Ondícula de retraso no mínimo

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	9
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

¿Cuál es la estructura de una ondícula de retardo no mínimo? Sea la signatura la ondícula de valor real, longitud finita y retardo no mínimo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): s = \left(s_0,{{\rm s}}_{{ 1}}{\rm,\dots,}\ s_{{\rm N}}\right) . Llamemos blanco a todo lo que tenga un espectro de magnitud plano y coloreado a todo lo que tenga un espectro de magnitud curvo. La representación canónica es la clave para la signature deconvolution. La "representación canónica" establece que una wavelet dada con retardo no mínimo "s" es igual a la convolución de (1) su contraparte con retardo mínimo "b", que es una wavelet con el mismo color que la wavelet dada con retardo no mínimo "s" pero con un espectro de fase mínima, y ​​(2) la wavelet de paso total "p", que tiene un espectro de magnitud blanco (es decir, plano) y que lleva la fase adicional. La representación canónica de la firma está dada por

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} s= b*p. \end{align}

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Se conoce la firma "s". El problema es encontrar sus dos componentes.

Sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): S\left(\omega \right) la transformada de Fourier de la firma. El espectro de energía se define como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \Psi {\rm \ }\left(\omega \right)&{ =|}S\left(\omega \right){{\rm |}} ^{ 2} = \sum^N_{m= 0}{s_m}e^{-i\omega m}\sum^N_{n= 0}{s_n}e^{i\omega n}. \end{align}

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Si dejamos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): m-n = k , podemos reescribir esto como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align}\Psi (\omega ) = \sum\limits_{m = 0}^N {\sum\limits_{n = 0}^N {s_m s_n e^{ - i\omega (m - n)} = \sum\limits_{k = - N}^N {e^{ - i\omega k} } \sum\limits_{n = 0}^N {s_{n + k} s_n } .} } \end{align}

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La autocorrelación se define como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} r_k= \sum^N_{n= 0}{s_{n + k}} s_n. \end{align}

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La autocorrelación es simétrica; es decir, $ r_{k}=r_{-k} $ El espectro de energía se puede escribir como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \Psi \left(\omega \right)= \sum^N_{k = -N}{e^{-i\omega k}} r_k = r_0+2\sum^N_{i{ =1}}{r_k}{\rm \ cos\ }\omega k\ge 0. \end{align}

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Por lo tanto, si nos da la firma "s", podemos calcular su espectro de energía así como su autocorrelación.

Ahora queremos considerar el problema inverso: dado el espectro de energía (o, equivalentemente, la autocorrelación), queremos encontrar la ondícula que produce este espectro de energía. Este problema inverso, tal como está, no es único en el sentido de que muchas ondículas tienen el espectro de amplitud dado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \sqrt{\Psi \left(\omega \right)} . Solo una de estas ondículas tiene un retardo mínimo. Esta ondícula excepcional se puede determinar porque es posible determinar el espectro de fase mínima a partir del conocimiento de su espectro de amplitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \sqrt{\Psi \left(\omega \right)} . Por lo tanto, tenemos suficiente información para calcular la contraparte de retardo mínimo de la firma de retardo no mínimo. Así es como lo hacemos:

Escribimos el espectro de energía como la transformada Z

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \Psi \left(Z\right)= \sum^N_{k = -N}{Z^k}r_k. \end{align}

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Vemos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^N\Psi \left(Z\right) es un polinomio de grado 2N. Como la autocorrelación es simétrica, se deduce que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^N\Psi \left(Z\right)= 0 si y solo si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^N\Psi \left(Z^{-{ 1}}\right)= 0 . Por lo tanto, Z es una raíz de este polinomio si y solo si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^{-1} es una raíz. Además, como el polinomio tiene coeficientes reales, se deduce que para cada raíz compleja, debe existir la raíz compleja conjugada correspondiente. Por ejemplo, supongamos que la autocorrelación es (2, 5, 2), donde el punto central 5 está en el índice de tiempo 0. La transformada Z de la autocorrelación es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Psi \left(Z\right){ =2}Z^{-{ 1}} { +5+2}Z . El polinomio Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z\Psi \left(Z\right){ =2+5}Z+2Z^{ 2} se puede factorizar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(Z+2\right)\left( 2Z{ +\ 1}\right) . Vemos que -2 es una raíz y que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -{\rm 1/2} también es una raíz.

