Predicción analógica del error

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	15
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Puesto que en el caso analógico se da la misma situación que en el caso digital, daremos simplemente ejemplos.

La señal de retardo mínimo

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} f\left(t\right)={2}^{{\rm 1/2}} e^{-{\rm t}} \mathrm \;\;{\rm for} \;\; t\ge 0 \end{align}

(191)

y la señal causal de retardo no mínimo

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} g\left(t\right)={2}^{{\rm l/2}} e^{-t}\left(1-2t\right) \mathrm \;\; {\rm for} \; t\ge 0 \end{align}

(192)

tienen el mismo espectro de magnitud. El filtro de predicción para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon =1 es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} E\left(s\right)=\frac {{\rm L} \left\{f\left(t{\rm +l}\right)\right\}} {{\rm L} \left\{f\left(t\right)\right\}}=e^{-1}. \end{align}

(193)

Recordemos que L denota la transformada de Laplace unilateral (ecuación 39). Primero consideremos la señal de retardo mínimo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f\left(t\right) . La predicción se obtiene multiplicando la señal por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{ - 1} ; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \hat{f}\left(t|\varepsilon \right)=\hat{f}\left(t{\rm |1}\right)=f\left(t\right)e^{-1}={2}^{{\rm l/2}} e^{-t}e^{-1}={2}^{{\rm 1/2}} e^{-\left(t+1\right)} \mathrm \;\; {\rm for} \;\; t\ge 0, \end{align}

(194)

que reproduce exactamente la cola de la señal avanzada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): f\left(t{\rm +\ 1}\right) . Por lo tanto, el error de predicción viene dado por el extremo delantero de la señal avanzada; es decir,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde{f}\left(t|\varepsilon \right)=\tilde{f}\left(t{\rm |1}\right)=f\left(t{\rm +l}\right)={2}^{{\rm 1/}2}e^{-\left(t+1\right)} \mathrm \;\; {for} \; -1\le t<0. \end{align}

(195)

La energía de error de predicción es la energía del extremo frontal.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^0_{-1}{f^{2}} \left(t+1\right)dt=\int\limits^{1}_0{f^{2}}\left(t\right)dt=\int\limits^{1}_0{2}e^{-2t}dt=\int\limits^{2}_0{e^{-{\rm u}}}du=1-e^{-2}. \end{align}

(196)

Consideremos ahora la señal de retardo no mínimo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): g\left(t\right) . La predicción se obtiene nuevamente multiplicando la señal por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{ - 1} ; es decir,

$ {\begin{aligned}{\hat {g}}\left(t|\varepsilon \right)={\hat {g}}\left(t{\rm {|1}}\right)=g\left(t\right)e^{-1}={2}^{\rm {1/2}}e^{-\left(t+1\right)}\left(1-2t\right)\mathrm {\;} \;{\rm {for}}\;t\geq 0.\end{aligned}} $

(197)

Esta predicción no reproduce exactamente el error de cola de la señal avanzada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(t{\rm +\ 1}\right) . Por lo tanto, el error de predicción Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right) está formado por dos componentes. Un componente es el error de entrada

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)=g\left(t{\rm +l}\right)={2}^{{\rm 1/2}} e^{-\left({\rm t+1}\right)}\left[1-2\left(t{\rm +l}\right)\right] \mathrm \;\; {\rm for} \; -1\le t<0, \end{align}

(198)

y el otro componente es el error del portón trasero

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde g(t|1) = g(t + 1) - g(t)e^{ - 1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \;\; = 2^{1/2} e^{ - (t + 1)} [1 - 2(t + 1)] - 2^{1/2} e^{ - (t + 1)} [1 - 2t] \;\;\;\; \\ \;\; = - 2^{3/2} e^{ - (t + 1)} \;\;\;\;{\rm for}\;\;t \ge 0. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \end{align}

(199)

La energía de error del front-end es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^0_{-1}{{\left[\tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)\right]}^{2}} dt=\int\limits^0_{-1}{{\left[g\left(t+1\right)\right]}^{2}}dt=\int^{1}_0{{\left[g\left(t\right)\right]}^{2}}dt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ =\int\limits^{1}_0{2}e^{-2t}{\left(1-2t\right)}^{2}dt=\int\limits^{2}_0{e^{-{\rm u}}}{\left(1-u\right)}^{2}du. \end{align}

(200)

Utilizando tablas de integrales, obtenemos la energía de error inicial como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^0_{-1}{{\left[\tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)\right]}^{2}} dt=1-5e^{-2}. \end{align}

(201)

La energía del error del portón trasero es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^{\infty }_0{{\left[\tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)\right]}^{2}} dt=\int\limits^{\infty }_0{{\rm 8}}e^{-2\left({\rm t+1}\right)dt}{\rm =4}\int\limits^{\infty }_{2}{e^{-u}}du{\rm =4}e^{-2} . \end{align}

(202)

Por lo tanto, la energía total del error de predicción es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^{\infty }_{-1}{{\left[\tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)\right]}^{2}} dt=1-5e^{-2}{\rm +4}e^{-2}=1-e^{-2} , \end{align}

(203)

que es lo mismo que la ecuación 196 para el caso de la señal de retardo mínimo, como era de esperar.

