Filtro spike
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 9 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
¿Qué es un filtro de picos y cómo se calcula? Un filtro de picos es un filtro de modelado cuya salida deseada es un pico. En tal caso, todos los coeficientes $ z_{k} $ de la salida deseada son cero, excepto el coeficiente $ z_{0}=1 $ en el tiempo cero. Para un filtro de picos causal con entrada causal (de modo que $ x_{-1}=0,x_{-2}=0,\dots $), los coeficientes de correlación cruzada para las ecuaciones normales son
$ {\begin{aligned}g_{m}=\sum _{k}{z_{k}}x_{k-m}=x_{-m}=\left\{{\begin{array}{lc}x_{0}{\rm {\ for\ }}m=0&\\{\rm {0\ \ for\ }}m{=1,\ 2,\ }...N.\end{array}}\right.\end{aligned}} $ ()
Las ecuaciones normales se convierten en
$ {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{N}{f_{n}}r_{m-n}=\left\{{\begin{array}{lc}x_{0}{\rm {\ for\ }}m=0&\\{\rm {0\ for\ }}m{=1,\ 2,\ }&...N.\end{array}}\right.\end{aligned}} $ ()
¿Cómo se calcula el filtro de predicción de error? Sea h un filtro de predicción causal para la distancia de predicción uno. Sea la entrada $ x_{k} $ donde $ x_{0} $ ocurre en el tiempo cero. La salida deseada es la entrada adelantada por una unidad de tiempo; es decir, la salida deseada es $ z_{k}=x_{k+1} $, donde $ z_{0}=x_{1} $ ocurre en el tiempo cero. Por lo tanto, la correlación cruzada es
$ {\begin{aligned}g_{m}=\sum _{k}{z_{k}}x_{k-m}=\sum _{k}{x_{k+1}}x_{k-m}=r_{m+1}.\end{aligned}} $ ()
La solución de las ecuaciones normales
$ {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{N-1}{h_{n}}r_{m-n}=r_{m+1}\end{aligned}} $ ()
proporciona los coeficientes $ \left(h_{0},h_{1},{\rm {\ }}\dots {\rm {\ ,\ }}h_{N-{1}}\right) $ del operador de predicción. El valor predicho es
$ {\begin{aligned}y_{k}={\hat {x}}_{k+1}=\sum _{n=0}^{N-1}{h_{n}}x_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
El error de predicción es
$ {\begin{aligned}x_{k}-{\hat {x}}=x_{k}-\sum _{n=0}^{N-{l}}{h_{n}}x_{k-1-n}.\end{aligned}} $ ()
Los coeficientes del operador de error de predicción f para la distancia de predicción uno se encuentran con la ecuación
$ {\begin{aligned}(f_{0},\;f_{1},\;f_{2},\;...,\;f_{N})\;=\;(1,\;-h&_{0},\;h_{1},...,-h_{N-1}).\end{aligned}} $ ()
Este filtro es necesariamente un filtro de retardo mínimo (Robinson y Treitel, 2000[1]). El filtro de error de predicción para la distancia de predicción uno es el filtro de picos normalizado de modo que su coeficiente principal sea uno.
Demos algunos ejemplos numéricos. Supongamos que la señal de entrada es la wavelet de dos longitudes $ \left(b_{0},b_{1}\right) $, que el filtro tiene dos coeficientes $ \left(f_{0},f_{1}\right) $, y que la señal de salida deseada es la wavelet de tres longitudes $ \left(d_{0},d_{1}{\rm {\ ,\ }}d_{2}\right) $. La salida real se obtiene realizando la convolución
$ {\begin{aligned}\left(b_{0}{\rm {\ ,\ }}b_{1}\right)*\left(f_{0}{\rm {\ ,\ }}f_{1}\right)=\left(f_{0}b_{0}{\rm {\ ,\ }}f_{0}b_{l}+f_{l}b_{0}{\rm {\ ,\ }}f_{1}b_{l}\right)\approx \left(d_{0}{\rm {\ ,\ }}d_{1}{\rm {\ ,\ }}d_{2}\right).\end{aligned}} $ ()
Las ecuaciones normales son
$ {\begin{aligned}\left(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}\right)f_{0}+\left(b_{0}b_{1}\right)f_{1}=d_{0}b_{0}+d_{1}b_{1}\\\left(b_{0}b_{1}\right)f_{0}+\left(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}\right)f_{1}=d_{1}b_{0}+d_{2}b_{1}.\end{aligned}} $ ()
Como primer ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase mínima b = (2, 1) y la salida deseada es el pico d = (1, 0, 0), donde el 1 ocurre en el índice de tiempo 0. En otras palabras, buscamos encontrar el filtro de dos longitudes que convertirá la wavelet de entrada en un pico unitario. Si sustituimos los valores numéricos, las ecuaciones normales se convierten en
$ {\begin{aligned}{\rm {5}}f_{0}+2f_{1}{=2}\\{\rm {2\ }}f_{0}{+5}f_{1}{=0.}\end{aligned}} $ ()
Encontramos que el filtro de picos de mínimos cuadrados está dado por
$ {\begin{aligned}\left(f_{0},f_{1}\right)=\left({\frac {10}{21}},-{\frac {\rm {4}}{21}}\right).\end{aligned}} $ ()
Se acostumbra normalizar el filtro de picos de modo que su coeficiente principal sea uno. Un filtro de picos normalizado de esta manera es un filtro de error de predicción. Por lo tanto, el filtro de picos normalizado, o el filtro de error de predicción, es (1, –0,4).
