Sistemas digitales lineales invariantes en el tiempo
 | |
| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 15 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Una señal de tiempo discreto $ x_{k} $ es una señal de números (reales o complejos) definida para cada entero k. El índice k representa el conjunto de puntos de tiempo discretos, igualmente espaciados. Una señal de tiempo discreto a menudo se denomina señal digital. Es habitual denotar el espaciamiento temporal entre los puntos de tiempo discretos como $ \Delta t $. El tiempo real t está relacionado con el índice k por la ecuación $ t=k\Delta t $. Por lo general, el tiempo se mide en segundos.
Un tipo importante de señal digital es la "función de impulso". La función de impulso discreta $ {\delta }_{k} $ se define como la señal compuesta completamente de ceros excepto por un valor de uno en el índice de tiempo $ k=0 $. Es decir, $ {\delta }_{k} $ viene dada por
$ {\begin{aligned}{\delta }_{k}=1\mathrm {\;\;\;\;for\;\;\;\;} k=0\\{\delta }_{k}=0\mathrm {\;\;\;\;for\;\;\;\;} k\neq 0.\end{aligned}} $ ()
La función impulso $ {\delta }_{k} $ también se denomina función delta de Kronecker. Un nombre más popular para la función delta es pico unitario.
Un sistema digital es un sistema de tiempo discreto que se puede representar mediante una regla que transforma una señal $ u_{k} $ en otra señal $ y_{k} $. La señal $ u_{k} $ se denomina entrada y la señal $ y_{k} $ es la salida. Esta relación se indica mediante la notación
$ {\begin{aligned}y_{k}=S\left(u_{k}\right),\end{aligned}} $ ()
donde S denota el sistema digital. Un sistema L es lineal si
$ {\begin{aligned}L\left(au_{k}+bv_{k}\right)=aL\left(u_{k}\right)+bL\left(v_{k}\right).\end{aligned}} $ ()
para cualesquiera constantes a y b y para cualesquiera señales digitales $ u_{k} $ y $ v_{k} $. En particular, si $ y_{k} $ es la salida de un sistema lineal para la entrada $ u_{k} $, entonces $ ay_{k} $ es la salida para la entrada $ au_{k} $. Es decir, si amplificamos la entrada de un sistema lineal por un factor constante, la salida también se amplifica por este mismo factor constante. Además, si $ y_{k} $ y $ z_{k} $ son las salidas respectivas de un sistema lineal para las entradas $ u_{k} $ y $ v_{k} $, entonces $ y_{k}+z_{k} $ es la salida para la entrada $ u_{k}+v_{k} $. Es decir, si sumamos las entradas de un sistema lineal, también se suman las salidas.
Se dice que un sistema digital $ y_{k}=S\left(u_{k}\right) $ es invariante en el tiempo si $ y_{k-n}=S\left(u_{k-n}\right) $ para cualquier entero n. Es decir, un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida.
Pongamos algunos ejemplos. Empecemos con la línea de retardo $ y_{k}=u_{k-n} $, donde n es una constante. La línea de retardo $ y_{k}=u_{k-n} $ es lineal e invariante en el tiempo. El rectificador $ y_{k}=|u_{k}| $ es no lineal e invariante en el tiempo. El amplificador $ y_{k}=k^{2}u_{k} $ es lineal y varía en el tiempo. Varía en el tiempo porque (1) un cambio en la entrada $ u_{k} $ produce la salida $ L\left(u_{k-n}\right)=k^{2}u_{k-n;}\left(2\right) $ un cambio en la salida $ y_{k}=k^{2}u_{k} $ produce $ y_{k-n}={\left(k-n\right)}^{2}u_{k-n} $; y (3) las dos salidas no son iguales.
Una señal $ u_{k} $ es unilateral, o causal, si $ u_{k}=0 $ para $ k<0 $. Una señal $ u_{k} $ es anticausal si $ u_{k}=0 $ para $ k\geq 0 $. Finalmente, una señal $ u_{k} $ es no causal si tiene un componente anticausal.
