Filtro conformador
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 9 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
El uso de filtros digitales de mínimos cuadrados para analizar registros sísmicos está muy extendido. A continuación, describimos los criterios de diseño para dichos filtros (Robinson y Treitel, 1965[1]; Treitel y Robinson, 1966[2]). En la Figura 4 se muestra un modelo útil y general. En este modelo, hay cuatro señales: (1) la señal de entrada x, (2) la señal de salida deseada z, (3) el filtro de modelado f que se va a diseñar, y (4) la señal de salida real $ y=f*x $.
Buscamos una técnica que nos permita encontrar el filtro f en términos de la señal de entrada y la señal de salida deseada. Entre los diversos métodos que están a nuestra disposición para llevar a cabo esta tarea, uno se destaca particularmente por la calidad de los resultados obtenibles y la simplicidad de los conceptos involucrados. La técnica que estamos a punto de describir se basa en el criterio de mínimos cuadrados, y conduce a filtros que son lineales e invariantes en el tiempo. Muchos de los programas de computadora necesarios para llevar a cabo los cálculos dados en este capítulo se pueden encontrar en Robinson y Osman (1996)[3].
Formulamos este problema en tiempo discreto. Para que las cosas tengan sentido para la implementación informática, debemos limitarnos a filtros con un número finito de coeficientes. En este punto, es importante hacer la distinción entre filtros causales y no causales.
$ {\begin{aligned}f=\left(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}\right).\end{aligned}} $ ()
Si la entrada al filtro causal es la señal "x", la salida es la señal "y" cuyos coeficientes están dados por la convolución.
$ {\begin{aligned}y_{k}=\sum _{n{=0}}^{N}{f_{n}}x_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
Siempre se entiende que el índice de ejecución "n" en un filtro causal va de 0 a "N". Esta convolución se puede escribir de forma más concisa como $ y=f*x $.
Un "filtro no causal" es un filtro de dos caras. Generalmente, los filtros no causales tienen la misma cantidad de coeficientes de filtro en cada lado del punto central "n" = 0, de modo que el filtro se puede escribir como
$ {\begin{aligned}f=\left(f_{-N},f_{-N+1},\dots ,f_{0},f_{1},\dots ,f_{N}\right).\end{aligned}} $ ()
El mismo tipo de ecuación convolucional se cumple entre la entrada y la salida, excepto que
$ {\begin{aligned}y_{k}=\sum _{n=-N}^{N}{f_{n}}x_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
En el caso de un filtro causal, el valor de salida $ y_{k} $ en un momento presente k depende únicamente de los valores de entrada presentes y pasados $ x_{k},x_{k-1},...,x_{k-n} $ de la entrada. Sin embargo, en el caso de un filtro no causal, la salida también depende de los valores de entrada futuros $ x_{k+1},...,x_{k+n} $. Esta dependencia de la salida actual de la entrada futura es la razón por la que un filtro de dos lados se denomina no causal.
Los filtros no causales no se pueden implementar en tiempo real porque es imposible que cualquier resultado presente dependa de entradas futuras. Sin embargo, los filtros no causales encuentran un uso generalizado en lo que puede llamarse "tiempo nominal", que se refiere a una escala de tiempo en datos registrados. Los datos han sido observados y documentados durante algún intervalo durante el pasado en tiempo real, y la escala de tiempo asociada a los datos se refiere a este tiempo histórico. Con referencia a esta escala de tiempo histórica (o nominal), tanto el pasado como el futuro de los datos registrados están disponibles para nosotros. Por lo tanto, podemos usar filtros no causales para procesar los registros. Esta técnica es precisamente la que usa un historiador que se sitúa en medio de un evento histórico cuyo resultado futuro ya se conoce. También es una técnica que podemos usar para analizar registros sísmicos, porque los sismogramas se adquirieron hace algún tiempo en el campo, y ahora tenemos el conjunto completo de registros de campo expuestos ante nosotros.
¿Cómo se diseña un filtro de modelado? Vamos a ilustrarlo. Las derivaciones matemáticas son las mismas para un filtro causal o no causal, siempre que recordemos dejar que el índice del filtro vaya de 0 a N en el filtro causal y de –N a N en el filtro no causal. El propósito del filtro de modelado es modelar (lo mejor posible en el sentido de mínimos cuadrados) la señal de entrada x en la señal de salida deseada z. En otras palabras, la salida real y del filtro debe aproximarse a la salida deseada. El error es la diferencia entre la salida deseada y la salida real; es decir, el valor de la señal de error en el momento k es $ z_{k}-y_{k} $. El principio básico para nuestro diseño de filtro es el criterio de mínimos cuadrados: minimizar la energía de la señal de error. En otras palabras, buscamos los coeficientes de filtro $ f_{k} $ que minimicen el valor de la energía de error.
