Sistemas analógicos lineales invariantes en el tiempo

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	15
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Una señal de tiempo continuo f(t) es una función (real o compleja) que se define para cada número real t. El número t representa el tiempo continuo. Una señal de tiempo continuo también se denomina señal analógica. Un tipo importante de señal analógica es la función impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) . Esta función desempeña el mismo papel que la función impulso discreta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\delta }_k , pero no es tan fácil de definir. La función impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) , que también se conoce como función delta de Dirac, puede considerarse una función generalizada. Una función generalizada no puede definirse como una entidad aislada, sino que debe verse como el límite de una familia de funciones. Cualquier familia de funciones Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\delta }_{\varepsilon }\left(t\right) con las siguientes propiedades se puede utilizar para definir la función delta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) . Aquí, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varepsilon es un parámetro que caracteriza a las funciones Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\delta }_{\varepsilon }\left(t\right) . Las propiedades son

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^{\infty }_{-\infty }{{\delta }_{\varepsilon }} \left(t\right)dt{=1,\ }{\mathop{\lim }_{\varepsilon\rightarrow\infty} \ } \int\limits^{-\infty }_{\infty }{{\delta }_{\varepsilon }}\left(t\right)f\left(t\right)dt=f\left(0\right) , \end{align}

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donde f(t) es cualquier función que sea continua en el origen t = 0. Como resultado, podemos interpretar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) como una función que satisface la identidad

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \int\limits^{\infty }_{-\infty }{\delta }\left(t\right)f\left(t\right)dt=f\left(0\right) . \end{align}

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Todas las propiedades formales de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) se pueden obtener de esta identidad.

Un sistema analógico es un sistema de tiempo continuo que se puede representar mediante una regla que transforma una señal analógica u(t) en otra señal analógica y(t). La señal u(t) se denomina entrada y la señal y(t) se denomina salida. Esta relación de entrada-salida se muestra mediante

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y\left(t\right)=S\left(u\left(t\right)\right) , \end{align}

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donde S denota el sistema analógico. Un sistema L es lineal si

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} L\left(au\left(t\right)+bv\left(t\right)\right)=aL\left(u\left(t\right)\right)+bL\left(v\left(t\right)\right) \end{align}

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para cualquier constante a y b y para cualquier señal u(t) y v(t). Un sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y\left(t\right)=S\left(u\left(t\right)\right) es invariante en el tiempo si

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y\left(t-t_0\right)=S\left(u\left(t-t_0\right)\right) \end{align}

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para cualquier tiempo real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t_0. .

Veamos ahora algunos ejemplos. La línea de retardo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y\left(t\right)=u\left(t-a\right) , donde el retardo a es constante, es lineal e invariante en el tiempo. El rectificador Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y\left(t\right)=|u\left(t\right)| es no lineal e invariante en el tiempo. El amplificador Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y\left(t\right)=t^{2}u\left(t\right) es lineal y variable en el tiempo.

Se dice que una señal analógica es causal si la señal desaparece en el tiempo $ t<0 $ o anticausal si la señal desaparece en el tiempo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t\ge 0 . Una señal no causal es aquella que tiene un componente anticausal. Un sistema analógico es causal si una entrada causal produce una salida causal. Todos los sistemas físicos en tiempo real son causales porque no pueden responder a ninguna entrada que aún no haya ocurrido. De ahora en adelante, nos ocuparemos de sistemas lineales invariantes en el tiempo. En general, nos referiremos a un sistema causal a menos que especifiquemos lo contrario.

La función impulso-respuesta representa una caracterización importante de un sistema lineal invariante en el tiempo. La respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h\left(t\right) se define como la salida del sistema a una entrada de función delta de Dirac Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \delta \left(t\right) ; es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h\left(t\right)=L\left(\delta \left(t\right)\right) . Como consideramos la función delta de Dirac como una señal causal, vemos que podemos distinguir un sistema causal de un sistema no causal por la respuesta al impulso. Es decir, un sistema es causal si y solo si h(t) es unilateral (o causal).

Al igual que en el caso de los sistemas digitales, la relación entrada-salida de un sistema analógico se realiza mediante la operación de convolución. Sin embargo, ahora la convolución es una integral. Si u(t) es la entrada de un filtro analógico con respuesta al impulso h(t), la salida viene dada por la integral de convolución.

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y\left(t\right)=u\left(t\right)*h\left(t\right)=\int\limits^{\infty }_{-\infty }{u}\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =\int\limits^{\infty }_{-\infty }{h}\left(\tau \right)u\left(t-\tau \right)d\tau . \end{align}

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La clase más importante de sistemas analógicos lineales e invariantes en el tiempo es la clase de sistemas ARMA(p,q). Un sistema de este tipo se da mediante una ecuación diferencial (con coeficientes constantes) de la forma

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y^{\left(p\right)}+{\alpha }_{1}y^{\left(p-1\right)}+\ldots +{\alpha }_py={\beta }_0u^{\left(q\right)}+{\beta }_{1}u^{\left(q-1\right)}+\ldots +{\beta }_qu. \end{align}

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Aquí, los superíndices entre paréntesis representan derivadas temporales; por ejemplo, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y^{\left(n\right)}=d^ny/dt^n . Si q = 0, el sistema se reduce a un sistema AR(p). Por otro lado, si p = 0, el sistema se reduce a un sistema MA(q).

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Absorción	nada
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Introducción - Capítulo 15
• Sistemas digitales lineales invariantes en el tiempo
• Funciones digitales de transferencia
• Funciones análogicas de transferencia
• Causalidad y estabilidad de sistemas digitales
• Causalidad y estabilidad de sistemas analógicos
• Respuesta en frecuencia de un sistema digital
• Predicción digital
• Predicción digital del error
• Predicción analógica del error

Vínculos externos

find literature about Analog linear time-invariant systems/es