Causalidad y estabilidad de sistemas digitales
 | |
| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 15 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Como hemos visto, la función de transferencia H(Z) es la transformada Z de la señal impulso-respuesta $ h_{k} $. Un sistema causal es aquel para el cual $ h_{k} $ es unilateral; es decir, $ h_{k}=0 $ para $ k<0 $. La razón es que un sistema causal no puede producir una respuesta a la entrada de pico antes de que este ocurra. Debido a que el pico ocurre en el tiempo cero, la respuesta $ h_{k} $ debe ser cero antes del tiempo cero. Ciertamente, todos los sistemas físicos que operan en tiempo real deben ser causales.
Supongamos ahora que tomamos un sistema causal y observamos su señal impulso-respuesta $ h_{k} $ a medida que el índice de tiempo k se hace cada vez más grande. Si la suma infinita
$ {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{|}h_{k}|\end{aligned}} $ ()
es finita, entonces la respuesta al impulso se amortigua con bastante rapidez y decimos que el sistema es estable. Sin embargo, si esta suma infinita diverge, decimos que el sistema es inestable. El problema de modificar los elementos de un sistema inestable para hacerlo estable es uno de los principales problemas de la teoría del control.
Veamos dos ejemplos, que llamaremos Ejemplo A y Ejemplo B. Sea a una constante compleja. En el Ejemplo A, la señal digital causal prototípica es la señal causal dada por la señal geométrica
$ {\begin{aligned}h_{k}=0\mathrm {\;} \;\;\;\;{\rm {for}}\;\;\;\;k=-{\rm {l,}}-{2,}\ldots \\h_{k}=a^{k}\mathrm {\;} \;\;\;{\rm {for}}\;\;\;\;k=0,1,2,\ldots .\end{aligned}} $ ()
Su transformada Z es la serie de potencias
$ {\begin{aligned}H\left(Z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{a^{k}}Z^{k}=\left[1+aZ+{\left(aZ\right)}^{2}+{\left(aZ\right)}^{3}+\dots \right]={\frac {1}{1-aZ}}.\end{aligned}} $ ()
Esta serie de potencias converge para $ |aZ|<1 $, que es $ |Z|<|a{|}^{-1} $. Es decir, la región de convergencia es el interior del círculo de radio $ |a{|}^{-1}. $.
Hay dos casos importantes. El caso A1 es para $ |a|<1 $ (Figura 6a). En tal caso, la región de convergencia incluye el círculo unitario y la señal causal $ h_{k} $ es estable. El caso A2 es para $ |a{\rm {|>}}1 $ (Figura 6b). En ese caso, la región de convergencia no incluye el círculo unitario y la señal causal $ h_{k} $ es inestable.
En el Ejemplo B, la señal digital anticausal prototipo es la señal anticausal dada por la señal geométrica
$ {\begin{aligned}h_{k}=-a^{k}\mathrm {\;\;\;for\;\;\;} k=-{\rm {l,}}-{2,\ldots }\\h_{k}=0\mathrm {\;\;for\;\;\;} k=0,1,2,\ldots .\end{aligned}} $ ()
Su transformada Z es la serie de Laurent que involucra solo potencias negativas de Z dadas por
$ {\begin{aligned}H\left(z\right)=-\sum _{k=-\infty }^{-1}{a^{k}}Z^{k}=-{\left(aZ\right)}^{-1}-{\left(aZ\right)}^{-2}-{\left(aZ\right)}^{-3}-\ldots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-(aZ)^{_{-1}}[1+aZ^{-1}+aZ^{-2}-...]={\frac {-(aZ)^{-1}}{1-(aZ^{-1})}}={\frac {1}{1-aZ}}.\end{aligned}} $ ()
Esta serie de Laurent converge para $ |aZ{\rm {|>}}1 $, que es $ |Z|>|a{|}^{-1} $. Es decir, la región de convergencia es el exterior del círculo de radio $ |a{|}^{-1} $.
Hay dos casos importantes. El caso B1 es para $ |a|<1 $ (Figura 7a). En tal caso, la región de convergencia no incluye el círculo unitario y la señal anticausal $ h_{k} $ es inestable. El caso B2 es para $ |a{\rm {|>}}1 $ (Figura 7b). En ese caso, la región de convergencia incluye el círculo unitario y la señal anticausal $ h_{k} $ es estable.
