es diferente de la de los estratos circundantes. En los registros sísmicos se observan a menudo ondas prominentes difractadas desde los bordes de las fallas. Vemos en la Figura 22 que los rayos difractados no tienen que obedecer ni a la ley de reflexión ni a la ley de refracción de Snell.

Un cuerpo opaco colocado a medio camino entre una pantalla y una fuente puntual proyecta una sombra intrincada formada por regiones claras y oscuras, muy diferente a todo lo que se podría esperar de las reglas de la óptica geométrica. El efecto es una característica general de los fenómenos ondulatorios que se producen cuando una parte de un frente de onda, ya sea de una onda mecánica o de una onda electromagnética, se obstruye de alguna manera. Si al encontrarse con un obstáculo, ya sea transparente u opaco, una región del frente de onda se altera en amplitud o fase, se producirá difracción. Los diversos segmentos del frente de onda que se propagan más allá del obstáculo interfieren para causar la distribución particular de densidad de energía conocida como patrón de difracción.

Francesco Grimaldi (1665) observó bandas de luz dentro de la sombra de una varilla iluminada por una fuente pequeña. En otras palabras, observó que parte de la luz se había curvado alrededor de la varilla hacia la región de sombra. Grimaldi le dio el nombre de "difracción" a este fenómeno. La difracción se refiere a la desviación de la propagación rectilínea que ocurre cuando las ondas avanzan más allá de una obstrucción. Las ondas sonoras difractadas permiten que el sonido se escuche al pasar por las esquinas. Si la longitud de la obstrucción es igual a aproximadamente una longitud de onda, entonces la cantidad de difracción se vuelve tan grande que la noción de sombra se vuelve casi insignificante.

Robert Hooke (1665) fue el primero en estudiar los patrones de colores generados por "películas delgadas" (como una mancha de aceite sobre el agua). Hooke le dio el nombre de "interferencia" a este fenómeno. Concluyó correctamente que los diversos colores surgen de la superposición de (1) ondas de luz que llegan al ojo por reflexión desde la superficie superior y (2) ondas de luz que llegan al ojo por refracción en la película seguida de reflexión desde la superficie inferior. El análisis de película delgada de Hooke se puede utilizar en la exploración sísmica para tener en cuenta las múltiples reflexiones producidas en un sistema estratificado que consta de capas horizontales (Treitel y Robinson, 1966).

Figure 22.  Diffraction at a sharp bend.

En sentido general, tanto "interferencia" como "difracción" se refieren a los efectos resultantes de la superposición de dos o más ondas en un punto dado del espacio. No existe una diferencia matemática esencial entre interferencia y difracción. Sin embargo, en un uso más restringido, "interferencia" se utiliza para describir los efectos que resultan de la superposición de dos o más trenes de ondas (como en el caso de las reverberaciones de las ondas sísmicas en la capa de agua), y "difracción" se utiliza para describir los efectos de interferencia causados ​​por la presencia de una abertura o un obstáculo en la trayectoria de una onda (como en la curvatura de las ondas sísmicas alrededor de obstáculos). En el uso moderno, los términos "interferencia" y "difracción" todavía se refieren más o menos a los tipos de problemas estudiados por Hooke y Grimaldi, respectivamente.

Isaac Newton (1642-1727) se propuso basarse en la observación directa y evitar hipótesis especulativas. Por ello, durante mucho tiempo se mantuvo ambivalente sobre la naturaleza real de la luz. ¿Era la luz corpuscular, en forma de corriente de partículas, como sostenían algunas personas? ¿O era la luz una onda que se propagaba en un medio omnipresente, el éter? A los 23 años, Newton comenzó sus ahora famosos experimentos. En sus palabras, “me conseguí un prisma triangular de vidrio para probar con él el célebre fenómeno de los colores” (Newton, 1672). Con el tiempo, Newton rechazó la teoría ondulatoria de la luz. Sin embargo, la teoría corpuscular no podía explicar la difracción.

La creencia general es que el gran peso de la opinión de Newton sofocó el desarrollo de la teoría ondulatoria de la luz durante todo el siglo XVIII. Sin embargo, nosotros creemos que fue necesario todo el siglo XVIII para desarrollar las matemáticas hasta el punto en que pudieran manejar la teoría ondulatoria. El destacado matemático Leonhard Euler (1707-1783) fue un devoto de la teoría ondulatoria y lideró el desarrollo de las matemáticas en su época.

Finalmente, la teoría ondulatoria de la luz renació en manos de Thomas Young (1773-1829). En la Royal Society leyó artículos que ensalzaban la teoría ondulatoria y le añadían un nuevo concepto fundamental, el llamado «principio de interferencia» (Young, 1804). En efecto, Young puso sobre una base matemática sólida el trabajo anterior de Hooke y Grimaldi. En particular, Young ideó su famoso «experimento de interferencia» de doble rendija.

Augustin Jean Fresnel (1788-1827) nació en Broglie, Normandía. Hacia 1814, Fresnel se interesó por el problema de la luz y comenzó un brillante resurgimiento de la teoría ondulatoria, aunque desconocía los esfuerzos de Young 13 años antes. Fresnel finalmente combinó los conceptos de la descripción de onda de Huygens con el principio de interferencia (Fresnel, 1818 analizó más a fondo el principio de Huygens, y Kirchhoff (1883)).

