Principio de Fermat
 | |
| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 1 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Las leyes de la reflexión y refracción y, de hecho, la manera en que las ondas se propagan en general, pueden entenderse por medio del principio de Fermat. Este principio proporciona una forma perspicaz y muy útil de apreciar y anticipar el comportamiento de las ondas. Herón de Alejandría fue el primero en proponer el llamado "principio variacional". En su formulación de la ley de la reflexión, Herón afirmó que el camino que realmente sigue la luz al viajar desde un punto "S" a un punto "P" a través de una superficie reflectante es el más corto posible. Durante más de 1500 años, la observación de Herón se mantuvo sola, hasta que en 1657, Fermat propuso su "principio del tiempo mínimo", que abarcaba tanto la reflexión y refracción. Debido a que un haz de luz que atraviesa oblicuamente una interfaz no viaja en línea recta ni asume una longitud de trayectoria espacial mínima entre un punto en el medio incidente y un punto en el medio transmisor, Fermat reformuló la afirmación de Heron de la siguiente manera: La trayectoria real entre dos puntos tomada por un haz de luz es la que se recorre en el menor tiempo (Robinson y Clark, 2006a[1]).
Supongamos que tenemos un medio estratificado compuesto de m capas, cada capa con una velocidad de onda diferente, como se muestra en la Figura 16. El tiempo de tránsito de A a B es entonces
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} t{\rm =}&\frac{s_{{\rm 1}} }{v_{{\rm 1}}}{\rm +}\frac{s_{{\rm 1}}}{v_{{\rm 1}}}{\rm +}\cdots {\rm +}\frac{s_m}{v_m}, \mathrm{or} t{\rm =}\sum^m_{i{\rm =1}}{\frac{s_j}{v_i}}, \end{align} ()
donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): s_i y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_i son la longitud del recorrido y la velocidad asociada a la capa i-ésima. Para un medio no homogéneo en el que v es una función de la posición, la suma debe convertirse en una integral:
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} t{\rm =}\int^B_{{\rm A}} {\frac{ds}{v\left(s\right)}}. \end{align} ()
El principio de Fermat establece que cuando el camino del rayo viaja desde el punto A al punto B, recorre la ruta con el menor tiempo de tránsito posible (Robinson y Clark, 1987a[2]).
El enunciado original del principio de Fermat del tiempo mínimo, tal como se dio anteriormente, necesita algunas modificaciones. Recordemos que dada una función Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f\left(x\right) , podemos determinar el valor específico de la variable x que hace que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f\left(x\right) sea estacionaria si establecemos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): df{\rm /}dx{\rm =0} y resolvemos para x. Por un valor estacionario, nos referimos a un valor para el cual la pendiente de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f\left(x\right) respecto de x es cero. De manera equivalente, un valor estacionario es uno para el cual la función está en un máximo o un mínimo o se produce en un punto de inflexión donde la tangente (horizontal) es cero.
En su forma moderna, el principio de Fermat dice así: un rayo que procede del punto «A» al punto «B» debe recorrer un camino cuyo tiempo de tránsito es estacionario con respecto a las variaciones de ese camino. En otras palabras, el tiempo de tránsito de la trayectoria verdadera es igual (en una primera aproximación) al tiempo de tránsito de los caminos inmediatamente adyacentes a ella. Por lo tanto, existirán caminos vecinos a lo largo de los cuales el rayo tarda casi el mismo tiempo en recorrer cada uno de ellos. Este último punto permite comenzar a entender cómo un rayo se las arregla para ser tan hábil en sus meandros. Supongamos que tenemos un haz de ondas que avanza a través de un medio isótropo homogéneo de modo que un rayo pasa del punto «A» al punto «B». Las partículas dentro del material son impulsadas por la perturbación incidente y se reirradian en todas las direcciones. En general, las ondículas que se originan en la proximidad inmediata de un camino estacionario llegarán a «B» por rutas que difieren solo ligeramente y, por lo tanto, las ondículas se reforzarán entre sí. Las wavelets que tomen otros caminos llegarán a "P" desfasadas y, por lo tanto, tenderán a cancelarse entre sí. En ese caso, la energía se propagará de manera efectiva a lo largo del camino desde "A" hasta "B" que satisface el principio de Fermat.
