Respuesta en frecuencia de un sistema digital
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 15 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Recordemos que la respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_k es la respuesta del sistema a un pico unitario. Por lo tanto, la respuesta al impulso representa un transitorio que se extingue con el tiempo para un sistema estable. Por otro lado, la respuesta en frecuencia puede interpretarse como una respuesta en estado estable del sistema a señales, cada una con una frecuencia pura. Sea la variable real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega la frecuencia (en radianes por segundo), y sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t el espaciamiento temporal discreto (en segundos). La función Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\omega \Delta tn} es una onda sinusoidal en estado estable de frecuencia pura Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Si dejamos que esta señal en estado estable sea la entrada a un sistema con retardo unitario Z, la salida en estado estable es la señal retardada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\omega \Delta t\left(n-1\right)} . La respuesta de frecuencia es la relación entre la salida de estado estable y la entrada de estado estable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{ - i\omega \Delta t} ; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{e^{i \omega \Delta t\left(n-1\right)}} {e^{i \omega \Delta tn}}=e^{-i\omega \Delta t}. \end{align} ()
Por lo tanto, el operador de retardo puro Z se puede representar como el punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{-i\omega \Delta t} en el círculo unitario. De manera más general, si dejamos que la entrada de estado estable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_n=e^{i\omega \Delta tn} sea la entrada al sistema
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_n=\sum^{\infty }_{k=-\infty }{h_k}u_{n-k}, \end{align} ()
La salida en estado estacionario es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_n=\sum^{\infty }_{k=0}{h_k}e^{i\omega \Delta t\left(n-k\right)}{=e^{i\omega \Delta tn}\sum^{\infty }_{k=0}{h_k}e^{-i\omega \Delta tk}} . \end{align} ()
La respuesta de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(e^{-{\rm i}\omega \Delta t}\right) se define como la relación entre la salida de estado estable y la entrada de estado estable; es decir, la respuesta de frecuencia es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H(e^{ - i\omega \Delta t} ) = \frac{{\sum\limits_{k = 0}^\infty {h_k e^{i\omega \Delta t(n - k)} } }} {{e^{i\omega \Delta tn} }} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {h_k e^{ - i\omega \Delta tk} .}\end{align} ()
La respuesta de frecuencia escrita de esta manera se ajusta a la convención estándar de ingeniería eléctrica, con signos negativos en los exponentes. Por lo tanto, aunque utilizamos la transformada "Z" de geofísica (es decir, la función generadora) en lugar de la transformada "z" de ingeniería eléctrica, utilizamos la misma convención con respecto a la frecuencia que utilizan los ingenieros eléctricos. La función de transferencia
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\sum^{\infty }_{k=0}{h_k}Z^k \end{align} ()
de un sistema digital estable existe en una región que incluye el círculo unitario. Si sustituimos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{-i\omega \Delta t} en la función de transferencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right) , obtenemos la respuesta de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(e^{-i\omega \Delta t}\right) . Es decir, los valores de H(Z) en el círculo unitario conforman la respuesta de frecuencia del sistema. En lugar de la engorrosa notación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(e^{-i\omega \Delta t}\right) , la respuesta de frecuencia se escribe de manera más conveniente como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(\omega \right) . Por lo tanto, tenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H(e^{ - i\omega \Delta t} ) = H(\omega ) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {h_k e^{ - i\omega \Delta tk} = A(\omega )e^{i\theta (\omega )} .} \end{align} ()
La respuesta de frecuencia tiene la forma de una transformada de Fourier discreta. La magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): A\left(\omega \right) de la respuesta de frecuencia se denomina espectro de magnitud, y el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \theta \left(\omega \right) se denomina espectro de fase, ambos los cuales vimos por primera vez en el Capítulo 6. El espectro de desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(\omega \right) se define como el negativo del espectro de fase; es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi \left(\omega \right)=-\theta \left(\omega \right) . La pendiente del espectro de desfase se denomina retardo de grupo; es decir, el retardo de grupo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): d\phi (\omega )/d\omega .
