Filtros error-predicción
 | |
| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 11 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
La piedra sin labrar y fría se convierte en un molde viviente, cuanto más se desgasta el mármol más crece la estatua. —Miguel Ángel
Sea $ k=\left(k_{0}{,\ }k_{\rm {1}}{,\ }\dots {\ ,\ }k_{N-{\rm {1}}}\right) $ el filtro de predicción de mínimos cuadrados para la distancia de predicción $ \alpha $ El filtro de error de predicción resulta directamente del filtro de predicción. Como vimos en la ecuación 12 del Capítulo 10, el filtro de error de predicción es $ f={1},0,0,...,0,-k_{0},-k_{\rm {1}},-k_{N-1} $. El operador de error de predicción tiene $ \alpha -{\rm {1}} $ ceros que se encuentran entre el coeficiente principal, que es 1, y los coeficientes negativos del filtro de predicción. Estos $ \alpha -1 $ ceros constituyen el "espacio".
Comencemos examinando un filtro de error de predicción, que en realidad es un filtro de deconvolución. La serie de error de predicción asociada es la señal deconvolucionada. (Véase el Apéndice K, ejercicio 34, al final de este capítulo para una descripción más detallada del filtro de predicción y del filtro de error de predicción). Un filtro de error de predicción debe ser causal. Una señal deconvolucionada con éxito muestra una resolución sísmica mejorada y proporciona una estimación de la serie de reflectividad. Dependiendo de una distancia de predicción $ \alpha $ especificada, distinguimos entre dos tipos de deconvolución predictiva: (1) deconvolución de picos, para la que la distancia de predicción es igual a una unidad de tiempo, y (2) deconvolución de brecha, para la que la distancia de predicción es mayor que una unidad de tiempo.
Sea $ B\left(Z\right) $ la transformada Z de una ondícula de fase mínima b. Entonces $ A\left(Z\right)=1/B\left(Z\right) $ es la transformada Z de la ondícula inversa $ a=b^{-{\rm {1}}} $. Para la distancia de predicción $ \alpha $, la cabeza de b es $ h=\left(b_{0}{,\ }b_{1}{,\ }b_{\alpha -1}\right) $ y la cola es $ t=\left(b_{\alpha }{,\ }b_{\alpha +1}{,\ }\dots \right) $. Tanto para la cabeza como para la cola, el primer coeficiente se encuentra en el tiempo 0. Por lo tanto, la ondícula se obtiene mediante $ b=h+{\delta }_{\alpha }*t $, donde $ {\delta }_{\alpha } $ da un retardo puro de $ \alpha $ unidades de tiempo. En términos de transformadas Z, esta ecuación es $ B=H+Z^{\alpha }T $.
La salida deseada del operador de predicción es la cola. Por lo tanto, el operador de predicción teórico k se define mediante la ecuación $ k*b=t $. En términos de transformadas Z, esta ecuación es $ K\left(Z\right)B\left(Z\right)=T\left(Z\right) $. Al resolver el operador de predicción teórico, obtenemos $ K\left(Z\right)=A\left(Z\right)T\left(Z\right) $, lo que da $ k=a*t $.
La salida deseada del operador de error de predicción es la cabeza. Por lo tanto, el operador de error de predicción teórico f se define mediante la ecuación $ f*b=h $. En términos de transformadas Z, esta ecuación es $ F\left(Z\right)B\left(Z\right)=H\left(Z\right) $. De lo anterior, sabemos que $ B=H+Z^{\alpha }T $, por lo que $ H=B-Z^{\alpha }T $.
Por lo tanto, $ FB=B-Z^{\alpha }T $, por lo que $ F=1-Z^{\alpha }TA $. Como $ TA=K $, vemos que la transformada Z del operador de error de predicción está dada por $ F\left(Z\right)=1-Z^{\alpha }K\left(Z\right) $, lo que da $ f={\delta }_{0}-{\delta }_{\alpha }*k. $.
Comparemos los operadores de predicción para dos casos. En el primer caso (Figura 1), la ondícula de entrada b tiene un retardo mínimo. En el segundo caso (Figura 2), la ondícula de entrada c no tiene un retardo mínimo. Más específicamente, la ondícula sin retardo mínimo es $ c=p*b $, donde p es un filtro de paso total.
En ambas figuras, la distancia de predicción es cinco. En el primer caso, la entrada con retardo mínimo es una ondícula que decae geométricamente, mientras que en el segundo caso, la entrada con retardo no mínimo es una ondícula que crece geométricamente. Las ondículas de entrada en ambas figuras tienen la misma autocorrelación. Como resultado, el filtro de predicción de mínimos cuadrados es el mismo para ambas ondículas. Además, el filtro de error de predicción es el mismo para ambas ondículas.
