Sismogramas sintéticos con multiples

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	8
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Anteriormente, analizamos la traza sintética sin múltiplos, y acabamos de observar múltiples reverberaciones de agua en la capa de agua más superficial. Ahora nos centraremos en el caso más general de un sismograma sintético para un modelo que puede producir múltiplos en cualquiera de sus capas. Los detalles de la generación de una traza sintética con múltiplos se dieron en Robinson y Treitel (1978), quienes también describieron una simplificación matemática esencial que se aplica al caso de coeficientes de reflexión pequeños. El término pequeño se define de manera relativa que depende de las circunstancias en cuestión. En algunos casos, "pequeño" puede significar una magnitud menor a 0,2, mientras que en otros casos puede significar una magnitud menor a 0,05. Aquí, presentamos un método para generar un trazo sintético con múltiplos de tal manera que se resalte lo que están haciendo las matemáticas, en lugar de hacerlo en términos de una derivación matemática estricta. Los conceptos clave son "feedforward" y "feedback".

Comenzamos con el caso de solo dos interfaces (a saber, la superficie y la primera interfaz subsuperficial). Están separadas por una distancia vertical con un tiempo de viaje en ambos sentidos T = 1. La reflectividad es (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon _0 , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon _1 ). Su autocorrelación unilateral (con el término de retardo cero igual a la unidad) es (1, $ \varepsilon _{0} $, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon _1 ), que denotamos por (1, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_1 ) donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_{{ l}}={\varepsilon }_0{\varepsilon }_{{ l}} ….

Reconocemos que el problema actual es el mismo que el problema de reverberación tratado anteriormente, pero ahora con un tiempo bidireccional "T" = 1. Por lo tanto, la "respuesta de impulso h (con múltiplos)" en el caso de "dos interfaces" tiene la transformada "Z".

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right)={\varepsilon }_{{ 1}}Z+{\varepsilon }_{1}\left(-{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{1}\right)Z^{2}+{\varepsilon }_{1}{\left(-{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{1}\right)}^{2}Z^{2}+

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} ={\varepsilon }_{{ 1}} Z\left[{ 1}+\left(-{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{1}\right)Z+{\left(-{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{1}\right)}^{2}Z^{2}+\dots \right]=\frac{{\varepsilon }_{1}Z}{{ 1}+{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{{ 1}}Z}. \end{align}

(22)

Recordemos que la respuesta al impulso (sin múltiplos) se genera mediante un sistema puramente de retroalimentación (con los coeficientes de reflexión en los bucles de retroalimentación). Aquí, la expresión para la transformada Z muestra que la respuesta al impulso (con múltiplos) se genera mediante un sistema de retroalimentación-retroalimentación (con los coeficientes de reflexión en los bucles de retroalimentación y los coeficientes de autocorrelación en los bucles de retroalimentación). La ecuación 22, que es para el caso de una capa, es exacta. En otras palabras, la ecuación 22 da la transformada Z de la respuesta al impulso para el modelo dinámico (ecuación 1).

Consideremos ahora el caso de "tres interfaces". ¿Cuál es la respuesta al impulso (con múltiplos) para tres interfaces? La reflectividad es entonces Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({\varepsilon }_0{ ,\ }{\varepsilon }_{{ 1}}{ ,\ }{\varepsilon }_{2}\right) . Su autocorrelación unilateral (con el término de retardo cero igual a la unidad) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left({ 1,\ }g_{1},g_{2}\right)=\left({ 1,\ }{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{1}+{\varepsilon }_{1}{\varepsilon }_{2}{ ,\ }{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{2}\right) . \end{align}

(23)

Por analogía con el resultado para dos interfaces dado anteriormente, la respuesta de impulso sintética h (con múltiplos) en el caso de tres interfaces tiene la transformada Z

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{{\varepsilon }_{1}Z+{\varepsilon }_{2}Z^{2}} {{1}+g_{{ 1}}Z+g_{2}Z^{2}}. \end{align}

(24)

Sin embargo, la expresión 24, obtenida por analogía, no es exacta sino una aproximación al modelo dinámico real. La ecuación 24 conduce a la traza sintética con múltiplos (ecuación 2).