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} e^{ - i\omega \Delta t} = e^{i\left( {\omega + \frac{{2\pi }} {{\Delta t}}} \right)\Delta t} , \end{align} ()
De ello se deduce que la respuesta de frecuencia es periódica en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega , con un periodo de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi/\Delta t . Como resultado, tenemos que examinar solo la respuesta de frecuencia durante un periodo, que normalmente se toma desde el punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega =-\pi/\Delta t hasta el punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega =\pi/\Delta t . La frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega =\pi/\Delta t se conoce como la frecuencia de Nyquist, que analizamos en el Capítulo 4. Para un sistema causal, la respuesta de frecuencia es la transformada de Fourier discreta unilateral.
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(e^{-i\omega \Delta t}\right)=\sum^{\infty }_{k=0}{h_k}e^{-i\omega \Delta tk}. \end{align} ()
La respuesta de frecuencia de un sistema ARMAFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(p, \ q\right) es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(e^{-i\omega \Delta t}\right)=\frac{{\beta }_0+{\beta }_{1}e^{-i\omega \Delta {\rm t}} +{\beta }_{2}e^{-i\omega \Delta t2}+\ldots +{\beta }_qe^{-i2\omega \Delta tq}}{1+{\alpha }_{1}e^{-i\omega \Delta t}+{\alpha }_{2}e^{-{\rm i\omega}\Delta t2}{\rm +\ldots+}{\alpha }_pe^{-i\omega \Delta tp}}, \end{align} ()
que en forma factorizada es
$ {\begin{aligned}H\left(e^{-i\omega \Delta t}\right)={\frac {{\beta }_{0}\left(1-b_{1}e^{-i\omega \Delta t}\right)\left(1-b_{2}e^{-i\omega \Delta t}\right)\ldots \left(1-b_{q}e^{-j\omega \Delta t}\right)}{\left(1-a_{1}e^{-i\omega \Delta t}\right)\left(1-a_{2}e^{-i\omega \Delta t}\right)\ldots \left(1-a_{p}e^{-i\omega \Delta t}\right)}}.\end{aligned}} $ ()
Un sistema "todo pasa" Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): P\left(z\right) se define como un sistema causal estable con un espectro de magnitud unitaria; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} |P\left(e^{-i\omega\Delta t}\right){\rm |=1}\;\;\;\; \rm for\ all\ \omega. \end{align} ()
Los sistemas de paso total se pueden dividir en cuatro tipos: sistemas triviales, de retardo puro, dispersivos y de retardo impuro. La función de transferencia de un sistema de paso total trivial es simplemente una constante de magnitud uno. En el caso de los sistemas reales, esta constante debe ser +1 o -1, por lo que un sistema de paso total trivial (real) no produce ningún cambio de fase o produce un cambio de fase de 180° para todas las frecuencias. Un sistema de paso total con retardo puro retrasa una señal por una constante positiva dada N; es decir, transforma la entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_{k-{\rm N}} . Como resultado, la función de transferencia de un sistema de paso total con retardo puro es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} P\left(Z\right)=Z^N \mathrm{\;\;\; where\;\; } n>0, \end{align} ()
Entonces la respuesta de frecuencia es
$ {\begin{aligned}P\left(e^{-i\omega \Delta t}\right)=e^{-i\omega \Delta tN}.\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, un sistema de paso total con retardo puro produce un desfase de fase de
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \psi \left(\omega \right)=\Delta tN\omega , \end{align} ()
que es una función lineal de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Un sistema dispersivo de paso total es un sistema ARMAFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(q, \ q\right) de la forma
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{\left(-a^{*}_{1}+Z\right)\left(-a^{*}_{2}+Z\right)\ldots \left(-a^{* }_q+Z\right)}{\left(1-a_{1}Z\right)\left(1-a_{2}Z\right)\ldots \left(1-a_qZ\right)}. \end{align} ()
En otras palabras, un sistema de todo paso tiene una disposición especial de polos y ceros: los polos $ a_{i}^{-1} $ y los ceros Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_{i^{*}} son simétricos con respecto al círculo unitario. Si escribimos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_i = r_i \;\exp \;( - i\vartheta _i ) , entonces el polo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_i^{ - 1} = r_i^{ - 1} \;\exp \;(i\vartheta _i ) y el cero es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_i^* = r_i \;\exp \;(i\vartheta _i ) . Ambos están en la misma línea radial, con el polo fuera del círculo unitario y el cero dentro del círculo unitario.
