Coeficientes de reflexión y transmisión

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	8
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Trataremos el caso 1D, por lo que solo trataremos las variaciones a lo largo del eje de profundidad, que apunta directamente hacia abajo en la tierra. Como vimos en el Capítulo 3, una onda plana es una onda cuyos frentes de onda son planos paralelos infinitos normales a la dirección de propagación. Supongamos que una onda P plana viaja verticalmente hacia abajo en un medio isótropo homogéneo. Esta onda incidente descendente encuentra una interfaz horizontal que separa dos medios. El medio superior tiene densidad $ \rho _{1} $ y velocidad de onda sísmica $ v_{1} $, y el medio inferior tiene densidad $ {\rho }_{2} $ y velocidad de onda sísmica $ v_{2} $. El resultado es que una parte de la energía de la onda se reflejará en la interfaz y el resto se transmitirá.

Esta división de la onda incidente en una onda reflejada y una onda transmitida en la interfaz es causada por el cambio abrupto en la densidad de la roca y/o la velocidad. Para el caso de incidencia normal que tratamos aquí, las ondas reflejadas y transmitidas tienen la misma forma y amplitud que la onda incidente, pero difieren de ella en amplitud. La relación entre la amplitud de la onda reflejada y la de la onda incidente se denomina "coeficiente de reflexión". De manera similar, la relación entre la amplitud de la onda transmitida y la de la onda incidente se denomina "coeficiente de transmisión". Sin embargo, el coeficiente de reflexión definido para una onda en la que la amplitud se mide en términos de velocidad de la partícula es diferente del coeficiente de reflexión para una onda en la que la amplitud se mide en términos de presión. La misma afirmación es válida para el coeficiente de transmisión. Establezcamos ahora esta diferencia.

Un reflector se caracteriza por un contraste en la impedancia acústica, que da lugar a una reflexión sísmica (O’Doherty y Anstey, 1971). La reflectividad se refiere al coeficiente de reflexión. Las amplitudes que se requieren en las definiciones de los coeficientes de reflexión y transmisión se pueden obtener resolviendo ecuaciones que expresan la continuidad del desplazamiento y la tensión en el límite. Consideramos el caso de incidencia normal en una interfaz que separa dos medios de densidades $ \rho _{1} $ y $ \rho _{2} $ y velocidades $ v_{1} $ y $ v_{2} $. Las impedancias son, respectivamente, $ Z_{1}={\rho }_{1}v_{1} $ y $ Z_{2}={\rho }_{2}v_{2} $. Supongamos que una onda descendente incidente en una formación con impedancia $ Z_{1} $ golpea una formación con impedancia $ Z_{2} $ (Figura 1).

Figure 1.  Reflexión y transmisión de una onda descendente en una interfaz. Todas las direcciones de las ondas son verticales, pero se representan como líneas oblicuas para mayor claridad visual.

Tanto el atributo de velocidad de la partícula como el atributo de presión del movimiento ondulatorio deben ser continuos a través de la interfaz, como se expresa mediante las dos ecuaciones $ D_{1}+U_{1}=D_{2} $ y $ d_{1}+u_{1}=d_{2} $. Como hemos visto, la convención de Berkhout da $ d_{1}=Z_{1}D_{1},u_{1}=-Z_{1}U_{1} $, y $ d_{2}=Z_{2}D_{2} $. Por lo tanto, las dos ecuaciones se pueden escribir como

$ {\begin{aligned}D_{1}+U_{1}=D_{2}\mathrm {\ \ and\ \ } Z_{\rm {1}}D_{1}-Z_{1}U_{1}=Z_{2}D_{2}.\end{aligned}} $

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Si las amplitudes de las ondas se miden en términos de velocidad de las partículas (indicada por el subíndice pv en el coeficiente), entonces el coeficiente de reflexión se define como $ {\varepsilon }_{pv}=U_{1}/D_{1} $ y el coeficiente de transmisión como $ {\tau }_{pv}=D_{2}/D_{1} $. Utilizando las ecuaciones 4, obtenemos la expresión para el coeficiente de reflexión de la velocidad de las partículas dada por

$ {\begin{aligned}{\varepsilon }_{pv}={\frac {U_{1}}{D_{\rm {1}}}}={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.\end{aligned}} $