Los errores de predicción en los dos casos son bastante diferentes. La predicción en el caso de retraso mínimo es casi perfecta. (Obsérvese que la predicción sería perfecta si el operador fuera infinitamente largo). La diferencia entre el resultado deseado y la predicción está casi enteramente en el rango inalcanzable, que ocurre antes del inicio de la ondícula. En este caso, la diferencia es esencialmente la carga avanzada de la ondícula de fase mínima, donde el avance es igual a la distancia de predicción. La carga es sustancial porque una ondícula de fase mínima tiene la mayor parte de la energía al frente.
La salida de un filtro de error de predicción es la diferencia retrasada por la distancia de predicción. Sin embargo, la predicción en el caso de retraso no mínimo es deficiente, por lo que la diferencia entre la salida deseada y la predicción se distribuye en el rango inalcanzable, que ocurre antes del inicio de la ondícula, y en el rango alcanzable, que ocurre después del inicio de la ondícula. Este error inalcanzable es la carga avanzada de la ondícula de fase máxima. La carga no es sustancial porque una ondícula de retraso no mínimo tiene su energía concentrada en la parte posterior. Por lo tanto, la mayor parte del error está en el rango alcanzable, exactamente donde no queremos que esté.
Pongamos como ejemplo un caso en el que la ondícula de entrada es una ondícula de retardo mínimo. En cualquier problema de deconvolución, lo primero que hay que hacer es calcular el filtro de error de predicción de distancia unitaria (es decir, el filtro de picos normalizado). La inversa del filtro de picos normalizado proporciona la ondícula de retardo mínimo. La figura 3a (izquierda) muestra la entrada de retardo mínimo y la figura 3a (derecha) muestra la salida deseada para el caso de la distancia de predicción unitaria. Esta salida deseada es la ondícula avanzada una unidad de tiempo hacia la izquierda, es decir, el primer coeficiente distinto de cero de la salida deseada se produce en el tiempo negativo n = –1. La figura 3b (izquierda) muestra el filtro de predicción de distancia unitaria y la figura 3b (derecha) muestra la predicción. Nótese que los valores para los tiempos no negativos concuerdan bien con la salida deseada. Por otra parte, los valores de la salida deseada para tiempos negativos no pueden ser alcanzados por el filtro. Estos valores dan el llamado error de predicción inalcanzable, que para el caso de la distancia de predicción unitaria es simplemente un pico. La Figura 3c (izquierda) muestra el "filtro de error de predicción" de distancia unitaria, y la Figura 3c (derecha) muestra la "diferencia" entre la salida deseada y la predicción. La salida del filtro de error de predicción es esta diferencia retrasada por una unidad de tiempo (es decir, por la distancia de predicción).
Ahora, demos un ejemplo de un caso en el que la ondícula de entrada es una ondícula de retardo mixto. La figura 4a (izquierda) muestra una entrada de retardo no mínimo con la misma autocorrelación que la de la ondícula de entrada de retardo mínimo de la figura 3a (izquierda). Esta ondícula de entrada de retardo no mínimo se obtiene al pasar la ondícula de retardo mínimo por un filtro de paso total. Procedemos como antes. La figura 4a (derecha) muestra la salida deseada para la unidad distancia de predicción. Esta salida deseada es la ondícula avanzada una unidad de tiempo hacia la izquierda, es decir, el primer coeficiente distinto de cero de la salida deseada ocurre en el tiempo negativo $ n=-1 $. La figura 4b (izquierda) muestra el filtro de predicción de distancia unitaria, que es el mismo que el de la figura 3b (izquierda). La figura 4b (derecha) muestra la predicción. Ahora, sin embargo, observamos que los valores para tiempos no negativos ya no coinciden con la salida deseada, como era el caso para la entrada de retardo mínimo. Por otro lado, el filtro no puede alcanzar los valores de la salida deseada para tiempos negativos. Estos valores dan el llamado error de predicción inalcanzable, que para el caso de la distancia de predicción unitaria es simplemente un pico. La Figura 4c (izquierda) muestra el filtro de error de predicción, que es el mismo que el de la Figura 3c (izquierda). La Figura 4c (derecha) muestra la "diferencia" entre la salida deseada y la predicción. La salida del filtro de error de predicción es esta diferencia retrasada por una unidad de tiempo (es decir, por la distancia de predicción).
Al comparar la Figura 3 con la Figura 4, vemos que los filtros de predicción son idénticos, al igual que los filtros de error de predicción. Recordemos que la wavelet de retardo mixto en la Figura 4a (izquierda) se obtiene al pasar la wavelet de retardo mínimo en la Figura 3a (izquierda) a través de un filtro de paso total. De ello se deduce que la predicción en la Figura 4b (derecha) se obtiene al pasar la predicción en la Figura 3b (derecha) a través del mismo filtro de paso total. Además, la diferencia en la Figura 4c (derecha) se obtiene al pasar la diferencia en la Figura 3c (derecha) a través del mismo filtro de paso total.