Consideremos ahora el caso de "cuatro interfaces". ¿Cuál es la respuesta al impulso (con múltiplos) para cuatro interfaces? La reflectividad es entonces Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({\varepsilon }_0{ ,\ }{\varepsilon }_{{ 1}}{ ,\ }{\varepsilon }_{2}{ ,\ }{\varepsilon }_{2}\right) . Su autocorrelación unilateral (con el término de retardo cero igual a la unidad) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left({ 1,\ }g_{1},g_{2},g_{3}\right)=\left({ 1,\ }{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{{ 1}} +{\varepsilon }_{1}{\varepsilon }_{2}+{\varepsilon }_{2}{\varepsilon }_{3}{ ,\ }{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{2}+{\varepsilon }_{1}{\varepsilon }_{3}{ ,\ }{\varepsilon }_0{\varepsilon }_{3}\right) . \end{align}

(25)

Por analogía, la respuesta al impulso sintético (con múltiplos) en el caso de cuatro interfaces tiene la transformada Z

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{{\varepsilon }_{1}Z+{\varepsilon }_{2}Z^{2}+{\varepsilon }_{3}Z^{3}} {{ 1}+g_{{ 1}}Z+g_{2}Z^{2}+g_{3}Z^{3}}. \end{align}

(26)

Sin embargo, la expresión 26, obtenida por analogía, no es exacta sino una aproximación al modelo dinámico real. La expresión 26 puede representarse en forma de diagrama como el sistema de retroalimentación-avance que se muestra en la Figura 10.

Figure 10.  El filtro de retroalimentación hacia adelante para un caso de cuatro interfaces.

Por analogía, la respuesta al impulso sintético (con múltiplos) para interfaces N tiene la transformada Z

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{{\varepsilon }_{1}Z+{\varepsilon }_{2}Z^{2}+\dots { .+.}{\varepsilon }_NZ^N}{{ 1+}g_{{ 1}} Z+g_{2}Z^{2}+.+g_NZ^N}. \end{align}

(27)

Como antes, esta expresión es una aproximación al modelo dinámico. Definamos E(Z) y G(Z) como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} E\left(Z\right)={\varepsilon }_{1}Z+{\varepsilon }_{2}Z^{2}+\dots +{\varepsilon }_NZ^N \mathrm{\ and\ } G\left(Z\right)={1}+g_{1}Z+g_{2}Z^{2}+\dots +g_NZ^N. \end{align}

(28)

La ecuación 27 se puede escribir como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{E\left(Z\right)}{G\left(Z\right)}=E\left(Z\right)M\left(Z\right) \mathrm{\ where\ } M\left(Z\right)=\frac{1}{G\left(Z\right)} =1+m_{1}Z+m_{2}Z^{2}+\ldots. \end{align}

(29)

Para que la ecuación 29 sea verdadera, el polinomio denominador G(Z) debe ser un polinomio de retardo mínimo. En tal caso, tenemos la aproximación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h=m*\varepsilon , que da Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x=s *m*\varepsilon . Por lo tanto, la ecuación 2 es válida para el sismograma sintético con múltiplos.

Analicemos ahora la aproximación que se requiere. Se denomina "aproximación de coeficiente de reflexión pequeño", y fue introducida por Robinson y Treitel (1978) y desarrollada posteriormente por Robinson (1982, 1999). La aproximación requiere que los coeficientes de reflexión sean lo suficientemente pequeños para hacer que el polinomio denominador G(Z) sea un polinomio de retardo mínimo. Por lo tanto, antes de poder utilizar esta aproximación, se debe probar el polinomio denominador para determinar si tiene un retardo mínimo. Si el polinomio denominador tiene un retardo mínimo, se puede utilizar la división polinómica para encontrar los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): m =(1, m_{{ 1}},m_{2},m_{2}, ....) de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): M\left(Z\right) . Si el polinomio denominador no tiene un retardo mínimo, la aproximación falla y se debe utilizar la expresión dinámica exacta (es decir, la expresión obtenida sin la aproximación de coeficiente de reflexión pequeño). De hecho, siempre es prudente utilizar el modelo dinámico exacto (ecuación 1) en los cálculos (Robinson, 1999).

Si se cumple la aproximación del coeficiente de reflexión pequeño, entonces se cumple la aproximación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right)=E\left(Z\right)M\left(Z\right) y los múltiplos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): M\left(Z\right) se pueden eliminar mediante una deconvolución ordinaria (es decir, lineal e invariante en el tiempo). En otras palabras, la aproximación del coeficiente de reflexión pequeño justifica el uso de la deconvolución ordinaria. Por esta razón, se elige una secuencia de puertas de tiempo en la traza sísmica real. La elección se hace suponiendo que dentro de cada puerta, se cumple la aproximación del coeficiente de reflexión pequeño. Se calcula un operador de deconvolución para cada puerta. La traza deconvolucionada se compone de todas las puertas deconvolucionadas junto con la interpolación apropiada entre dos puertas adyacentes.

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Ondículas	Procesamiento de la ondícula
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción
• Polaridad
• Coeficientes de reflexión y transmisión
• La reflexión fantasma
• Modelo de torta
• Sismogramas sintéticos sin multiples
• Reverberaciones de agua
• Ejemplos
• Coeficientes de reflexión pequeños y blancos
• Apéndice H: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Synthetic seismogram with multiples/es