Se dice que un sistema es causal si una entrada causal produce una salida causal. Es decir, un sistema causal es un sistema con esta propiedad: si $ u_{k}=0 $ para $ k<0 $, entonces $ y_{k}=0 $ para $ k<0 $. Si el sistema representa un fenómeno físico que opera en tiempo real, entonces el sistema debe ser causal. Sin embargo, si el sistema representa un análisis de registros pasados (como un registro sísmico) de modo que "k" representa el tiempo nominal (es decir, las marcas de tiempo en el registro), entonces el sistema no necesita ser causal.
A linear time-invariant system is characterized by its impulse response. The impulse response $ h_{k} $ is defined as the output resulting from a spike input $ {\delta }_{k} $; that is,
$ {\begin{aligned}h_{k}=L\left({\delta }_{k}\right).\end{aligned}} $ ()
Como el impulso $ {\delta }_{k} $ es causal, vemos que un sistema causal tiene una respuesta al impulso causal, mientras que un sistema no causal tiene una respuesta al impulso no causal. Expresemos ahora, en términos de $ h_{k} $, la salida $ y_{k} $ de un sistema lineal invariante en el tiempo que tiene una entrada arbitraria $ u_{k} $. Debido a la invariancia temporal, la salida resultante de la entrada $ {\delta }_{k-n} $ es $ h_{k-n} $ para cualquier n; es decir,
$ {\begin{aligned}L\left({\delta }_{k-n}\right)=h_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
Debido a la linealidad, la salida resultante de la entrada $ u_{n}{\delta }_{k-n} $ es $ u_{n}h_{k-n} $. La entrada $ u_{k} $ se puede escribir como
$ {\begin{aligned}u_{k}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{u_{n}}{\delta }_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
La salida resultante de esta entrada es
$ {\begin{aligned}y_{k}=L\left(u_{k}\right)=L\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{u_{n}}{\delta }_{k-n}\right)=\sum _{n=-\propto }^{\infty }{u_{n}}L\left({\delta }_{k-n}\right),\end{aligned}} $ ()
cual es
$ {\begin{aligned}y_{k}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{u_{n}}h_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
La expresión de la derecha es una "convolución". Representa la convolución de $ u_{k} $ con $ h_{k} $ y se denota por $ u_{k}*h_{k} $. La convolución es conmutativa, por lo que podemos escribir la relación de entrada-salida como
$ {\begin{aligned}y_{k}=u_{k}*h_{k}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{u_{n}}h_{k-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{h_{n}}u_{k-n}.\end{aligned}} $ ()
La clase más importante de sistemas digitales lineales invariantes en el tiempo es la clase representada por una "ecuación de diferencias finitas" (con coeficientes constantes) de la forma
$ {\begin{aligned}y_{k}+{\alpha }_{1}y_{k-1}+\ldots +{\alpha }_{p}y_{k-p}={\beta }_{0}u_{k}+{\beta }_{1}u_{k-1}+\ldots +{\beta }_{q}y_{k-q}.\end{aligned}} $ ()
Esta ecuación diferencial representa un sistema ARMA(p,q). En el caso de q = 0 y $ \beta _{0}=1 $, se reduce al sistema AR(p)
$ {\begin{aligned}y_{k}+{\alpha }_{1}y_{k-1}+\ldots +{\alpha }_{p}y_{k-p}=u_{k}.\end{aligned}} $ ()
Por otra parte, si p = 0, el sistema ARMA(p,q) se reduce al sistema MA(q)
$ {\begin{aligned}y_{k}={\beta }_{0}u_{k}+{\beta }_{1}u_{k-1}+\ldots +{\beta }_{q}u_{k-q}.\end{aligned}} $ ()
La mayor parte de nuestro trabajo se ocupará de las tres ecuaciones diferenciales 10, 11 y 12. Hagamos ahora algunas observaciones sobre estas tres ecuaciones. En la forma en que están escritas arriba, queremos que el índice k represente el instante presente, por lo que $ u_{k} $ sería la entrada actual y $ y_{k} $ la salida actual. Como resultado, los otros valores de entrada $ u_{k-1} $, $ u_{k-2},\ldots ,u_{k-q} $ representan valores pasados, y los otros valores de salida $ y_{k-1},\;y_{k-2},\;\ldots ,y_{k-p} $ representan valores pasados. Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales anteriores, así interpretadas, involucran solo valores presentes y pasados de la entrada y la salida y ningún valor futuro. Según esta interpretación, los sistemas representados por las ecuaciones 10, 11 y 12 son causales, es decir, pueden implementarse en tiempo real. Conceptualmente, el sistema MA es el más fácil de visualizar.