Los dos ejemplos anteriores muestran que la señal causal dada por la ecuación 50 y la señal anticausal dada por la ecuación 52 tienen la misma expresión, $ {\rm {1/}}\left(1-aZ\right) $, para sus transformadas Z. Sin embargo, las regiones de convergencia son diferentes. La región de convergencia para la señal causal está dentro del círculo de radio $ \left({\rm {1/|}}a|\right) $, y la región de convergencia para la señal anticausal está fuera del círculo de radio $ \left({\rm {1/|}}a|\right) $. Por lo tanto, la especificación completa de la transformada Z requiere dar la región de convergencia así como la expresión algebraica.
Resumamos. Dada la transformada Z $ \left(1{\rm {\ }}-aZ\right) $, donde $ |a|<1 $, tenemos dos opciones. Si elegimos la representación en serie de potencias (ecuación 50), obtenemos la señal causal estable
$ {\begin{aligned}{\rm {\ldots ,0,\ 0,\ 1,\ }}a^{1},\ a^{2},\ a^{3},\ldots ,\end{aligned}} $ ()
donde la entrada 1 ocurre en el índice de tiempo $ k=0 $. Debido a que $ |a|<1 $, esta señal se amortigua geométricamente en la dirección temporal positiva. Por otro lado, si elegimos la representación en serie de Laurent (ecuación 52), obtenemos la señal anticausal inestable
$ {\begin{aligned}...,a^{-3},\ a^{-2},\ a^{-1}{\rm {,\ 0,0,0,0,}}\dots ,\end{aligned}} $ ()
donde el primer 0 ocurre en el índice de tiempo $ k=0 $. Debido a que $ |a|<1 $, las entradas en esta señal crecen geométricamente en la dirección temporal negativa. Por lo tanto, la elección de la serie de Laurent conduce no solo a una señal digital anticausal sino también a una inestable. Claramente, se debe evitar tal elección.
Dada la transformada Z $ \left({\rm {1\ }}-aZ\right) $, donde $ |a{\rm {|>}}1 $, nuevamente tenemos dos opciones. Si elegimos la representación en serie de potencias (ecuación 50), obtenemos la señal causal inestable
$ {\begin{aligned}{\rm {...,\ 0,\ 0,\ 1,\ }}a^{1},\ a^{2},\ a^{3},\ldots ,\end{aligned}} $ ()
donde la entrada 1 ocurre en el índice de tiempo $ k=0 $. Como $ |a{\rm {|>}}1 $, esta señal crece geométricamente en la dirección temporal positiva. Por otro lado, si elegimos la representación en serie de Laurent (ecuación 52), obtenemos la señal anticausal estable
$ {\begin{aligned}...,\ a^{-3},{\rm {\ }}a^{-2},\ a^{-1}{\rm {,0,\ 0,\ 0,\ 0,}}\ldots ,\end{aligned}} $ ()
donde el primer 0 ocurre en el índice de tiempo $ k=0 $. Debido a que $ |a{\rm {|>}}1 $, esta señal se amortigua geométricamente en la dirección del tiempo negativo. Por lo tanto, no tenemos una elección clara, como la que teníamos cuando $ |a|<1 $. No podemos tener causalidad y estabilidad; debemos elegir una u otra. La elección habitual es la ecuación 56, que nos da estabilidad a expensas de la causalidad.
