Funciones digitales de transferencia

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	15
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

En un punto clave, las convenciones utilizadas en el procesamiento de señales por los geofísicos difieren de las utilizadas por los ingenieros eléctricos. Para empezar, es bueno señalar las diferencias para que la literatura sea más accesible. Los geofísicos y los ingenieros eléctricos tienen diferentes convenciones con respecto a la transformada z. Sea $ h_{0} $, $ h_{1} $, $ h_{2} $, ... la respuesta al impulso de un filtro lineal causal invariante en el tiempo. La transformada z de ingeniería es

$ {\begin{aligned}{H}_{\rm {engineenng}}\left(z\right)=h_{0}+h_{1}z^{-1}+h_{2}z^{-2}+\ldots ,\end{aligned}} $

(24)

Mientras que la transformada geofísica "Z" es

$ {\begin{aligned}H\left(Z\right)=h_{0}+h_{1}Z+h_{1}Z^{2}+\ldots .\end{aligned}} $

(25)

Traducciones:Funciones de transferencia digital/5/es Para distinguir entre ambas, utilizamos una Z mayúscula en la transformada Z de geofísica y una z minúscula en la transformada z de ingeniería. A lo largo de este libro, utilizamos principalmente la transformada Z de geofísica. Las dos transformadas están relacionadas de la siguiente manera: $ Z=z^{-1} $. Mientras que la z de ingeniería representa un operador de avance unitario, la Z de geofísica representa un operador de retardo unitario. La terminología matemática común para la transformada Z de geofísica es función generadora.

La función de transferencia (o función del sistema) de un sistema digital se define como la transformada "Z" de la respuesta al impulso. Si $ h_{k} $ es la respuesta al impulso, la función de transferencia es

$ {\begin{aligned}H\left(Z\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h_{k}}Z^{k}.\end{aligned}} $

(26)

Figure 4.  Región anular de convergencia de una serie de Laurent.

La transformada Z establece una correspondencia entre la señal $ h_{k} $ y la función de transferencia H(Z). Esta expresión para H(Z) tiene la forma de una serie de Laurent (es decir, una serie de potencias que puede involucrar potencias tanto positivas como negativas de Z). Como sabemos por la teoría de funciones, la región de convergencia de la serie de Laurent es una región anular (es decir, una región con forma de anillo) $ r_{1}<|Z|<r_{2} $, cuyo radio interior $ r_{1} $ y radio exterior $ r_{2} $ dependen del comportamiento de la señal como $ k\to -\infty $ y como $ k\to \infty $, respectivamente. Dentro de este anillo, la serie de Laurent no tiene polos ni otras singularidades (Figura 4). La transformada Z dada arriba se llama transformada Z de dos lados porque involucra una señal con valores negativos y positivos del índice de tiempo k.

Las señales causales son cero para valores negativos de "k", y para tales señales, podemos utilizar la "transformada Z unilateral".

$ {\begin{aligned}F\left(Z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{f_{k}}Z^{k}=Z\left(f_{k}\right).\end{aligned}} $

(27)

En este caso, el radio del anillo interior es cero, por lo que la región de convergencia es el interior $ {\rm {|Z|<}}r $ de un círculo. La transformada unilateral Z tiene la forma de una serie que involucra solo potencias no negativas de Z. El símbolo Z denota el parámetro en la transformada Z, mientras que el símbolo Z denota la transformada unilateral Z en sí.

El modelo digital ARMA(p, q)

$ {\begin{aligned}y_{k}+{\alpha }_{1}y_{k-1}+\ldots +{\alpha }_{p}y_{k-p}={\beta }_{0}u_{k}\\+{\beta }_{1}u_{k-1}+\ldots +{\beta }_{q}u_{k-q}\end{aligned}} $

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representa una relación de recursión entre la señal de entrada $ u_{k} $ y la señal de salida $ y_{k} $. Si la señal de entrada es causal, entonces la señal de salida también debe ser causal. Las relaciones de recursión son

$ {\begin{array}{l}y_{o}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{0}u_{0}\;\\y_{1}+\alpha _{1}y_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{0}u_{1}+\beta _{1}u_{0}\\y_{2}+\alpha _{1}y_{1}+\alpha _{2}y_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{0}u_{1}+\beta _{1}u_{0}\\...\\y_{k}+\alpha _{1}y_{k-1}+\alpha _{2}y_{k-2}+...+\alpha _{p}y_{k-p}\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{0}u_{k}+\beta _{1}u_{k-1}+...+\beta _{q}u_{k-q}.\\...\\\end{array}} $

(29)

Dada la señal de entrada, la primera ecuación determina $ y_{0} $. La siguiente ecuación se puede utilizar para encontrar $ y_{1} $. La tercera ecuación se puede resolver para $ y_{2} $. Continuando de esta manera, ecuación por ecuación, podemos encontrar todos los valores de la señal de salida. Recordamos que la respuesta al impulso $ h_{k} $ es la salida resultante de una entrada de pico. Por lo tanto, dejamos que la entrada sea la señal delta de Kronecker $ {\delta }_{k} $. Las relaciones de recursión (en el caso en que p > q) son