Por lo tanto, el espectro de frecuencias es el producto de q factores de la forma
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{\left(-a^{*}_i+e^{-i\omega \Delta t}\right)}{(1-a_ie^{-i\omega \Delta t})}. \end{align} ()
El espectro de frecuencias 82 tiene una magnitud de unidad porque el conjugado complejo del numerador es igual a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ exp\ }\left(i\omega \Delta t\right) multiplicado por el denominador. Por lo tanto, el numerador tiene la misma magnitud que el denominador.
Un "sistema de paso total con retardo impuro" nunca se utiliza en aplicaciones de ingeniería, por lo que omitiremos su consideración aquí.
Digamos unas palabras sobre la notación. Usamos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): P\left(Z\right) y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_k como función de transferencia y respuesta al impulso, respectivamente, de un sistema de paso total. Este uso de p debe mantenerse distinto de la constante p que aparece en la designación de un sistema ARMA$ \left(p,\ q\right) $.
El teorema de retardo de grupo (Bode, 1945[1]; Robinson, 1963[2], teorema 5, p. 204) trata del retardo de grupo de un sistema digital de paso total. El retardo de grupo de un sistema digital de paso total no trivial es positivo para todas las frecuencias.
Podemos demostrar el teorema de retardo de grupo de la siguiente manera: a menudo es conveniente cambiar nuestra escala de tiempo de una escala en segundos a una escala en la que el espaciamiento temporal discreto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t es una unidad. Entonces podemos hacer que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t=1 , por lo que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{-i\omega } . La frecuencia de Nyquist se convierte simplemente en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi , y el rango de Nyquist se convierte en $ -\pi \leq \omega \leq \pi $. El sistema de paso total con retardo puro, como hemos visto, tiene un desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(\omega \right)=N\omega donde el retardo de tiempo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): N>0 , por lo que satisface el teorema. El sistema dispersivo de paso total está formado por factores q de la forma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(-a^{*}+Z\right)/\left(1-aZ\right) . En términos de frecuencia, este factor se convierte en
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{-a^{*}+e^{-i\omega }} {1-ae^{-l\omega }}=\frac{-e^{i\omega }a^{* }{\rm +l}}{e^{i\omega }-a}=-a^{*}\frac{e^{i\omega }-a^{*-1}}{e^{i\omega }-a}. \end{align} ()
La constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -a^{*} aumenta el desfase en una constante aditiva, por lo que podemos despreciarla en lo que respecta a esta prueba. El desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi del factor es la diferencia de los ángulos del numerador y el denominador; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \phi {\rm =angle}\left(e^{i\omega }-(a^{*}\right)^{-1})-{\rm angle}\left(e^{i\omega }-a\right). \end{align} ()
En la Figura 10, mostramos el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi para varios puntos en el círculo unitario. Trazamos un período de la función de frecuencia si viajamos en sentido antihorario alrededor del círculo unitario desde el punto A hasta B, C, D, E y de regreso a A. Durante este viaje, vemos que el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi aumenta monótonamente de 0 a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi . Por lo tanto, el factor dado de un sistema dispersivo de paso total produce un aumento en el desfase de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi durante un período completo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Por lo tanto, un sistema dispersivo de paso total de q de tales factores tendría un espectro de desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(\omega \right) que aumenta monótonamente en una cantidad Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi q durante un período completo; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \phi \left(\phi \right)-\psi \left(-\phi \right){\rm 2}\pi q. \end{align} ()
Como el espectro de desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(\omega \right) de un sistema de paso total aumenta de manera monótona, se deduce que su derivada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): d\phi \left(\omega \right)ld\omega es positiva. Esta derivada es el retardo de grupo. Por lo tanto, un sistema de paso total no trivial tiene un retardo de grupo positivo para todas las frecuencias Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega .
