Aliasing

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	4
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

El tiempo t es una variable real continua, es decir, el tiempo t puede tomar cualquier valor real. Sin embargo, en el procesamiento digital, las señales se muestrean en instantes de tiempo igualmente espaciados. El incremento de tiempo entre puntos de muestreo adyacentes se denomina intervalo de muestreo. Si denotamos el tiempo continuo por t, el intervalo de muestreo por $ \Delta t $, y el índice de tiempo discreto por el entero n, entonces tenemos la relación fundamental $ t{\ =}n\Delta t $.

Apliquemos ahora el concepto de muestreo al movimiento armónico simple. Veremos que la consecuencia más importante de muestrear una función en puntos de tiempo igualmente espaciados es el fenómeno llamado "aliasing". Por ejemplo, en el registro sísmico, a menudo se utiliza el intervalo de muestreo de 4 ms. Esto hace que las frecuencias mayores que 1/(2)(0,004), es decir, 125 Hz (llamada la frecuencia de Nyquist), sean aliasadas (ver más abajo). La Figura 3a muestra el espectro de amplitud de una ondícula con un intervalo de muestreo de 4 ms. Si la ondícula se diezma volviéndola a muestrear a 8 ms (de modo que se descarta la mitad de los valores), entonces la nueva frecuencia de Nyquist se convierte en 1/(2)(0,008), que es 62,5 Hz. En la Figura 3b, la porción del espectro más allá de los 62,5 Hz está plegada hacia atrás, como vemos en la Figura 3a. Por esta razón, la frecuencia de Nyquist también se conoce como la "frecuencia de plegamiento". El espectro de amplitud de la ondícula diezmada es la suma de las partes que se muestran en la Figura 3b. Este resultado se muestra en la Figura 3c (Robinson y Clark, 1991).

Figure 3.  (a) Espectro de amplitud de una ondícula con muestreo de 4 ms. (b) Espectro de amplitud plegado. (c) Suma de las partes que se muestran en (b).

El aliasing es un fenómeno muy común, pero estamos tan acostumbrados a él que apenas nos damos cuenta de su existencia. Supongamos que vemos un objeto en el punto «A» y luego en el punto «B», pero nuestros ojos no ven el movimiento real entre «A» y «B». Nuestra mente interpola este movimiento y hace que la trayectoria aparente sea la distancia más corta entre «A» y «B». Muchos de los trucos de magia de los magos, como el del guisante bajo la cáscara de una nuez, se basan en este fenómeno.

En muchas de las antiguas películas del Oeste había escenas con carros y diligencias cuyas ruedas tenían radios. Los radios nos permitían ver el movimiento de la rueda. Pero, ¿qué veíamos en nuestra mente? A medida que la diligencia se ponía en marcha y aumentaba la velocidad, veíamos que las ruedas giraban cada vez más rápido en dirección hacia delante. Luego, de repente, invertían la dirección y disminuían la velocidad hasta detenerse, y el proceso se repetía. Las ruedas giraban más rápido, invertían la dirección, disminuían la velocidad hasta detenerse, y así sucesivamente. Nuestra mente veía que las ruedas iban hacia atrás mientras la diligencia avanzaba, pero nuestros ojos sólo veían una secuencia de imágenes fijas que formaban la película cinematográfica. De hecho, una película cinematográfica representa una muestra del movimiento físico real que se está fotografiando. Cualquier alta velocidad de rotación real de la rueda parece, como resultado del proceso de muestreo, estar asociada a una frecuencia de rotación menor.

Consideremos el caso de un solo radio, que representamos con el vector $ e^{i\omega t} $. Muestreamos esta función exponencial en los tiempos $ t{=}n\Delta t $, por lo que nuestra función muestreada es $ e^{i\omega n\Delta t} $. A bajas velocidades, $ \omega $ es pequeña; por ejemplo, supongamos que $ \omega \Delta t{=}\pi {/6} $ radianes, que es $ \omega \Delta t{=}{3}0^{o} $. Entonces nuestra función de muestra es la secuencia de vectores $ e^{i\left(\pi {\rm {/6}}\right)n} $. Mostramos estos vectores para n = 0, 1, 2 en la Figura 4a.

