Movimiento sinusoidal
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 4 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
En este punto, introducimos una relación importante que nos resulta familiar gracias al cálculo elemental: la ecuación de Euler:
$ {\begin{aligned}&e^{i\theta }{\ =\ cos\ }\theta {\ +\ }i{\rm {\ sin\ }}\theta .\end{aligned}} $ ()
Para $ \theta $ negativo, esto es
$ {\begin{aligned}&e^{-i\theta }{\rm {=\ cos\ }}\theta -i{\rm {\ sin\ }}\theta .\end{aligned}} $ ()
Aquí, $ i{\rm {=}}{\sqrt {-{\rm {l}}}} $. Las dos versiones de la ecuación de Euler anteriores dan las siguientes expresiones para el coseno y el seno:
$ {\begin{aligned}&{\rm {\ cos\ }}\theta {\ =\ }{\frac {e^{i\theta }{\rm {+}}e^{-i\theta }}{\rm {2}}}{\rm {,\ \ sin\ }}\theta {\ =\ }{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{{\rm {2}}i}}.\end{aligned}} $ ()
Introducimos ahora la variable de tiempo continua "t" y hacemos que $ \theta {\ =\ }\omega \ t $ entre en la ecuación de Euler. El resultado es
$ {\begin{aligned}&e^{i\omega t}{\ =\ cos\ }\omega t{\ +\ }i{\rm {\ sin\ }}\omega t.\end{aligned}} $ ()
La función $ e^{i\omega t} $ representa el vector rotatorio que se muestra en la Figura 2a. La frecuencia angular es $ \omega $, que para este análisis, consideramos un número intrínsecamente positivo. La frecuencia cíclica es $ f{\rm {=}}\omega {\rm {/2}}\pi $. A medida que t aumenta, el vector $ e^{i\omega t} $ rota en sentido antihorario. En coordenadas cartesianas, dejamos que el eje x represente el eje real y el eje y represente el eje imaginario (Figura 2b). Entonces, la cantidad $ e^{i\omega t} $ para $ \omega $ fijos y t representa un vector cuya proyección sobre el eje x es $ {\rm {\ cos\ }}\omega t $ y cuya proyección sobre el eje y es $ {\rm {\ sin\ }}\omega t $. El ángulo de este vector es $ \omega t $, y la longitud de este vector es uno. El plano (x,y) se llama plano complejo z, donde $ z{\rm {=}}x{\rm {+}}iy $. A medida que el tiempo t aumenta, este vector gira en sentido antihorario, y la punta del vector traza un círculo. Debido a que este círculo tiene radio unitario, se llama círculo unitario en este plano complejo z.
A medida que el vector gira, su proyección $ {\rm {\ cos\ }}\omega t $ sobre el eje x traza una curva coseno, y su proyección $ {\rm {\ sin\ }}\omega t $ sobre el eje y traza una curva seno. Tanto $ {\rm {\ cos\ }}\omega $ como $ {\rm {\ sin\ }}\omega t $ representan un movimiento sinusoidal a una frecuencia fija $ \omega $. Este movimiento se denomina movimiento sinusoidal o movimiento armónico simple. En lugar de utilizar una escala de tiempo continua t para la señal, el procesamiento digital requiere primero elegir un incremento de tiempo $ \Delta t $ y luego definir el índice de tiempo n de modo que el tiempo esté dado por $ t{\rm {=}}n\Delta t $. Un incremento de tiempo típico es 0,004 s.
Los dos vectores de la Figura 2a muestran que se barre un ángulo de $ \omega n\Delta t $ radianes en $ t{\rm {=}}n\Delta t $ segundos. El vector inferior corresponde al índice de tiempo n = 0 y el vector superior al índice de tiempo n. En lugar de considerar una rueda que gira, podemos pensar simplemente en un único vector que gira a una velocidad angular constante $ \omega $ (Figura 2b).
En el instante n = 0, el vector se encuentra en la dirección positiva a lo largo del eje de coordenadas horizontal. Luego, en un índice de tiempo arbitrario n, el vector formará un ángulo de $ \omega n\Delta t $ radianes con el eje horizontal. Las proyecciones de este vector sobre los ejes x e y dan los componentes horizontal y vertical, respectivamente: $ \left({\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t{\rm {,\ \ sin\ }}\omega n\Delta t\right) $. Sea el eje vertical el eje imaginario (es decir, una unidad de distancia sobre el eje vertical es $ i{\rm {=}}{\sqrt {-{\rm {1}}}} $). Podemos representar el vector en el tiempo $ n\Delta t $ en términos de sus componentes $ {\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t $ y $ {\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t $ de la siguiente manera:
$ {\begin{aligned}{\rm {vector}}\ ({\rm {at}}\ {\rm {time}}\ n\Delta t)\ {\rm {=\ cos\ }}\omega n\Delta t{\ +\ }i{\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t{\ =\ }e^{i\omega n\Delta t}\end{aligned}} $ ()
Esta ecuación, que es una forma de la ecuación de Euler, muestra que la exponencial $ e^{i\omega n\Delta t} $ representa un vector unitario (o rueda) que gira a velocidad angular constante $ \omega $. Los componentes de este vector representan un movimiento armónico simple.
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También en este capítulo
- Series de tiempo
- La ondícula
- Digitalización
- Frecuencia
- Aliasing
- La frecuencia de Nyquist
- Muestro de datos geofísicos
- Apéndice D: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Sinusoidal motion/es |
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