Filtro spike

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	9
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

¿Qué es un filtro de picos y cómo se calcula? Un filtro de picos es un filtro de modelado cuya salida deseada es un pico. En tal caso, todos los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_k de la salida deseada son cero, excepto el coeficiente $ z_{0}=1 $ en el tiempo cero. Para un filtro de picos causal con entrada causal (de modo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{-1} =0, x_{-2} =0, \dots ), los coeficientes de correlación cruzada para las ecuaciones normales son

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g_m = \sum_k{z_k}x_{k-m} = x_{-m} = \left\{ \begin{array}{lc} x_0{\rm \ for\ }m= 0 & \\ {\rm 0\ \ for\ }m{ =1,\ 2,\ }...N. \end{array} \right. \end{align}

(12)

Las ecuaciones normales se convierten en

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^N_{n= 0}{f_n}r_{m-n} = \left\{ \begin{array}{lc} x_0{\rm \ for\ }m= 0 & \\ {\rm 0\ for\ }m{ =1,\ 2,\ } & ...N. \end{array} \right. \end{align}

(13)

¿Cómo se calcula el filtro de predicción de error? Sea h un filtro de predicción causal para la distancia de predicción uno. Sea la entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_k donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_0 ocurre en el tiempo cero. La salida deseada es la entrada adelantada por una unidad de tiempo; es decir, la salida deseada es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_k = x_{k +1} , donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_0 = x_{1} ocurre en el tiempo cero. Por lo tanto, la correlación cruzada es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g_m = \sum_k{z_k}x_{k-m} = \sum_k{x_{k+1}} x_{k-m} = r_{m+1}. \end{align}

(14)

La solución de las ecuaciones normales

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{N-1}_{n= 0}{h_n}r_{m-n}= r_{m+1} \end{align}

(15)

proporciona los coeficientes $ \left(h_{0},h_{1},{\rm {\ }}\dots {\rm {\ ,\ }}h_{N-{1}}\right) $ del operador de predicción. El valor predicho es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_k = \hat{x}_{k+1} = \sum^{N-1}_{n= 0}{h_n}x_{k-n}. \end{align}

(16)

El error de predicción es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_k-\hat{x}= x_k-\sum^{N-{ l}} _{n= 0}{h_n}x_{k-1-n}. \end{align}

(17)

Los coeficientes del operador de error de predicción f para la distancia de predicción uno se encuentran con la ecuación

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} (f_0 ,\;f_1 ,\;f_2 ,\;...,\;f_N )\; = \;(1,\; - h & _0 ,\;h_1 ,..., - h_{N - 1} ). \end{align}

(18)

Este filtro es necesariamente un filtro de retardo mínimo (Robinson y Treitel, 2000). El filtro de error de predicción para la distancia de predicción uno es el filtro de picos normalizado de modo que su coeficiente principal sea uno.

Demos algunos ejemplos numéricos. Supongamos que la señal de entrada es la wavelet de dos longitudes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0,b_{{ 1}}\right) , que el filtro tiene dos coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(f_0,f_{{ 1}}\right) , y que la señal de salida deseada es la wavelet de tres longitudes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(d_0,d_{1}{\rm \ ,\ }d_{ 2}\right) . La salida real se obtiene realizando la convolución

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(b_0{\rm \ ,\ }b_{1}\right)*\left(f_0{\rm \ ,\ }f_{1}\right)= \left(f_0b_0{\rm \ ,\ }f_0b_{{ l}} + f_{{ l}}b_0{\rm \ ,\ }f_{1}b_{{ l}}\right)\approx \left(d_0{\rm \ ,\ }d_{1}{\rm \ ,\ }d_{ 2}\right) . \end{align}

(19)

Las ecuaciones normales son

$ {\begin{aligned}\left(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}\right)f_{0}+\left(b_{0}b_{1}\right)f_{1}=d_{0}b_{0}+d_{1}b_{1}\\\left(b_{0}b_{1}\right)f_{0}+\left(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}\right)f_{1}=d_{1}b_{0}+d_{2}b_{1}.\end{aligned}} $

(20)