Por definición, un sistema de paso total es un sistema causal con la propiedad de que el espectro de magnitud de la señal de salida es el mismo que el espectro de magnitud de la señal de entrada. El "teorema del retardo de energía" (Robinson, 1963, teorema 7, p. 204) establece que un sistema de paso total tiene la propiedad de que la estructura temporal de la energía de salida se retrasa con respecto a la estructura temporal de la energía de entrada. En otras palabras, un sistema de paso total retrasa diferencialmente el retorno de energía al pasar una señal de la entrada a la salida. Un sistema de paso total es comparable a un burócrata que día a día recibe solicitudes escritas en su escritorio y las retiene y luego las pasa en alguna otra orden a un subordinado. Nada en el contenido ha cambiado, pero ciertas solicitudes se retrasan con respecto a otras. En el procesamiento sísmico, un sistema de paso total siempre da problemas.
El teorema de retardo de energía tiene la siguiente formulación formal: Sea una señal causal estable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k la entrada de un sistema digital no trivial de paso total Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): P\left(Z\right) , y sea la señal causal estable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_k la salida resultante. La energía de entrada es mayor o igual que la energía de salida para todos los índices de tiempo n; es decir,
$ {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{u_{k}^{2}}\geq \sum _{k=0}^{n}{y_{k}^{2}}.\end{aligned}} $ ()
La desigualdad estricta (es decir, mayor que) se cumple para algún valor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n\ge 0 . Para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): n=\infty , la igualdad se cumple (es decir, la energía de la entrada es igual a la energía de la salida).
Podemos demostrar el teorema de retardo de energía de la siguiente manera: la igualdad de Bessel da
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{\infty }_{k=0}{y^{2}_k}=\frac{\Delta t}{2\pi }\int\limits^{\pi/\Delta t}_{-\pi/\Delta t}{|}P\left(e^{i\omega \Delta t}\right)U\left(e^{i\omega \Delta t}\right){|}^{2}d\omega . \end{align} ()
Como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): |P\left(e^{i\omega \Delta t}\right){|}^{2}=1 , la ecuación anterior se convierte en
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{\infty }_{k=0}{y^{2}_k}=\frac{\Delta t}{2\pi }\int\limits^{\pi/\Delta t}_{-\pi/\Delta t}{|}U\left(e^{i\omega \Delta {\rm t}} \right){|}^{2}d\omega =\sum^{\infty }_{k=0}{u^{2}_k}, \end{align} ()
que dice que la salida y la entrada tienen la misma energía total. La entrada truncada $ f_{k} $ (para el índice de tiempo n) se define como
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f_k=u_k \mathrm{\;\;\; for\;} k\le n, \;\;\; f_k=0 \mathrm{\;\;\; for\;} k>n. \end{align} ()
En otras palabras, la entrada truncada es el extremo frontal de la señal de entrada. Sea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k la salida del sistema de paso total a la entrada truncada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k . Se pueden hacer inmediatamente dos afirmaciones sobre la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k : (1) debido a que el sistema es de paso total, la energía total de la entrada truncada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k es igual a la energía total de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k ; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^n_{k=0}{u^{2}_k}=\sum^n_{k=0}{f^{2}_k}=\sum^{\infty }_{k=0}{g^{2}_{k}} ; \end{align} ()
y (2) debido a que el sistema es causal, los valores iniciales de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_k y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k son los mismos; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g_k=y_k \mathrm{\;\; for\;} k\le n. \end{align} ()
Juntando estas dos cosas, tenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^n_{k=0}{u^{2}_k}=\sum^{\infty }_{k=0}{g^{2}_k}=\sum^{n}_{k=0}{y^{2}_k}+\sum^{\infty }_{k=n+1}{g^{2}_k}. \end{align} ()
Dado que el sistema de todos los pases no es trivial, se puede demostrar que
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \sum^{\infty }_{k=n+1}{g^{2}_k}>0 \end{align} ()
para algún n. Por lo tanto, se deduce que la energía de entrada de la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k excede la energía de entrada de la señal filtrada por todo paso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_k . En otras palabras, un sistema de todo paso retrasa la energía desde la entrada hasta la salida.