Alternativamente, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \hat{g}\left({\rm t|1}\right) para $ t\geq 0 $ se puede obtener pasando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \hat{f}\left({\rm t|1}\right) a través del sistema de paso total. Porque

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} F\left(s\right)={\rm L}\left\{{2}^{{\rm 1/2}} e^{-t}\right\}={2}^{{\rm 1/2}}{\left(s+1\right)}^{-1} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ G\left(s\right)={\rm L}\left\{{2}^{{\rm 1/2}}e^{-t}\left(1-2t\right)\right\}={2}^{{\rm l/2}}\left(s-1\right){\left(s+1\right)}^{-2} , \end{align}

(204)

El sistema de pases totales es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} P\left(s\right)=G\left(s\right)F^{-1}\left(s\right)=\left(s-1\right){\left(s+1\right)}^{-1}. \end{align}

(205)

Si desarrollamos en fracciones parciales, tenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} P\left(s\right)={\rm l}-2{\left(s{\rm +l}\right)}^{-1} , \end{align}

(206)

Por lo tanto, la respuesta al impulso de paso total es la función causal.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} p\left(t\right)=\delta \left(t\right)-2e^{-t} \mathrm \;\; {\rm for} \; t\ge 0. \end{align}

(207)

Traducciones:Error de predicción analógica/37/es Por lo tanto, la predicción de la señal de retardo no mínimo es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \hat{g}\left(t{\rm |1}\right)=p\left(t\right)*\hat{f}\left(t{\rm |1}\right) \mathrm \;\; {\rm for} \; t\ge 0, \end{align}

(208)

cual es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \hat{g}\left(t{\rm |1}\right)=\left[\delta \left(t\right)-2e^{-t}\right]*\left[{2}^{{\rm 1/2}} e^{-\left(f+1\right)}\right] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ ={2}^{{\rm l/2}}e^{-\left(t{\rm +l}\right)}-{2}^{{\rm 3/2}}{\rm \ }\int^t_0{e^{-\tau }}e^{-t+\tau -1}d\tau \;\;\;\\ ={2}^{{\rm 1/2}}e^{-\left(t{\rm +l}\right)}\left(1-2t\right) \mathrm \; {\rm for} \; t\ge 0. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{align}

(209)

Este es el mismo resultado que obtuvimos antes (ecuación 197).

De la misma manera, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right) se puede obtener pasando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{f}\left(t{\rm |1}\right) por $ p\left(t\right) $. El error Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{f}\left(t{\rm |1}\right) es distinto de cero solo en el rango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\varepsilon \le t<0 , mientras que el error Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right) es distinto de cero en el rango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\varepsilon \le t<\infty . Primero evaluaremos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right) en el subrango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -\varepsilon \le t<0 y luego en el subrango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0 \le t< \infty . Tenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde{g}\left(t{\rm |1}\right)=\tilde{f}\left(t{\rm |l}\right)*p\left(t\right){\rm =\ }\int\limits^t_{-1}{{2}^{{\rm 1/2}} }{\rm \ }e^{-\left(\tau {\rm +l}\right)}\left[\delta \left(t-\tau \right)-2e^{-\left(t\tau \right)}\right]d\tau \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ ={2}^{{\rm 1/2}}e^{-\left(t+1\right)}\left(1-2\right)=-{2}^{{\rm l/2}}e^{-\left(t{\rm +l}\right)} \mathrm \;\; {\rm for} \; -\varepsilon \le t<0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{align}

(210)

Figure 12.  (a) Ondícula de retardo mínimo. (b) Ondícula de retardo no mínimo. La salida deseada (que es la ondícula dada adelantada una unidad de tiempo) se muestra en (c) para la ondícula de retardo mínimo y en (d) para la ondícula de retardo no mínimo. La salida real (que es la ondícula predicha) se muestra en (e) para la ondícula de retardo mínimo y en (f) para la ondícula de retardo no mínimo. El error de predicción se muestra en (g) para la ondícula de retardo mínimo y en (h) para la ondícula de retardo no mínimo. (Nota: Cada curva de la derecha se puede obtener a partir de la curva correspondiente de la izquierda por medio del mismo filtro de paso total.)

mientras

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde g(t|1) = \int\limits_{ - 1}^0 {2^{1/2} e^{ - (\tau + 1)} [\delta (t - \tau ) - 2e^{ - (t - \tau )} ]\;d\tau \;\;\;{\rm for}\;\;{\rm 0}\; \le t < \infty .} \end{align}

(211)

En esta última integral, el pico de la función delta no se encuentra dentro del rango de integración $ -1\leq \tau <0 $, por lo que la contribución resultante de la función delta es cero. Por lo tanto,

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \tilde g(t|1) = \int\limits_{ - 1}^0 {2^{1/2} e^{ - (\tau + 1)} ( - 2)e^{ - (t{\rm - }\tau )} } d\tau = - 2^{3/2} e^{ - (t + 1)} \;\;\;{\rm for}\;{\rm 0} \le {\rm t < }\infty {\rm .} \end{align}

(212)

Vemos que hemos obtenido el mismo error de predicción que antes (ecuación 199).

Los ejemplos que acabamos de tratar se ilustran en la Figura 12, que es similar a las Figuras 9.81 y 9.82 en Robinson (1962). El caso de retardo mínimo está a la izquierda. Observe cómo el sistema de predicción divide claramente la salida deseada (es decir, la entrada avanzada) en dos partes de modo que una parte es el error de predicción (anticausal) y la otra parte es la predicción (causal). El caso de retardo no mínimo está a la derecha. Cada curva de la derecha se puede obtener a partir de la curva correspondiente de la izquierda por medio del filtro de paso total.

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También en este capítulo

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• Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo
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• Funciones análogicas de transferencia
• Causalidad y estabilidad de sistemas digitales
• Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos
• Respuesta en frecuencia de un sistema digital
• Predicción digital
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Vínculos externos

find literature about Analog prediction error/es