Ahora deseamos presentar el método de fracciones parciales para encontrar la respuesta al impulso de un sistema ARMAFailed to parse (syntax error): \left(p, \ q\right)</m {{NumBlk|:|<math>\begin{align} H\left(Z\right)=\frac{{\beta }_0+{\beta }_{1}Z+{\beta }_{2}Z^{2}+\ldots +{\beta }_qZ^q}{1+{\alpha }_{1}Z^{1}+{\alpha }_{2}Z^{2}{\rm +\ldots+}{\alpha }_pZ^P}=\frac{{\beta }_0\left(1-b_{1}Z\right)\left(1-b_{2}Z\right)\ldots \left(1-b_qZ\right)}{\left(1-a_{1}Z\right)\left(1-a_{2}Z\right)\ldots \left(1-a_pZ\right)}. \end{align} |}}
La expresión de la derecha es la forma factorizada de la función de transferencia. Los $ a_{i}^{-1} $ son sus polos y los $ b_{i}^{-1} $ son sus ceros. Para simplificar la presentación, supondremos que $ p>q $, de modo que $ H\left(Z\right) $ es una fracción propia en Z. Además, supondremos que todos los polos $ a_{1}^{-1} $, $ a_{2}^{-1} $,..., $ a_{p}^{-1} $ son simples. Ahora escribimos $ H\left(Z\right) $ como la suma de fracciones parciales.
$ {\begin{aligned}H\left(Z\right)=\sum _{i=1}^{p}{\frac {{\rm {A}}_{i}}{1-a_{i}Z}}.\end{aligned}} $ ()
Las constantes $ A_{i} $ se determinan mediante la ecuación
$ {\begin{aligned}A_{i}=\left(1-a_{i}Z\right)H\left(Z\right){|}_{Z=a_{i}^{-1}}.\end{aligned}} $ ()
Ahora dividimos los polos en dos conjuntos: aquellos con magnitud mayor que uno, que designamos como $ a_{1}^{-1} $, $ a_{2}^{-1} $, $ \ldots $, $ a_{r}^{-1} $ y aquellos con magnitud menor que uno, que designamos como $ a_{r+{1}^{-1}} $, $ a_{r+{2}^{-1}} $, $ \ldots $, $ a_{p^{-1}} $. Para el primer conjunto, elegimos las regiones $ |Z|<|a_{i}^{-1}| $ como las regiones de convergencia. Para el segundo conjunto, elegimos las regiones $ |Z|>|a_{i}^{-1}| $ como regiones de convergencia. Por lo tanto, todas las regiones incluyen el círculo unitario. De ello se deduce que la respuesta al impulso estable es la señal bilateral dada por
$ {\begin{aligned}h_{k}=A_{1}a_{1}^{k}+A_{2}a_{2}^{k}+\ldots +A_{r}a_{r}^{k}\mathrm {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;for\;\;\;\;\;\;} k=-1,-2,...\;\;\;\;\\h_{k}=-A_{r+1}a_{r+1}^{k}-A_{r+2}a_{r+1}^{k}-\ldots -A_{p}a_{p}^{k}\mathrm {\;\;\;\;\;\;for\;\;\;\;\;} k=0,1,2,....\end{aligned}} $ ()
A menos que se indique lo contrario, se supone que un sistema ARMA$ \left(p,\ q\right) $ es estable y causal. La expresión anterior para la respuesta al impulso muestra que el sistema es causal si y solo si el conjunto de polos de magnitud menor que uno está vacío. Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente teorema: Todos los polos $ a_{1}^{-1} $, $ a_{2}^{-1} $,..., $ a_{p}^{-1} $ de un sistema ARMA$ \left({\rm {p,\ }}q\right) $ digital causal estable $ H\left(z\right) $ tienen magnitud mayor que uno. En el caso en el que $ p>q $ y en el que los polos son distintos, la respuesta al impulso causal estable tiene la forma
$ {\begin{aligned}h_{k}=A_{1}a_{1}^{k}+A_{2}a_{2}^{k}+\ldots -+A_{p}a_{p}^{k}\mathrm {\;\;\;for\;\;\;} k=0,1,2,\ldots ,\end{aligned}} $ ()
donde los coeficientes se dan en la ecuación 59.
Sigue leyendo
| Sección previa | Siguiente sección |
|---|---|
| Funciones análogicas de transferencia | Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos |
| Capítulo previo | Siguiente capítulo |
| Absorción | nada |
También en este capítulo
- Introducción - Capítulo 15
- Sistemas digitales lineales invariantes en el tiempo
- Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo
- Funciones digitales de transferencia
- Funciones análogicas de transferencia
- Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos
- Respuesta en frecuencia de un sistema digital
- Predicción digital
- Predicción digital del error
- Predicción analógica del error
Vínculos externos
| find literature about Causality and stability of digital systems/es |
|
|
|
|
|
|
|