Consideremos un ejemplo numérico. El filtro pasa todo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): P\left(Z\right)=\left(0.5+Z\right)/\left({\rm l\ +0.5}Z\right) , con respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_k (Tabla 1, primera fila debajo de los encabezados de columna). La señal de entrada al filtro pasa todo es la wavelet $ u_{k} $ (Tabla 1, segunda fila) con tres coeficientes. La señal de salida resultante es la wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_k=u_k*p_k (Tabla 1, tercera fila). Para el punto de corte n = 0, la señal de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k (es decir, la entrada de la entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k ) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_0=u_0=-{\rm 0,75,}{\rm y}{{\rm f}}_{{\rm k}}=0 para los demás k (Tabla 1, cuarta fila). En otras palabras, la señal de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k tiene solo un coeficiente distinto de cero, y se produce en el tiempo 0. La salida resultante del sistema de paso total a la señal de entrada es la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k (Tabla 1, quinta fila). Nótese que las entradas de ambas entradas u y f son las mismas (es decir, –0,75), y las entradas de ambas salidas y y g son las mismas (es decir, –0,375).
| Tiempo k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Filtro pasa-todo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_k | 0,500 | 0,750 | -0,375 | 0,188 | -0,094 |
| Señal de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k | -0,750 | 2,750 | 1,000 | 0 | 0 |
| Salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k para la señal de entrada | -0,375 | 0,813 | 2,844 | -0,422 | 0,211 |
| Extremo frontal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k de la señal de entrada | –0,750 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k para el extremo frontal | -0,375 | -0,563 | 0,282 | -0,141 | 0,070 |
| Tiempo k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Parte delantera de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k | –0,375 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| compuerta trasera de $ g_{k} $ | 0 | –0,563 | 0,282 | –0,141 | 0,070 |
| Energía de entrada de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\left(-{ 0,375}\right)}^{2} | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Energía de entrada de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k | 0 | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): ( - 0,563)^2 | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): (0,282)^2 | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): ( - 0,141)^2 | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): (0,070)^2 |
La salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k se divide en dos partes: (1) el extremo delantero (Tabla 2, primera fila debajo de los encabezados de las columnas) y (2) la compuerta trasera (Tabla 2, segunda fila extendida hasta el infinito). La energía del extremo delantero de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k (Tabla 2, tercera fila) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g^{2}_0=y^{2}_0=\left(-{ 0.375}\right){ =0.1406} . La energía de la compuerta trasera de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k es la suma de los cuadrados de sus elementos (Tabla 2, cuarta fila extendida hasta el infinito), que es 0.4219. Como el filtro es un filtro de paso total, la suma de la energía de entrada de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k y la energía de la compuerta trasera de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k , es decir, 0,1406 + 0,4219 = 0,5625, es igual a la energía de entrada de entrada, es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f^{2}_0=u^{2}_0={\left(-{ 0,75}\right)}^{2}{ =0,5625} . Por lo tanto, la energía de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u^{2}_0{ =0,5625} del filtro de paso total supera la energía de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y^{2}_0{ =0,l406} de la salida. Esta demostración se muestra gráficamente en la Figura 11.
El concepto de fase mínima se atribuye a Bode (1945). Sean Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a^{-1}_i los polos y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{-1}_i los ceros de un sistema. Un sistema de fase mínima (o de retardo mínimo) es un sistema causal estable que tiene sus ceros, así como sus polos, fuera del círculo unitario. Es decir, la estabilidad requiere que $ |a_{i}|<1 $, mientras que el retardo mínimo requiere además que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): |b_i|<1 . El teorema de representación canónica (Robinson, 1963, teorema 1, p. 203) puede enunciarse de la siguiente manera:
La señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k es estable y causal si y solo si
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g_k=\sum^{\infty }_{n=0}{f_n}p_{k-n}, \end{align} ()
donde $ f_{k} $ es la señal de retardo mínimo (con el mismo espectro de magnitud que el de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g_k ) y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): p_k es una señal de paso total. En otras palabras, un sistema de retardo mínimo es comparable a un ejecutivo que día a día recibe solicitudes escritas, actúa sobre ellas lo antes posible y pasa inmediatamente los resultados a un burócrata (un sistema de paso total). El burócrata conserva los resultados, no cambia nada y luego los pasa con varios retrasos.