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Si las amplitudes de la onda incidente descendente se miden en términos de presión (indicada por el subíndice pres en el coeficiente), entonces el "coeficiente de reflexión de presión" correspondiente es

$ {\begin{aligned}{\varepsilon }_{\rm {pres}}={\frac {u_{\rm {1}}}{d_{1}}}={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}.\end{aligned}} $

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Vemos que uno es el negativo del otro; es decir, $ {\varepsilon }_{\rm {pres}}=-{\varepsilon }_{pv} $. El coeficiente de transmisión $ \tau $ es siempre igual a $ 1+\varepsilon $. Por lo tanto, la transmisión de velocidad de partícula

$ {\begin{aligned}{\tau }_{pv}={1}+{\varepsilon }_{pv}={\frac {2Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\mathrm {and} {\tau }_{\rm {pres}}={1}+{\varepsilon }_{\rm {pres}}={\frac {2Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.\end{aligned}} $

(7)

Observamos que el coeficiente de reflexión de la velocidad de las partículas y el coeficiente de reflexión de la presión tienen signos diferentes. Como ejemplo físico, supongamos que una onda compresiva descendente de magnitud 1,0 golpea una capa con mayor impedancia. Para simplificar, supongamos que la onda golpea una capa con una impedancia infinitamente grande. Esto da lugar a una onda compresiva ascendente de magnitud 1,0. Ambas fórmulas del coeficiente de reflexión predicen esto. La fórmula del coeficiente de reflexión de la presión es igual a +1. La onda ascendente reflejada, tal como se registra mediante un hidrófono, conservaría la misma amplitud que la onda descendente incidente. Observamos que las mediciones de presión son escalares y son independientes de la dirección de viaje de la onda. El coeficiente de reflexión de la velocidad de las partículas es igual a -1,0. La onda ascendente reflejada, tal como se registra mediante un geófono, tendría la amplitud negativa de la onda descendente incidente. Observamos que las mediciones de la velocidad de las partículas son vectores y dependen de la dirección de viaje de la onda. Por lo tanto, la velocidad de las partículas de la onda ascendente reflejada tiene el signo opuesto al de la velocidad de las partículas de la onda descendente incidente. Las dos fórmulas para el coeficiente de reflexión describen la acción de las olas tal como se mide con los diferentes dispositivos de registro.

Los coeficientes de reflexión y transmisión se refieren generalmente a una onda incidente descendente. ¿Cuáles son los coeficientes respectivos para una "onda incidente ascendente"? Sea el subíndice del coeficiente "U" una onda incidente ascendente. Queremos determinar el coeficiente de reflexión $ \varepsilon _{U} $ y el coeficiente de transmisión $ \tau _{U} $ para una "onda incidente ascendente" en el medio inferior con impedancia $ Z_{2} $, cuando la onda choca con una interfaz con el medio superior con impedancia $ Z_{1} $ (Figura 2).

Figure 2.  Reflexión y transmisión de una onda ascendente en una interfaz. Todas las direcciones de las ondas son verticales, pero se representan como líneas oblicuas para mayor claridad visual.

Ahora la onda incidente es ascendente y el cambio de impedancia es de $ Z_{2} $ a $ Z_{1} $.

Por lo tanto, los roles de $ Z_{1} $ y $ Z_{2} $ se intercambian, por lo que los coeficientes ascendentes se convierten en

$ {\begin{aligned}\varepsilon _{U,pv}=-\varepsilon _{pv}={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\;\;{\text{and}}\;\varepsilon _{U,{\text{pres}}}=-\varepsilon _{\text{pres}}={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}},\end{aligned}} $

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y

$ {\begin{aligned}\tau _{U,pv}=1+\varepsilon _{U,pv}={\frac {2Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\;\;{\text{and}}\;\;\tau _{\text{U,pres}}=1+\varepsilon _{U,{\text{pres}}}={\frac {2Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}.\end{aligned}} $

(9)

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción
• Polaridad
• La reflexión fantasma
• Modelo de torta
• Sismogramas sintéticos sin multiples
• Reverberaciones de agua
• Sismogramas sintéticos con multiples
• Ejemplos
• Coeficientes de reflexión pequeños y blancos
• Apéndice H: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Reflection coefficients and transmission coefficients/es