Ahora queremos introducir el operador Z de desplazamiento hacia atrás (o retardo unitario), que se define como $ Zx_{k}=x_{k-1} $ para cualquier señal $ x_{k} $. En términos del operador de desplazamiento hacia atrás, la ecuación MA(q) es
$ {\begin{aligned}y_{k}={\beta }_{0}u_{k}+{\beta }_{1}Zu_{k}+{\beta }_{2}Z^{2}u_{k}+\ldots +{\beta }_{q}Z^{q}u_{k}\end{aligned}} $ ()
o
$ {\begin{aligned}y_{k=}\left({\beta }_{0}+{\beta }_{1}Z+{\beta }_{2}Z^{2}+\ldots +{\beta }_{q}Z^{q}\right)u_{k}.\end{aligned}} $ ()
En la Figura 1 se muestra un diagrama de este sistema. En dichos diagramas, un punto de ramificación se indica mediante un círculo sólido. En un punto de ramificación, la señal que sale de cada rama es la misma que la señal que entra en el punto de ramificación. Un pequeño círculo abierto representa un punto de suma.
En un punto de suma, todas las señales entrantes se suman para producir la señal saliente.
En la Figura 1, la dirección hacia adelante (es decir, la dirección de entrada a salida) es de izquierda a derecha. Debido a que todas las flechas asociadas con los multiplicadores constantes $ {\beta }_{0},{\beta }_{1} $, $ {\beta }_{2}...,\beta _{q} $ están en la dirección hacia adelante, se ve que un sistema MA es un sistema de retroalimentación. En un sistema de retroalimentación, la salida actual $ y_{k} $ depende de los valores actuales y pasados $ u_{k} $, $ u_{k-1} $, $ u_{k-2} $, ... de la entrada. En el caso de un sistema MA, solo interviene un número finito q de valores pasados.
A continuación, construyamos un diagrama para un sistema AR(p), que podemos escribir como
$ {\begin{array}{l}(1+\alpha _{1}Z+\alpha _{2}Z^{2}+...\\\;\;\;\;+\alpha _{p}Z^{p})y_{k}=u_{k}.\\\end{array}} $ ()
En la Figura 2 se muestra un diagrama de este sistema. Debido a que todas las flechas asociadas con los multiplicadores $ {\alpha }_{1} $, $ {\alpha }_{2},...,p $ están en la dirección hacia atrás, se considera que un sistema AR es un sistema de retroalimentación (puro). En un sistema de retroalimentación, la entrada actual Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): u_k se puede expresar en términos de los valores presentes y pasados Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_k , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_{k-1} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_{k-2} , ... de la salida. En el caso de un sistema AR, solo interviene un número finito p de valores pasados.
Finalmente, construyamos un diagrama del sistema ARMA(p, q)
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \left(1+{\alpha }_{1}Z+{\alpha }_{2}Z^{2}+\dots +{\alpha }_pZ^p\right)y_k=\left({\beta }_0+{\beta }_{1}Z+{\beta }_{2}Z^{2}+\dots +{\beta }_qZ^q\right)u_k. \end{align} ()
Un sistema ARMA(p, q) puede considerarse como la combinación en serie de un sistema AR(p) y un sistema MA(q). En la Figura 3 se muestra un diagrama de un sistema ARMA.
Sigue leyendo
| Sección previa | Siguiente sección |
|---|---|
| Introducción - Capítulo 15 | Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo |
| Capítulo previo | Siguiente capítulo |
| Absorción | nada |
También en este capítulo
- Introducción - Capítulo 15
- Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo
- Funciones digitales de transferencia
- Funciones análogicas de transferencia
- Causalidad y estabilidad de sistemas digitales
- Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos
- Respuesta en frecuencia de un sistema digital
- Predicción digital
- Predicción digital del error
- Predicción analógica del error
Vínculos externos
| find literature about Digital linear time-invariant systems/es |
|
|
|
|
|
|
|