Para demostrar que el tiempo de tránsito de un rayo no tiene por qué ser siempre mínimo, examinemos la Figura 17, que representa un segmento de una superficie elipsoidal 3D. Si la fuente A y el observador B están en los focos del elipsoide, entonces, por definición, la longitud ACB será constante independientemente de en qué lugar del perímetro se encuentre el punto C. También es una propiedad geométrica de la elipse que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i{\rm =}{\theta }_r para cualquier ubicación de C. Por lo tanto, todos los tiempos de tránsito de A a B a través de un punto de reflexión son exactamente iguales. Ninguno es un mínimo, y el tiempo de tránsito es claramente estacionario con respecto a las variaciones de trayectoria a lo largo de la elipse. Los rayos que salen de A y chocan contra la superficie llegarán al foco B. Desde otro punto de vista, podemos decir que la energía radiante emitida por A será dispersada por la superficie elipsoidal de modo que las wavelets se reforzarán entre sí sustancialmente sólo en B, donde han recorrido la misma distancia y tienen la misma fase.
Examinemos ahora con más detalle las condiciones que determinan si una trayectoria de rayos en el proceso de satisfacer el principio de Fermat es una trayectoria temporal máxima, mínima o estacionaria y si estas condiciones tienen algún significado particular con respecto a las leyes de reflexión y refracción.
En la Figura 18, la curva "CPD" es la superficie reflectante elíptica (en dos dimensiones) asociada a los dos puntos dados "A" y "B" y al punto de reflexión "P". La curva "EPF" es una superficie reflectante (en dos dimensiones) tangente a la superficie elíptica "CPD" en "P" pero con mayor curvatura. Si "Q" es cualquier punto de la curva "EPF" cercano al punto "P", entonces la trayectoria hipotética "AQB" es obviamente más corta que la trayectoria del rayo "APB" porque la trayectoria es constante para todos los puntos de la curva elíptica "CPD". Como "Q" es cualquier punto vecino de la curva "EPF", se deduce que la trayectoria del rayo "APB" es un máximo con respecto a todas las reflexiones vecinas hipotéticas de la superficie "EPF". De la misma manera, si GPH es una superficie reflectante tangente a la superficie elíptica en P pero con menor curvatura, entonces el recorrido de rayos APB es un recorrido de tiempo mínimo con respecto al reflector GPH. Por lo tanto, se puede concluir que si cualquier superficie reflectante arbitraria tiene mayor curvatura que la superficie elíptica en el punto de reflexión común en el que son tangentes, el recorrido de rayos es un máximo con respecto a los recorridos de reflexión hipotéticos vecinos que comienzan en un foco de la superficie elíptica y terminan en el otro. Si la superficie reflectante arbitraria tiene menos curvatura que la superficie elíptica tangente, el recorrido de rayos es un mínimo. Es evidente que el plano tangente SPT siempre tiene menos curvatura que la superficie elíptica, por lo que una reflexión desde un plano siempre sigue un recorrido de tiempo mínimo.
De nuevo, véase la Figura 18. Se puede ver que otros dos puntos, J y K, que están más cerca de P pero todavía en la trayectoria del rayo APB, se pueden encontrar de modo que su superficie elíptica asociada (mostrada por guiones) tendrá una curvatura mayor que la superficie EPF. Esto significa que la trayectoria del rayo JPK es un mínimo en lugar de un máximo, como era el caso del rayo APB. Por lo tanto, si una trayectoria es un máximo o un mínimo depende no sólo de la forma del reflector sino también de los puntos que se seleccionan como el principio y el final de la trayectoria. La cuestión no tiene importancia en lo que respecta a la ley de reflexión. La ley de reflexión depende sólo de la desaparición de la variación temporal de primer orden y es independiente de si el tiempo es un máximo, un mínimo o estacionario. El principio de Fermat se enuncia a veces como un principio de tiempo mínimo, pero también debe entenderse que incluye las condiciones de máximo y estacionariedad, así como la condición de mínimo. Un ejemplo sísmico bien conocido de un tiempo de viaje máximo es la reflexión desde el fondo de un sinclinal en la respuesta sísmica de “moño”.
Si la curvatura de la superficie reflectante es mayor que la de la superficie elíptica tangente, el camino reflejado ADB recorrido por un rayo sería entonces un mínimo relativo. En el otro extremo, si la superficie reflectante se ajusta a una superficie que se encuentra dentro del elipsoide, como la que se muestra en línea discontinua, ese mismo rayo a lo largo de ADB negociaría un tiempo de tránsito máximo relativo. Esto es cierto incluso aunque otros caminos no utilizados (donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\theta }_i\ne {\theta }_r ) serían más cortos (es decir, aparte de los caminos curvos inadmisibles). En todos los casos, los rayos recorren un camino con un tiempo de tránsito mínimo, máximo o estacionario de acuerdo con el principio de Fermat. Nótese que debido a que el principio habla solo sobre el camino y no sobre la dirección a lo largo de él, un rayo que va de A a B trazará la misma ruta que uno de B a A. Éste es el muy útil "principio de reciprocidad".