$ {\begin{array}{l}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{0}\\h_{1}+\alpha _{1}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{1}\\h_{2}+\alpha _{1}h_{1}\alpha _{2}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{2}\\...\\h_{q}+\alpha _{1}h_{q-1}+...+\alpha _{q}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\beta _{q}\\h_{q+1}+\alpha _{1}h_{q}+...+\alpha _{q}h_{1}+\alpha _{q+1}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\...\\h_{p}+\alpha _{1}h_{p-1}+...+\alpha _{p}h_{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0\\...\\h_{k}+\alpha _{1}h_{k-1}+...+\alpha _{p}h_{k-p}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0\;\;\;{\rm {for}}\;\;k>p.\\\end{array}} $

(30)

Resolviendo ecuación por ecuación, podemos obtener la respuesta al impulso $ h_{k} $.

Alternativamente, multipliquemos la primera ecuación por $ Z^{\rm {0}} $, la segunda por $ Z^{1} $, la tercera por $ {\rm {Z}}^{2} $, y así sucesivamente. Obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} h_0 Z^0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \beta _0 Z^0 \\ h_1 Z^1 + \alpha _0 h_0 Z^1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \beta _1 N^1 \\ h_2 Z^2 + \alpha _1 h_1 Z^2 + \alpha _2 h_0 Z^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \beta _2 Z^2 \\ ... \\ h_q Z^q + \alpha _1 h_{q - 1} Z^q + ... + \alpha _q h_0 Z^q \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \beta _q Z^q \\ h_{q + 1} Z^{q + 1} + \alpha _1 h_q Z^{q + 1} + ... + \alpha _q h_1 Z^{q + 1} + \alpha _{q + 1} h_0 Z^{q + 1} \;\;\;\;\; = 0 \\ ... \\ h_p Z^p + \alpha _1 h_{p - 1} Z^p + ... + \alpha _p h_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 0 \\ ... \\ h_k Z^k + \alpha _1 h_{k - 1} Z^k + ... + \alpha _p h_{k - p} Z^k \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 0\;\;\;{\rm for}\;k > p. \\ \end{array}

(31)

Ahora sumamos estas ecuaciones, columna por columna, para obtener

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)+{\alpha }_{1}ZH\left(Z\right)+{\alpha }_{2}Z^{2}H\left(Z\right)+\ldots +{\alpha }_pZ^pH\left(Z\right)=B\left(Z\right) , \end{align}

(32)

dónde

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\sum^{\infty }_{k=0}{h_k}Z^k,\;\;\;\;\;\;\;\; B\left(Z\right)=\sum^q_{k=0}{{\beta }_k}Z^k. \end{align}

(33)

Reconocemos H(Z) y B(Z) como las transformadas Z de la respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_k y los coeficientes de avance Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\beta }_k , respectivamente. Si factorizamos H(Z), tenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(1+{\alpha }_{1}Z+{\alpha }_{2}Z^{2}+\ldots +{\alpha }_pZ^p\right)H\left(Z\right)=B\left(Z\right) . \end{align}

(34)

Reconocemos la expresión entre paréntesis como la transformada Z A(Z) de los coeficientes de retroalimentación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\alpha }_k ; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} 1+{\alpha }_{1}Z+{\alpha }_{2}Z^{2}+\ldots +{\alpha }_pZ^p=A\left(Z\right) . \end{align}

(35)

Así pues, tenemos

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La función H(Z), que es la transformada Z de la respuesta al impulso, es la función de transferencia. Las transformadas Z A(Z) y B(Z) son polinomios. Podemos escribir H(Z) en forma factorizada como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{{\beta }_0\left(1-b_{1}Z\right)\left(1-b_{2}Z\right).\ldots \left(1-b_qZ\right)}{\left(1-a_{1}Z\right)\left(1-a_{2}Z\right)\ldots \left(1-a_pZ\right)}. \end{align}

(37)

Las constantes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_{{1}^{-1}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_{{2}^{-1}} , ..., Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a_{{{\rm p}}^{-1}} son los polos, y las constantes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{{1}^{-1}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{{2}^{-1}} , ..., $ b_{{\rm {q}}^{-1}} $ son los ceros de H(Z). En el caso en que los coeficientes Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\alpha }_k y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\beta }_k sean reales, todos los valores complejos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): a^{-1}_i y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b^{-1}_i se dan en pares complejos conjugados. Debido a que un sistema AR(p) tiene solo polos, también se lo denomina sistema de todos los polos. De la misma manera, un sistema MA(q) se denomina sistema de todos los ceros.

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Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 15
• Sistemas digitales lineales invariantes en el tiempo
• Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo
• Funciones análogicas de transferencia
• Causalidad y estabilidad de sistemas digitales
• Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos
• Respuesta en frecuencia de un sistema digital
• Predicción digital
• Predicción digital del error
• Predicción analógica del error

Vínculos externos

find literature about Digital transfer functions/es