$ {\begin{aligned}I=\sum _{k}{{\left(z_{k}-y_{k}\right)}^{2}}.\end{aligned}} $ ()
La suma se realiza sobre todos los valores pertinentes del índice de tiempo discreto "k". El valor más pequeño alcanzable de la energía de error para una situación dada producirá el mejor filtro lineal u "óptimo" en el sentido de mínimos cuadrados. La energía de error se puede escribir como
$ {\begin{aligned}I=\sum _{k}{{\left(z_{k}-\sum _{n}{f_{n}}x_{k-n}\right)}^{2}}.\end{aligned}} $ ()
El índice del segundo signo de suma es n = 0, 1, … , N para un filtro causal, mientras que el índice es n = –N, –N + 1, … ,N para un filtro no causal. Tomamos la derivada parcial de la energía de error con respecto a cada coeficiente $ f_{m} $:
$ {\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial f_{m}}}=\sum \limits _{k}{2\left({z_{k}-\sum \limits _{n}{f_{n}x_{k-n}}}\right){\frac {\partial }{\partial f_{m}}}\left({z_{k}-\sum \limits _{n}{f_{n}x_{k-n}}}\right)}\\\;\;\;\;\;\;\;=\sum \limits _{k}2\left({z_{k}-\sum \limits _{n}{f_{n}x_{k-n}}}\right)(-x_{k-m})=-2\sum \limits _{k}{z_{k}x_{k-m}x_{k-m}}.\\\end{aligned}} $ ()
En el Capítulo 7, la autocorrelación de la señal x se definió como
$ {\begin{aligned}r_{m-n}=\sum _{k}{x_{k-n}}x_{k-m}^{*}.\end{aligned}} $ ()
De igual forma, la correlación cruzada de las señales z y x se definió como
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Sin embargo, en el presente capítulo, sólo tratamos con señales de valor real, por lo que no es necesario el asterisco superíndice, que indica el conjugado complejo. Las derivadas parciales son
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\partial I}{\partial f_m}= -2g_m+2\sum_n{f_n}r_{m-n}. \end{align} ()
Minimizamos la energía de error haciendo que cada derivada parcial sea igual a cero. De este modo, obtenemos el conjunto de ecuaciones lineales simultáneas dado por
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum_n{f_n}r_{m-n}= g_m. \end{align} ()
Se trata de un conjunto de N + 1 ecuaciones simultáneas con m = 0, 1, 2, …, N en el caso de un filtro causal y un conjunto de 2N + 1 ecuaciones simultáneas con m = –N, –M, N + 1, … , N en el caso de un filtro no causal. Se trata de las denominadas ecuaciones normales, cuya solución permite hallar los coeficientes del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm f}_n . Las magnitudes conocidas en estas ecuaciones normales son la autocorrelación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): r_{m-n} de la señal de entrada y la correlación cruzada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_m de la señal de salida deseada y la señal de entrada. Se puede demostrar que a medida que "N" aumenta, el error cuadrático medio disminuye (Robinson y Treitel, 2000[4]). Sin embargo, el error de especificación comienza a aumentar, por lo que se requiere un valor óptimo de "N" para que se minimice el total de estos dos tipos de error. (Nota: Un modelo matemático necesariamente debe ser una simplificación de la situación física real. El "error de especificación" es la diferencia entre el modelo ajustado y la situación real. Invariablemente, algunos tipos de variables se excluirán del modelo ya sea por diseño o por accidente. Aumentar el número de coeficientes de una variable incluida generalmente no puede compensar la pérdida de las variables excluidas y, a medida que aumenta el núm
Las ecuaciones normales se pueden resolver mediante técnicas estándar. Sin embargo, ese enfoque se vuelve innecesariamente complicado para valores grandes de "N". Levinson (1947)[5] ha propuesto un método iterativo muy eficiente para resolver las ecuaciones normales, haciendo uso de la simetría de Toeplitz que poseen las ecuaciones normales. Para un tratamiento detallado, véase Robinson y Treitel (2000)[4]. Para consultar los códigos informáticos, consulte Robinson y Osman (1996)[3].
Referencias
- ↑ Robinson, E. A. y S. Treitel, 1965, Dispersive digital filter: Reviews of Geophysics, 3, 433-461.
- ↑ Treitel, S. y E. A. Robinson, 1966, The design of high-resolution digital filter: IEEE Transactions on Geoscience Electronics, GE-4, 25-38.
- ↑ 3.0 3.1 Robinson, E. A., y O. M. Osman, 1996, Deconvolution: SEG Geophysics Reprint Series No. 17. Cite error: Invalid
<ref>tag; name "ch09r13" defined multiple times with different content - ↑ 4.0 4.1 Robinson, E. A., y S. Treitel, 2000, Geophysical signal analysis: SEG.
- ↑ Levinson, N., 1947, The Wiener rms error criterion in prediction and filtering: Journal of Mathematics and Physics, 25, 261-278.
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También en este capítulo
- Ondículas
- Filtro spike
- El modelo convolucional blanco
- Procesamiento de la ondícula
- Filtro pasa-todo
- Modelo convolucional
- Ondícula de retraso no mínimo
- Deconvolución de la firma
- Vibros
- Estimación de la ondícula en sensores dualres
- Deconvolución: Einstein o predictiva?
- Resúmen
- Apéndice I: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about The shaping filter/es |
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