Como hemos visto, un elipsoide representa una superficie para la cual todos los caminos de reflexión entre los dos focos A y B tienen tiempos de recorrido iguales. De manera similar, se puede definir una superficie refractora de tiempo igual entre dos medios de manera que todos los caminos de refracción entre dos puntos A y B, uno en cada medio, tengan tiempos de refracción iguales. Es decir, una superficie de refracción de igual tiempo asociada con dos puntos A y B se define como una superficie de separación entre dos medios de velocidades Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} , de modo que si A se encuentra en el material de velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} y B se encuentra en el material de velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} , el tiempo de viaje desde A a cualquier punto P en la superficie de refracción de igual tiempo a velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} más el tiempo de viaje desde P a B a velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} será constante. Cualquier trayectoria de rayos APB para la cual P sea un punto en la superficie de refracción de igual tiempo satisface automáticamente la ley de refracción de Snell. Esto se desprende de una aplicación sencilla del principio de Fermat.
En la Figura 19, CRPD es una superficie de refracción de tiempo igual asociada con los puntos A y B. El punto A está en un material de velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} y B está en un material de velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} , con Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}}{\rm >}v_{{\rm 1}} . EPF es una interfaz refractora real que separa los dos medios y es tangente a la superficie de tiempo igual CRPD en P. Elija un punto Q en la superficie refractora real cerca de P y dibuje las trayectorias AQRB y AQB. Entonces APB es una trayectoria de rayos verdadera porque P se encuentra en ambas superficies CRPD y EPF. Además, $ QB{\rm {<}}{QRB} $ porque una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_{QB} es el tiempo de viaje sobre la trayectoria QB a una velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_{QRB} es el tiempo de viaje sobre el segmento QR a una velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 1}} más el tiempo sobre la trayectoria RB a una velocidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}} , entonces Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_{QB}{\rm <}t_{QRB} porque Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): v_{{\rm 2}}{\rm >} v_{{\rm 1}} . Sin embargo, $ t_{AQRB}{\rm {=}}t_{APB} $ porque estos son rayos refractados por la superficie de refracción de tiempo igual. De ello se deduce que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_{AQB}{\rm <}t_{APB} . Como Q es cualquier punto vecino en la superficie refractante, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_{APB} es un tiempo de viaje máximo con respecto a todos los caminos vecinos hipotéticos refractados por la superficie EPF.
En conclusión, si la curvatura de la superficie refractante real es mayor que la de la superficie de refracción de tiempo igual donde son tangentes, entonces la trayectoria de rayos verdadera es una trayectoria de tiempo máximo. Asimismo, también se puede demostrar que si la curvatura de la superficie refractante real es menor que la de la superficie de tiempo igual tangente, la trayectoria de rayos es mínima. Una superficie refractante que es un plano siempre es de este último tipo y, por lo tanto, siempre produce una trayectoria refractada de tiempo de recorrido mínimo. Estas conclusiones son idénticas a las derivadas anteriormente para superficies reflectantes. Además, todos los resultados indicados anteriormente que relacionan trayectorias de reflexión máximas, mínimas y estacionarias con varios tipos de superficies reflectantes también son válidos para superficies refractantes.
Referencias
Sigue leyendo
| Sección previa | Siguiente sección |
|---|---|
| Teoria del rayo | Principio de Fermat y reflexión y refracción |
| Capítulo previo | Siguiente capítulo |
| nada | Imágenes digitales |
También en este capítulo
- Introducción - Capítulo 1
- Frentes de ondas y trayectoria del rayo
- Solución de D'alembert
- Ondas unidimensionales
- Ondas sinusoidales
- Velocidad de fase
- Pulsos de ondas
- Sismología geométrica
- La velocidad de la luz
- Principio de Huygens
- Relexión y refracción
- Teoria del rayo
- Principio de Fermat y reflexión y refracción
- Difracción
- Analogía
- Apéndice A: Ejercicio
Vínculos externos
| find literature about Fermat’s principle - book/es |
|
|
|
|
|
|
|