Cuando se utiliza un operador de picos para deconvolucionar una traza sísmica generada por la convolución de la ondícula de retardo mínimo con una reflectividad blanca, la traza deconvolucionada es la reflectividad. Cuando se utiliza un operador de picos para deconvolucionar una traza sísmica generada por la convolución de la ondícula de retardo mixto con una reflectividad blanca, la traza deconvolucionada no es la reflectividad sino la convolución de la reflectividad con el filtro de paso total.
Ahora damos un ejemplo de deconvolución predictiva para una distancia de predicción de dos. La figura 5a (izquierda) muestra la entrada de retardo mínimo, y la figura 5a (derecha) muestra la salida deseada para una distancia de predicción de dos. Esta salida deseada es la wavelet adelantada dos unidades de tiempo hacia la izquierda, es decir, el primer coeficiente distinto de cero de la salida deseada ocurre en el tiempo negativo $ n=-2 $. La figura 5b (izquierda) muestra el filtro de predicción de dos distancias, y la figura 5b (derecha) muestra la predicción. Nótese que los valores para tiempos no negativos concuerdan bien con la salida deseada. Por otro lado, el filtro no puede alcanzar valores de la salida deseada para tiempos negativos. Estos valores dan el llamado error de predicción inalcanzable, que para el caso de la distancia de predicción dos son simplemente dos picos. La figura 5c (izquierda) muestra el filtro de predicción de error por unidad de distancia, y la figura 5c (derecha) muestra la diferencia entre el resultado deseado y la predicción. El resultado del filtro de predicción de error es esta diferencia retrasada por dos unidades de tiempo (es decir, por la distancia de predicción).
La figura 6a (izquierda) muestra una wavelet de retardo mixto con la misma autocorrelación que la wavelet de retardo mínimo de la figura 5a (izquierda). Esta wavelet de retardo mixto se obtiene a partir de la wavelet de retardo mínimo al pasar la wavelet de retardo mínimo a través de un filtro de paso total. Procedemos como antes. La figura 6a (derecha) muestra la "salida deseada" para una distancia de predicción de dos. Esta salida deseada es la wavelet avanzada dos unidades de tiempo hacia la izquierda, es decir, el primer coeficiente distinto de cero de la salida deseada ocurre en el tiempo negativo $ n=-2 $. La figura 6b (izquierda) muestra el filtro de predicción de distancia unitaria, que es el mismo que el de la figura 5b (izquierda). La figura 6b (derecha) muestra la predicción. Ahora, sin embargo, observamos que los valores para tiempos no negativos ya no coinciden con la salida deseada, como era el caso para la entrada de retardo mínimo. Por otra parte, el filtro no puede alcanzar los valores de la salida deseada para tiempos negativos. Estos valores dan lugar al llamado error de predicción inalcanzable, que para el caso de la distancia de predicción dos son simplemente dos picos. La figura 6c (izquierda) muestra el filtro de error de predicción, que es el mismo que el de la figura 5c (izquierda). La figura 6c (derecha) muestra la diferencia entre la salida deseada y la predicción. La salida del filtro de error de predicción es esta diferencia retrasada por dos unidades de tiempo (es decir, por la distancia de predicción).
Al comparar la Figura 5 con la Figura 6, vemos que los filtros de predicción son idénticos, al igual que los filtros de error de predicción. Recordemos que la wavelet de día mixto de la Figura 6a (izquierda) se obtiene al pasar la wavelet de retardo mínimo de la Figura 5a (izquierda) a través de un filtro de paso total. De ello se deduce que la predicción de la Figura 6b (derecha) se obtiene al pasar la predicción de la Figura 5b (derecha) a través del mismo filtro de paso total. Además, la diferencia de la Figura 6c (derecha) se obtiene al pasar la diferencia de la Figura 5c (derecha) a través del mismo filtro de paso total.
Sigue leyendo
| Sección previa | Siguiente sección |
|---|---|
| nada | Reverberaciones en agua |
| Capítulo previo | Siguiente capítulo |
| Deconvolución | Atributos |
También en este capítulo
- Reverberaciones en agua
- Deconvolución Gap de un ondícula de retardo mixto
- Preblanqueo
- Distancia de predicción
- Deconvolución predictiva de un modelo guiado
- Modelo convolucional en el dominio de las frecuencias
- Blanqueo espectral variable en tiempo
- Deconvolución basada en modelos
- Deconvolución consiste en superficie
- Procesamiento digital itneractivo
- Apéndice K: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Prediction-error filters/es |
|
|
|
|
|
|
|