Como hemos visto, el Principio de Huygens se puede describir de la siguiente manera: (1) Cada punto de un frente de onda puede considerarse un centro de una perturbación secundaria, que da lugar a ondículas esféricas. (2) El frente de onda en cualquier instante posterior puede considerarse como la envolvente de estas ondículas esféricas.

Sin embargo, el principio de Huygens no explica la difracción. Fresnel explicó la difracción complementando el principio de Huygens con el postulado de que las ondículas secundarias interfieren entre sí. El resultado es el principio de Huygens-Fresnel, que es una combinación del principio de Huygens con el principio de interferencia. En otras palabras, Huygens consideraba la propagación de una onda primaria como una sucesión de ondículas secundarias esféricas estimuladas que se superponen e interfieren. Estas ondículas se fusionan en la onda primaria que avanza. La teoría de Fresnel adquirió un énfasis más matemático que la de Young. Como resultado, Fresnel calculó los patrones de difracción que surgen de varios obstáculos y aperturas, y explicó satisfactoriamente la propagación rectilínea en medios isótropos homogéneos, disipando así la principal objeción de Newton a la teoría ondulatoria.

El término "difracción" puede definirse como cualquier desviación de los rayos de una trayectoria rectilínea que no pueda interpretarse ni como una reflexión ni como una refracción. La descripción clásica de la difracción de un rayo de luz es la siguiente: una abertura en una pantalla opaca está iluminada por una fuente de luz y la intensidad de la luz se observa a través de un plano a cierta distancia detrás de la pantalla. La teoría rectilínea de la propagación de la luz predice que la sombra detrás de la pantalla debería estar bien definida, con bordes nítidos. Sin embargo, la observación muestra que la transición de la luz a la sombra es gradual en lugar de abrupta. Dada una fuente de luz apropiada, podemos observar algunos resultados sorprendentes, como la presencia de franjas claras y oscuras que se extienden hasta el interior de la sombra geométrica de la pantalla. Estos efectos no pueden explicarse con una teoría estricta de la luz basada en rayos, que requiere la propagación rectilínea de los rayos de luz sin reflexión ni refracción.

Cuando una onda pasa por un punto en un medio, la perturbación resultante es una fuente de nuevo movimiento ondulatorio de la misma frecuencia (de acuerdo con el principio de Huygens-Fresnel). Consideremos las ondas de agua que inciden desde la izquierda sobre una barrera con una abertura estrecha. Primero, supongamos que la abertura es pequeña en comparación con la longitud de onda de las ondas. El agua que se mueve hacia arriba y hacia abajo en la abertura actúa como una fuente puntual de nuevas ondas. Como resultado, se producen ondas concéntricas en el lado más alejado de la barrera. Sin embargo, a medida que se ensancha la abertura, las ondas producidas en el lado más alejado ya no emanan de una fuente puntual y las ondas resultantes ahora tienen una forma menos circular. Cuando la abertura es muy ancha en comparación con la longitud de onda de las ondas, las ondas que inciden desde la izquierda simplemente pasan a través de la abertura sin obstrucciones y experimentan solo una ligera difracción en los bordes. Para las ondas de luz, este ligero efecto difractivo difumina los bordes de una sombra. Si la fuente de luz es muy pequeña (preferiblemente un punto), se verán franjas oscuras y brillantes.

El grado de difracción depende de la longitud de onda de la onda incidente. Por ejemplo, las ondas de radio AM son largas, con una longitud de entre 200 y 6000 m, por lo que se desvían fácilmente alrededor de objetos que de otro modo podrían obstruirlas. Por otro lado, las ondas de radio FM tienen una longitud de entre 3 y 4 m y no se desvían tan fácilmente como las ondas AM. Esta es una de las razones por las que la recepción de FM puede ser deficiente en localidades donde la recepción de AM es buena.

El principio de Huygens-Fresnel tenía algunas deficiencias matemáticas. Gustav Kirchhoff (1883) desarrolló una teoría rigurosa basada directamente en la solución de la ecuación de onda. Su análisis dio una formulación precisa del Principio de Huygens. En su forma analítica, la solución de Kirchhoff resulta útil sólo para algunas de las aplicaciones más simples de la ecuación de onda. La dificultad surge porque debemos requerir una solución de una ecuación diferencial parcial que satisfaga las condiciones de contorno impuestas por un obstáculo particular. Tales soluciones rigurosas se pueden obtener sólo en muy pocos casos especiales. Las soluciones exactas son raras en el caso de límites incluso ligeramente más complicados que los más simples. Antes de la llegada de la computadora digital, el trabajo matemático de Kirchhoff se utilizó poco en la práctica.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 1
• Frentes de ondas y trayectoria del rayo
• Solución de D'alembert
• Ondas unidimensionales
• Ondas sinusoidales
• Velocidad de fase
• Pulsos de ondas
• Sismología geométrica
• La velocidad de la luz
• Principio de Huygens
• Relexión y refracción
• Teoria del rayo
• Principio de Fermat
• Principio de Fermat y reflexión y refracción
• Analogía
• Apéndice A: Ejercicio

Vínculos externos

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