El inverso del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right) se define como el sistema 1/H(Z). Por lo tanto, el inverso del sistema ARMA(p,q) B(Z)/A(Z) es el sistema ARMA(q,p) A(Z)/B(Z). Los polos y ceros del sistema original se convierten, respectivamente, en los ceros y polos del sistema inverso. Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_k es la respuesta al impulso para H(Z), entonces escribimos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h^{-1}_k para la respuesta al impulso para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H^{-1}\left(Z\right)=1/H\left(Z\right) . Sin embargo, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_k^{ - 1} no es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 1/h_k , así como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {{\rm sin}}^{-1}\theta no es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 1/\sin \theta .
Como un sistema AR(p) es un sistema de todos los polos, se deduce que un sistema AR(p) causal estable es necesariamente un sistema de retardo mínimo. El inverso de un sistema AR(p) estable es un sistema MA(p), en el que los polos del sistema AR(p) se convierten en los ceros del sistema MA(p). Por lo tanto, vemos que el inverso de un sistema AR(p) es un sistema MA(p) de retardo mínimo.
En nuestro primer ejemplo, el sistema dado es el sistema causal estable AR(1) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): F\left(Z\right)={\left(1-aZ\right)}^{-1} , donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): |a| < 1 . Tiene la respuesta al impulso causal estable Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k=a^k para k = 0, 1, 2, …. El sistema inverso es el sistema MA(1) de mínimo retardo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): F^{-1}\left(Z\right)=1-aZ , con la respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f^{-1}_k={\delta }_k-a{\delta }_{k-1} .
En un segundo ejemplo, el sistema dado es el sistema ARMA(2,1) de retardo mínimo
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} F\left(Z\right)=\frac{{4}+Z}{\left({2}+Z\right)\left({3}+Z\right)}=\frac{2}{{2}+Z}-\frac{1}{{3}+Z}, \end{align} ()
Por lo tanto, la respuesta al impulso es la señal de retardo mínimo.
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f_k={\left(-\frac{1}{2}\right)}^k-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^k \mathrm{\;\;for\;\;} k=0, 1, 2,\ldots . \end{align} ()
El sistema inverso es el sistema ARMA(1,2) de retardo mínimo
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} F^{-1}\left(Z\right)=\frac{\left({2}+Z\right)\left({3}+Z\right)}{{4}+Z}=1+Z+\frac{2}{{4}+Z}, \end{align} ()
Por lo tanto, la respuesta al impulso del sistema inverso es la señal causal.
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f^{-1}_k={\delta }_k+{\delta }_{k-1}+\frac{1}{2}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^k \mathrm{\;\;for\;\;} k=0, 1, 2,\ldots . \end{align} ()
En conclusión, enunciaremos el «teorema del retardo mínimo (digital)» (Robinson, 1963, teorema 10, pág. 205). Sea la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k una señal causal estable de la clase de todas las señales causales estables con el mismo espectro de magnitud. Entonces, cada una de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k tenga un retardo mínimo:
1) El retardo de grupo de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k es mínimo para todas las frecuencias.
2) La energía del front-end Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \sum\limits_{k = 0}^n {\;f_k^2 } es un máximo para todos los índices de tiempo $ n\geq 0 $.
3) El sistema inverso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f_k^{ - 1} es causal.
Referencia
- ↑ Bode, H. W., 1945, Análisis de redes y diseño de amplificadores de realimentación: Van Nostrand.
- ↑ Robinson, E. A., 1963, Nekotorye svoystva razlozheniya vol’da statsionarnykh sluchaynykh protsessov [Propiedades de la descomposición mundial de procesos estocásticos estacionarios; en ruso]: Teoriya Veroyatnostei i ee Primememiya Akademiya Nauk SSSR, 7, no. 2, 201–211.
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Vínculos externos
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Frequency response of a digital system/es
