Espectro de fase minima
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 6 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
En la sección anterior vimos que la función de transferencia de un filtro digital se puede expresar de manera conveniente en términos de un espectro de magnitud $ {|}B\left(f\right){|} $ y un espectro de desfase $ \varphi \left(f\right) $. Es mucho más fácil visualizar el significado físico del espectro de magnitud de un filtro que comprender el espectro de fase correspondiente. Por lo tanto, algunas personas tienden a descuidar los espectros de fase de los filtros cuando resuelven problemas reales. Sin embargo, resulta que los espectros de fase son fundamentalmente importantes para clasificar filtros con características de amplitud idénticas.
Este hecho se puede ilustrar mejor con un ejemplo sencillo. Consideremos dos filtros FIR causales, uno con una transformada "Z"
$ {\begin{aligned}F\left(Z\right)=l+0.5Z\end{aligned}} $ ()
y el otro con una transformada Z
$ {\begin{aligned}G\left(Z\right)=0.5+Z.\end{aligned}} $ ()
En otras palabras, los coeficientes de ponderación del filtro F(Z) son (1, 0,5), mientras que los coeficientes de ponderación del filtro G(Z) son (0,5, 1). Recordemos que el espectro de magnitudes del filtro $ b_{0}+b_{1}Z $ es
$ {\begin{aligned}{|}B\left(f\right){|=}{\sqrt {b_{0}^{2}+2b_{0}b_{1}{\rm {\ cos\ 2}}\pi f\Delta t+b_{1}^{2}}}.\end{aligned}} $ ()
Al establecer $ b_{0}=1 $ y $ b_{\rm {l}}=0,5 $ en esta fórmula, encontramos que el espectro de magnitud $ B_{F}\left(f\right) $ del filtro F(Z) es
$ {\begin{aligned}{|}B_{F}\left(f\right){|=}{\sqrt {{\rm {l+\ co}}{\rm {s\ 2}}\pi f\Delta t+0.25}}={\sqrt {{125+\ cos\ 2}\pi f\Delta t}}.\end{aligned}} $ ()
Al establecer $ b_{0}={0.5} $ y $ b_{\rm {l}}={1} $, encontramos que el espectro de magnitud $ B_{G}\left(f\right) $ del filtro G(Z) es
$ {\begin{aligned}{|}B_{G}\left(f\right){|=}{\sqrt {{\rm {025+\ cos\ 2}}\pi f\Delta t+{\rm {l}}}}={\sqrt {{\rm {l25+\ cos\ 2}}\pi f\Delta t}},\end{aligned}} $ ()
que es lo mismo que la expresión 27 para $ {|}B_{F}(f){|} $. Por lo tanto, los dos filtros tienen el mismo espectro de magnitud.
Ahora surge la pregunta: ¿Cuál es la relación entre los espectros de fase de los dos filtros F(Z) y G(Z)? Recordemos que el espe
$ {\begin{aligned}\varphi \left(f\right)={\rm {tan}}^{-{1}}\left[{\frac {b_{1}{\rm {\ sin\ 2}}\pi f\Delta t}{b_{0}+b_{1}{\rm {\ cos\ 2}}\pi f\Delta t}}\right].\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, para el filtro F(Z), tenemos, con $ b_{0}={1} $ y $ b_{1}=0.5 $,
$ {\begin{aligned}{\varphi }_{F}\left(f\right)={\rm {tan}}^{-{1}}\left[{\frac {{\rm {0.5.\ sin\ 2}}\pi f\Delta t}{{1+05\ cos\ 2}\pi f\Delta t}}\right].\end{aligned}} $ ()
Por otra parte, dejando $ b_{0}=0.5 $ y $ b_{1}={1} $, tenemos para el filtro G(Z)
$ {\begin{aligned}{\varphi }_{G}\left(f\right)={\rm {tan}}^{-{l}}\left[{\frac {{\rm {\ sin\ 2}}\pi f\Delta t}{{\rm {0.5+\ cos\ 2}}\pi f\Delta t}}\right].\end{aligned}} $ ()
En resumen, los filtros "F" y "G" tienen los mismos espectros de magnitud pero diferentes espectros de fase. Los espectros de fase de los dos filtros se representan en las figuras 7a y 7b, respectivamente.
Para una señal real, el espectro de fase es una función impar de la frecuencia "f" (es decir, el espectro de fase es antisimétrico respecto del origen del eje de frecuencia). Como resultado, tenemos que representar gráficamente solo $ \varphi _{F}(f) $ y $ \varphi _{G}(f) $ para las frecuencias positivas "f". Dibujemos ambas curvas de fase en el mismo gráfico, como lo hacemos en la Figura 7c.
Vemos que el espectro de fase $ \varphi _{F}(f) $ se encuentra por debajo del espectro de fase $ \varphi _{G}(f) $. Podemos afirmar ahora que el filtro F(Z) tiene un espectro de fase que es menor que el espectro de fase del filtro G(Z) para el rango de frecuencias positivas. En f = 0, los espectros de fase de ambos filtros son cero.
Limitémonos a los coeficientes de ponderación reales y consideremos únicamente los filtros digitales causales, para los cuales la salida nunca puede preceder a la entrada en el tiempo. Vemos entonces que el par de filtros FIR causales F(Z) y G(Z) representa un conjunto de filtros causales digitales, cada uno de los cuales tiene el mismo espectro de amplitud. Este conjunto de filtros causales es exhaustivo en el sentido de que los dos coeficientes de ponderación reales 1 y 0,5 pueden aparecer únicamente en la secuencia (1, 0,5) o en la secuencia (0,5, 1). Ahora podemos decir que el filtro F(Z) tiene el espectro de fase mínima del conjunto de filtros {F(Z), G(Z)}.
El concepto de filtros de fase mínima es bastante general y se puede extender a otros conjuntos de filtros causales, en los que cada filtro del conjunto tiene el mismo espectro de amplitud. En cada uno de estos conjuntos, hay un filtro cuyo espectro de fase es mínimo con respecto a los espectros de fase de todos los demás miembros de ese conjunto, y ese filtro es el filtro de fase mínima. Todos los filtros dentro del conjunto dado tienen el mismo espectro de amplitud por definición.
El salto de desfase se define como el cambio total en el desfase a lo largo del rango de Nyquist; es decir, el salto de fase es $ \phi (\pi )-\phi (-\pi ) $. Una ondícula causal es una ondícula de desfase mínimo (que simplemente se denomina de fase mínima) si y solo si su salto de desfase es cero. Una ondícula causal de (N + 1) de longitud es de fase máxima si y solo si su salto de desfase es $ 2N\pi $. Si el salto de desfase de una ondícula causal de (N + 1) de longitud está entre los límites de 0 y $ 2N\pi $, la ondícula es de fase mixta. Los términos fase mínima, fase mixta y ondícula de fase máxima solo se aplican a las ondículas causales.
El espectro de fase de una ondícula de fase mínima se puede derivar únicamente de su espectro de amplitud. Este resultado significa que los coeficientes de una ondícula de fase mínima se pueden determinar únicamente a partir del conocimiento de su espectro de amplitud. De manera equivalente, los coeficientes de una ondícula de fase mínima se pueden determinar únicamente a partir del conocimiento de su autocorrelación.
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|---|---|
| Transformada de Fourier | Transformada inversa de Fourier |
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También en este capítulo
- Espectro de frecuencias
- Magnitud del espectro y espectro de fase
- Transformada de Fourier
- Transformada inversa de Fourier
- Apéndice F: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Minimum-phase spectrum/es |
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