Como primer ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase mínima b = (2, 1) y la salida deseada es el pico d = (1, 0, 0), donde el 1 ocurre en el índice de tiempo 0. En otras palabras, buscamos encontrar el filtro de dos longitudes que convertirá la wavelet de entrada en un pico unitario. Si sustituimos los valores numéricos, las ecuaciones normales se convierten en

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm 5}f_0+2f_{{ 1}} { =2}\\ {\rm 2\ }f_0{ +5}f_{1}{ =0.} \end{align}

(21)

Encontramos que el filtro de picos de mínimos cuadrados está dado por

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(f_0,f_{{ 1}} \right)= \left(\frac{{ 10}}{21},-\frac{{\rm 4}}{21}\right) . \end{align}

(22)

Se acostumbra normalizar el filtro de picos de modo que su coeficiente principal sea uno. Un filtro de picos normalizado de esta manera es un filtro de error de predicción. Por lo tanto, el filtro de picos normalizado, o el filtro de error de predicción, es (1, –0,4).

Como segundo ejemplo, supongamos que dejamos que la entrada sea la wavelet de fase máxima correspondiente b = (1, 2) y que la salida deseada sea el mismo pico. En otras palabras, buscamos encontrar el filtro de dos longitudes que convertirá la wavelet de entrada (1, 2) en el mismo pico unitario d = (1, 0, 0). Observamos que la wavelet de entrada de fase máxima b = (1, 2) tiene la misma autocorrelación que la wavelet de entrada de fase mínima b = (2, 1) que usamos en el primer ejemplo. Las ecuaciones normales ahora son

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm 5\ }f_0+2\ f_{1}{ =1}\\ {\rm 2\ }f_0{ +5\ }f_{1}= 0. \end{align}

(23)

Encontramos que ahora el filtro de mínimos cuadrados está dado por

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(f_0,f_{{ 1}} \right)= \left(\frac{{\rm 5}}{21},\frac{-2}{21}\right) . \end{align}

(24)

Nuevamente, el filtro de error de predicción es (1, –0,4), igual que antes. La razón de esta similitud es que las dos wavelets de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b = \left({\rm 2,1}\right) y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b{ =(1} , 2{\rm )} tienen la misma autocorrelación. Cada wavelet con la misma autocorrelación (independientemente de si el wavelet es de fase mínima, fase mixta o fase máxima) está asociado con el mismo filtro de error de predicción.

Utilicemos la wavelet de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(b_0,b_{{ 1}}\right) , como antes. Sea el filtro de predicción (para una unidad de tiempo por delante) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(h_0\right) y la señal de salida deseada sea la wavelet de dos longitudes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(d_0,d_{1}\right) = \left(b_{1}{\rm ,\ 0}\right) . Luego, la salida real se obtiene realizando la convolución.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(b_0{\rm,\ }b_{1}\right)*\left(h_0\right)= \left(h_0b_0{\rm,\ }h_0b_{1}\right) \approx \left(d_0{\rm,\ }d_{{ 1}} \right) . \end{align}

(25)

El conjunto de ecuaciones normales se reduce a la única ecuación

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(b^{ 2}_0 + b^{ 2}_{1}\right)h_0= d_0b_0 + d_{{ 1}} b_{1}. \end{align}

(26)

Como tercer ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase mínima b = (2,1). Entonces, la salida deseada es d = (1, 0). La ecuación normal 26 se convierte en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm 5}h_0{ =2} . El filtro de error de predicción está dado por

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(f_0,f_{1}\right)= \left({\rm 1,\ }-h_0\right) = \left({ 1,\ }-{\rm 0.4}\right) . \end{align}

(27)

Como cuarto ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase máxima b = (1, 2). Entonces, la salida deseada es d = (2, 0). La ecuación normal 26 se convierte en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm 5}h_0{ =2} , como antes, y obtenemos el mismo filtro de error de predicción, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(f_0,f_{{ 1}}\right) = \left({\rm 1\ ,\ }-{\rm 0.4}\right) .

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Ondículas
• Filtro conformador
• El modelo convolucional blanco
• Procesamiento de la ondícula
• Filtro pasa-todo
• Modelo convolucional
• Ondícula de retraso no mínimo
• Deconvolución de la firma
• Vibros
• Estimación de la ondícula en sensores dualres
• Deconvolución: Einstein o predictiva?
• Resúmen
• Apéndice I: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Spiking filter/es