Apéndice D: Ejercicios

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	4
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Por falta de un clavo se perdió la herradura,
Por falta de una herradura se perdió el caballo,
Por falta de un caballo se perdió el jinete,
Por falta de un jinete se perdió la batalla,
Por falta de una batalla se perdió el reino,
Y todo por falta de un clavo de herradura.

—Benjamín Franklin

1. Complete la tabla:

Intervalo de muestreo $ \Delta t $	Frecuencia de muestreo $ f_{s} $	Frecuencia de Nyquist $ f_{n} $
0,001 s
0,002 s
0,003 s
0,004 s
0,005 s
0,006 s
0,007 s
0,008 s

2. Para $ \Delta t{\ =\ 0.004s} $, complete la tabla:

Frecuencia real f	Frecuencia alias $ f_{a} $ resultante del muestreo
0
100
200
300
400
500

3. Demuestre que la ecuación de Euler $ e^{i\theta }{\rm {=\ cos\ }}\theta {\ +\ }i{\rm {\ sin\ }}\theta $ para $ \theta {\ =\ }\pi $ da $ e^{i\pi }{\ =\ }-{\rm {1}} $. Esta ecuación se considera una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas porque relaciona los cuatro números especiales $ e,\;i,\;\pi ,\;-1 $ entre sí.

4. Analice por qué el fenómeno de alias representa una ambigüedad de frecuencia resultante del proceso de muestreo.

5. Supongamos que hay menos de dos muestras por ciclo de una señal sinusoidal de entrada de una frecuencia dada. Demuestre que los mismos valores de muestra se darían para una señal sinusoidal de una frecuencia aún más baja. Por lo tanto, esa señal parece igual que la señal original.

6. La mitad de la frecuencia de muestreo se denomina frecuencia de plegamiento o frecuencia de Nyquist $ f_{n} $. Demuestre que la frecuencia $ {f_{n}}+\;\delta $ aparece como la frecuencia aparente más pequeña $ {f_{n}}-\;\delta $. Estas dos frecuencias son alias entre sí.

7. Para evitar el aliasing, muestre por qué las frecuencias superiores a la frecuencia de Nyquist deben eliminarse mediante un filtro anti-alias antes del muestreo.

8. Explique por qué el aliasing es una propiedad inherente a todos los sistemas de muestreo. Por ejemplo, el aliasing se aplica a (1) el muestreo realizado en intervalos de tiempo discretos, como en el caso de la grabación sísmica digital, y (2) el muestreo realizado en intervalos espaciales discretos por elementos separados de matrices de geófonos y puntos de origen.

9. Suponga que $ f\;=\;1.3\;{f_{n}} $. Demuestre que f es indistinguible de la frecuencia inferior (alias) $ {f_{a}}\;=\;0.7\;{f_{n}} $.

10. Describe lo que sucede cuando se muestrea una señal con menos de dos puntos por ciclo. [Pista: el efecto es algo similar al que se observa si una rueda que gira a gran velocidad se ilumina estroboscópicamente a una velocidad diferente. La rueda parece girar a una velocidad diferente de su velocidad real.]

11. Ilustre el ejercicio 10 para algunos casos específicos, utilizando un intervalo de muestreo de 0,004 s. [Sugerencia: considere una señal de onda sinusoidal de 250 Hz muestreada 250 veces por segundo. El resultado será un valor constante (entre -1 y +1). Por lo tanto, una señal muestreada de 250 Hz tiene la apariencia de una señal de frecuencia cero. La situación análoga para la analogía de la rueda giratoria es que la frecuencia estroboscópica hace que la rueda parezca estar parada.]

12. En el ejercicio 11, ¿el proceso de muestreo ha hecho que una señal de 250 Hz parezca una señal de frecuencia cero? [Pista: ahora considere una señal sinusoidal original de 150 Hz. La señal resultante del muestreo a un intervalo de 4 ms tiene la apariencia de una señal de 100 Hz, porque 150 – 250 = –100 Hz, que es lo mismo que 100 Hz. En otras palabras, una señal por encima de 125 Hz adquiere un alias como resultado del muestreo. La frecuencia crítica (125 Hz en este caso) se denomina frecuencia de Nyquist o frecuencia de semimuestreo.]

13. ¿Qué sucede con las señales sinusoidales con una frecuencia superior a 250 Hz en un intervalo de muestreo de 4 ms? Este caso corresponde a la situación de la analogía del estroboscopio en la que la rueda parece girar en sentido contrario a su verdadera dirección de rotación. Las frecuencias entre 250 y 375 Hz aparecen como frecuencias de alias entre –125 Hz y 0 Hz.

14. En términos de frecuencia expresada como ciclos por intervalo de muestreo, demuestre que la frecuencia de Nyquist siempre resulta ser 0,5. La frecuencia angular de Nyquist correspondiente es $ {\rm {2}}\pi \left({\rm {0.5}}\right){\ =\ }\pi $. Por ejemplo, para un intervalo de muestreo de 0,004 s, la frecuencia de Nyquist en Hz se expresa como (0,5 ciclos/unidad de tiempo)/(0,004 s/unidad de tiempo) = (125 ciclos/s).

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También en este capítulo

• Series de tiempo
• La ondícula
• Digitalización
• Frecuencia
• Movimiento sinusoidal
• Aliasing
• La frecuencia de Nyquist
• Muestro de datos geofísicos

Vínculos externos

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