Calculemos las raíces del polinomio. Cualquier raíz de módulo uno da lugar a un componente de igual retardo. Estas situaciones se tratan en Robinson (1967b). Aquí, suponemos que no hay raíces de módulo uno. Hay 2N raíces en total. De estas raíces, N de ellas, digamos, $ Z_{1},...,Z_{N} $, tendrán un módulo mayor que uno. Las N raíces restantes tendrán un módulo menor que uno. Formemos el polinomio

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b_N\left(Z-Z_{1}\right)\left(Z-Z_{ 2}\right)\dots \left(Z-Z_N\right)= b_0 + b_{{ 1}} Z + \dots + b_NZ^N ,\end{align}

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donde la constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_N se determina al exigir que la ondícula b tenga la misma energía que la firma s. En otras palabras, la constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_N se determina al exigir que

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b^{ 2}_0 + b^{ 2}_{1} + \dots + b^{ 2}_N = s^{ 2}_0 + s^{ 2}_{1} + \dots + s^{ 2}_N. \end{align}

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La ondícula "b" es, por tanto, la contraparte de retardo mínimo deseada de la firma "s".

La inversa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{-{ l}} = f = \left(f_{{\rm O}},f_{1}{\rm \ ,\ }f_{ 2},\dots \right) de la contraparte de retardo mínimo b se puede obtener realizando la división polinomial.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{1}{b_0 + b_{{ 1}} Z + \dots + b_NZ^N}= f_0 + f_{{ 1}}Z + f_{ 2}Z^{ 2} +\dots. \end{align}

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Describamos ahora un método de cálculo para obtener los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_i . Escriba la ecuación 40 como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^N_{m= 0}{b_m}&Z^m\sum^{\infty }_{n= 0}{f_n}Z^n{ =1}. \end{align}

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Si dejamos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n = k-m , podemos reorganizar los términos para obtener

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{\infty }_{k= 0}&{\left(\sum^N_{m= 0}{b_m}f_{k-m}\right)}Z^k{ =1}. \end{align}

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Para que esta ecuación se cumpla, vemos que

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} b_0f_0{ =1}& \mathrm{\ and\ } \sum^N_{m= 0}{b_m}f_{k-m}= 0 \mathrm{\ for\ } k{ =1,2,3,}\dots. \end{align}

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Inmediatamente, encontramos el valor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_0 = b^{-{ l}}_0 . Pondremos este valor en la ecuación para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k = 1 y resolveremos la ecuación para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_{{ 1}} . Luego ponemos estos valores en la ecuación para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): k{ =2} y resolvemos la ecuación para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_{ 2} . Continuamos de esta manera para resolver las ecuaciones para obtener la inversa Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f = b^{-1} .

A continuación, utilizamos la expresión

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f*s= f*\left(b*p\right) = b^{-1}*\left(b*p\right) = p \end{align}

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para obtener una expresión para el filtro "pasa todo" "p". Una vez encontrado este operador pasa todo, se obtiene su inverso sin más cálculos simplemente invirtiendo el orden de sus coeficientes. Es decir, el inverso de "p" es simplemente su inverso (con respecto al índice de tiempo 0):

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De esta forma, hemos obtenido los componentes de la representación canónica Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): s = b*p de la firma, y ​​los componentes de la inversa de la firma, es decir

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} s^{-1}= {\left(b*p\right)}^{-1} = b^{-1}*p^{-1} = f*p^R. \end{align}

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Ondículas
• Filtro conformador
• Filtro spike
• El modelo convolucional blanco
• Procesamiento de la ondícula
• Filtro pasa-todo
• Modelo convolucional
• Deconvolución de la firma
• Vibros
• Estimación de la ondícula en sensores dualres
• Deconvolución: Einstein o predictiva?
• Resúmen
• Apéndice I: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Nonminimum-delay wavelet/es