Como segundo ejemplo, supongamos que dejamos que la entrada sea la wavelet de fase máxima correspondiente b = (1, 2) y que la salida deseada sea el mismo pico. En otras palabras, buscamos encontrar el filtro de dos longitudes que convertirá la wavelet de entrada (1, 2) en el mismo pico unitario d = (1, 0, 0). Observamos que la wavelet de entrada de fase máxima b = (1, 2) tiene la misma autocorrelación que la wavelet de entrada de fase mínima b = (2, 1) que usamos en el primer ejemplo. Las ecuaciones normales ahora son
$ {\begin{aligned}{\rm {5\ }}f_{0}+2\ f_{1}{=1}\\{\rm {2\ }}f_{0}{+5\ }f_{1}=0.\end{aligned}} $ ()
Encontramos que ahora el filtro de mínimos cuadrados está dado por
$ {\begin{aligned}\left(f_{0},f_{1}\right)=\left({\frac {\rm {5}}{21}},{\frac {-2}{21}}\right).\end{aligned}} $ ()
Nuevamente, el filtro de error de predicción es (1, –0,4), igual que antes. La razón de esta similitud es que las dos wavelets de entrada $ b=\left({\rm {2,1}}\right) $ y $ b{=(1},2{\rm {)}} $ tienen la misma autocorrelación. Cada wavelet con la misma autocorrelación (independientemente de si el wavelet es de fase mínima, fase mixta o fase máxima) está asociado con el mismo filtro de error de predicción.
Utilicemos la wavelet de entrada $ \left(b_{0},b_{1}\right) $, como antes. Sea el filtro de predicción (para una unidad de tiempo por delante) $ \left(h_{0}\right) $ y la señal de salida deseada sea la wavelet de dos longitudes $ \left(d_{0},d_{1}\right)=\left(b_{1}{\rm {,\ 0}}\right) $. Luego, la salida real se obtiene realizando la convolución.
$ {\begin{aligned}\left(b_{0}{\rm {,\ }}b_{1}\right)*\left(h_{0}\right)=\left(h_{0}b_{0}{\rm {,\ }}h_{0}b_{1}\right)\approx \left(d_{0}{\rm {,\ }}d_{1}\right).\end{aligned}} $ ()
El conjunto de ecuaciones normales se reduce a la única ecuación
$ {\begin{aligned}\left(b_{0}^{2}+b_{1}^{2}\right)h_{0}=d_{0}b_{0}+d_{1}b_{1}.\end{aligned}} $ ()
Como tercer ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase mínima b = (2,1). Entonces, la salida deseada es d = (1, 0). La ecuación normal 26 se convierte en $ {\rm {5}}h_{0}{=2} $. El filtro de error de predicción está dado por
$ {\begin{aligned}\left(f_{0},f_{1}\right)=\left({\rm {1,\ }}-h_{0}\right)=\left({1,\ }-{\rm {0.4}}\right).\end{aligned}} $ ()
Como cuarto ejemplo, supongamos que la entrada es la wavelet de fase máxima b = (1, 2). Entonces, la salida deseada es d = (2, 0). La ecuación normal 26 se convierte en $ {\rm {5}}h_{0}{=2} $, como antes, y obtenemos el mismo filtro de error de predicción, $ \left(f_{0},f_{1}\right)=\left({\rm {1\ ,\ }}-{\rm {0.4}}\right) $.
Referencias
- ↑ Robinson, E. A. y S. Treitel, 2000, Análisis de señales geofísicas: SEG.
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También en este capítulo
- Ondículas
- Filtro conformador
- El modelo convolucional blanco
- Procesamiento de la ondícula
- Filtro pasa-todo
- Modelo convolucional
- Ondícula de retraso no mínimo
- Deconvolución de la firma
- Vibros
- Estimación de la ondícula en sensores dualres
- Deconvolución: Einstein o predictiva?
- Resúmen
- Apéndice I: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Spiking filter/es |
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