La mente interpreta este movimiento como el movimiento más lento que puede explicar las observaciones reales. En el caso anterior, la rotación aparente es la misma que la rotación real. A una velocidad mayor, $ \omega $ es mayor. Por ejemplo, supongamos que $ \omega \Delta t{\ =}{\ 11}\pi {\ /6,} $, que es $ \omega \Delta t{\ =33}0^{\ o} $. Entonces, nuestra función de muestra es la secuencia de vectores $ e^{i\left({\rm {1l}}\pi {\rm {/6}}\right)n} $. Mostramos estos vectores para n = 0, 1, 2 en la Figura 4b.

Figure 4.  (a) Tres posiciones discretas de un vector que gira lentamente. El movimiento aparente y el movimiento real son iguales: en sentido antihorario. (b) Tres posiciones de un vector que gira rápidamente. El movimiento real es en sentido antihorario, pero el movimiento aparente es en el sentido horario.

Nuevamente, la mente ve la velocidad de rotación más pequeña que explica las observaciones. Por lo tanto, vemos un aparente $ \omega \Delta t{\rm {\ de}}-\pi {\rm {/6\ =}}-{\rm {3}}0^{\rm {o}} $ en lugar del $ \omega \Delta t $ real de $ {\rm {11}}\pi /{\rm {6=33}}0^{\rm {o}} $. Es decir, vemos una frecuencia angular aparente de

$ {\begin{aligned}&\omega {\ =\ }-{\frac {\pi }{{\rm {6}}\Delta t}}\end{aligned}} $

(10)

en lugar de la frecuencia angular real de

$ {\begin{aligned}\omega {\ =\ }{\frac {{\rm {ll}}\pi }{{\rm {6}}\Delta t}}.\end{aligned}} $

(11)

Vemos que la frecuencia angular real se ha aliasado con respecto a la frecuencia angular aparente. En este caso, tenemos que restar el rango de Nyquist $ 2\ \pi {\rm {/}}\Delta t $ de la frecuencia angular real para obtener la frecuencia aparente; es decir,

$ {\begin{aligned}{\frac {{\rm {11}}\pi }{{\ 6}\Delta t}}-{\frac {{\rm {l2}}\pi }{{\ 6}\Delta t}}{\rm {=}}-{\frac {\pi }{{\rm {6}}\Delta t}}.\end{aligned}} $

(12)

Los puntos críticos ocurren cuando $ \omega {\ =}-\pi {\rm {/}}\Delta t $ o $ \omega {\ =}\pi {\rm {/}}\Delta t $. Cuando $ \omega {\ =}\pi {\rm {/}}\Delta t, $, por ejemplo, la función de muestra es la secuencia de vectores

$ {\begin{aligned}e^{i\omega {\rm {t}}}{\rm {=}}e^{i{\frac {\pi }{\Delta t}}\Delta tn}{\rm {=}}e^{i\pi n}{\rm {=}}{\left(e^{j\pi }\right)}^{n}{\rm {=}}{\left(-{\rm {l}}\right)}^{n}.\end{aligned}} $

(13)

Mostramos estos vectores en la Figura 5. El vector simplemente oscila entre +1 y –1, por lo que el movimiento aparente podría ser en cualquier dirección.

Figure 5.  Posiciones de un vector de muestra que oscila entre +1 y -1. La rotación real es en el sentido de las agujas del reloj.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Series de tiempo
• La ondícula
• Digitalización
• Frecuencia
• Movimiento sinusoidal
• La frecuencia de Nyquist
• Muestro de datos geofísicos
• Apéndice D: Ejercicios

Vínculos externos

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