Magnitud del espectro y espectro de fase
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 6 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
¿Cuáles son las características de amplitud y fase de un filtro digital? Los filtros que analizamos en el Capítulo 5 funcionan en el dominio del tiempo. Por lo tanto, se los puede llamar "filtros digitales del dominio del tiempo". Los ejemplos numéricos presentados allí ilustran el filtrado digital en el dominio del tiempo. Sin embargo, muchas personas están más acostumbradas a pensar en el filtrado en el dominio de la frecuencia. Se puede estudiar la acción de los filtros de manera provechosa ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia o en una combinación de ambos. La elección de un enfoque particular depende de la naturaleza del problema en cuestión. Ahora procederemos a esbozar la relación que existe entre el filtrado en el dominio del tiempo y el filtrado en el dominio de la frecuencia. Antes de hacerlo, conviene hacer una breve discusión del movimiento armónico simple.
Una señal sinusoidal $ e^{i\omega n\Delta t} $ representa un movimiento armónico simple. Ahora, supongamos que esta sinusoide es la entrada de los distintos filtros digitales que analizamos en el Capítulo 5. Primero, consideremos el filtro constante $ b_{0} $. Tenemos el diagrama que se muestra en la Figura 1.
La salida es
$ {\begin{aligned}b_{0}e^{i\omega n\Delta {\rm {t}}}=b_{0}\left({\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t+i{\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t\right)=b_{0}{\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t+ib_{0}{\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t.\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, la salida es un vector rotatorio de longitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 . Por ejemplo, para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0=0,5 , tenemos el caso ilustrado en la Figura 2.
Como tanto el vector de entrada en el instante "n" como el vector de salida en el instante "n" forman el mismo ángulo con el eje horizontal, decimos que la entrada y la salida están en fase. Aquí, hemos asumido tácitamente que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 es una constante positiva. Si, por otro lado, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 es una constante positiva real, digamos, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0=-{0.5} , tenemos la situación que se muestra en la Figura 3.
El vector de salida es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -{0.5}e^{-i\omega n\Delta t} . Como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): -{1=}e^{i\pi } , el vector de salida se puede escribir como
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {0.5}\left(-{1}\right)e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\pi }e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} \end{align} ()
Por lo tanto, hemos convertido el vector de salida en el producto de la constante positiva 0,5 por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} . La constante positiva 0,5 es la longitud del vector de salida y, por lo tanto, se denomina "magnitud" de este vector de salida. Ahora, la cantidad
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}={\rm \ cos\ }\left(\omega n\Delta t+\pi \right)+i{\rm \ sin\ }\left(\omega n\Delta t+\pi \right) \end{align} ()
representa un vector rotatorio de longitud l. En el índice de tiempo n = 0, este vector es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} e^{i\pi }={\rm \ cos\ }\pi +i{\rm \ sin\ }\pi =-{1}, \end{align} ()
lo que demuestra que el vector se encuentra sobre el eje horizontal en la dirección negativa y, por lo tanto, forma un ángulo de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi radianes con el eje horizontal positivo. El ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi se denomina adelantamiento de fase del vector (un adelanto representa la cantidad de avance de un vector giratorio). Por ejemplo, el vector de entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\omega n\Delta t} avanza en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {18}0^{{\rm o}} para producir el vector Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} .
Volviendo ahora a nuestro ejemplo del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0=-{0.5} , podemos decir que la salida del filtro
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} -{0.5}e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}=0.5{\rm\ cos\ }\left(\omega n\Delta t+\pi \right)+i0.5{\rm\ sin\ }\left(\omega n\Delta t+\pi \right) \end{align} ()
puede representarse como un vector rotatorio de amplitud +0,5 y adelanto de fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi radianes. Si dividimos la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {0,5}e^{-i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} por la entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{i\omega n\Delta t} , obtenemos la función de transferencia del filtro:
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm Output}} {{\rm Input}}=\frac{{0.5}e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}}{e^{l\omega n\Delta {\rm t}}}=0.5e^{i\pi }. \end{align} ()
En lugar de tratar con la frecuencia angular Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega , a menudo se trata con la frecuencia cíclica f en hercios (Hz), donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega =2\pi f . Por lo tanto
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm Output}} {{\rm Input}}=B\left(f\right)=\frac{{0.5}e^{i\left({2}\pi fn\Delta f+\pi \right)}}{e^{i{2}\pi fn\Delta t}}=0.5e^{i\pi }. \end{align} ()
El espectro de frecuencia (o función de transferencia) se puede escribir en forma polar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): B\left(f\right)= {|}B\left(f\right){|}e^{i\psi (f)} , que generalmente es compleja. La magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}B\left(f\right){|} de la función de transferencia se denomina espectro de magnitud del filtro (o espectro de amplitud), mientras que su adelanto de fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \psi \left(f\right) se denomina espectro de adelanto de fase del filtro. Por lo tanto, el espectro de magnitud del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0=-{0.5} es 0,5, y su espectro de adelanto de fase es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi .
Observamos que tanto el espectro de magnitud como el espectro de adelanto de fase de este filtro son independientes de la frecuencia (Figura 4). Debido a que el espectro de adelanto de fase es constante e igual a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi , podemos decir que la entrada y la salida de este filtro están desfasadas en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi para todo f o simplemente que están desfasadas en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {18}0^{{\rm o}} .
De la misma manera, podemos calcular la función de transferencia de cualquier filtro constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 . La función de transferencia es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=\frac{{\rm Output}} {{\rm Input}}=\frac{b_0e^{i{2}\pi fn\Delta t}}{e^{j{2}\pi f\Delta t}}=b_0, \end{align} ()
que es simplemente el vector constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 .
El siguiente filtro que deseamos considerar es el filtro de retardo unitario Z. La función de transferencia es ahora
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=\frac{{\rm Output}} {{\rm Input}}=\frac{e^{i{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta t}}{e^{i{2}\pi fn\Delta t}}=e^{-i{2}\pi f\Delta t}. \end{align} ()
Es decir, la función de transferencia del filtro de retardo unitario es el vector Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i{2}\pi f\Delta t} . El espectro de magnitud de un filtro es igual a la magnitud de la función de transferencia del filtro (es decir, espectro de frecuencia). Debido a que el vector Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i2{\pi}f\Delta t} tiene magnitud unitaria, vemos que el espectro de magnitud del filtro de retardo unitario es 1. El espectro de adelanto de fase de un filtro es igual al adelanto de fase de la función de transferencia del filtro. Como el vector Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i{2\pi}f\Delta t} forma un ángulo de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {-2}\pi f\Delta t con el eje horizontal positivo, vemos que el espectro de adelanto de fase de este filtro es $ {-2}\pi f\Delta t $. Por lo tanto, el espectro de adelanto de fase de este filtro es una función lineal de la frecuencia f, aunque su espectro de magnitud es independiente de f.
Los espectros de magnitud y adelanto de fase se representan en la Figura 5 para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0 \le 2\pi f\Delta t \le \pi , que es el rango Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0 \le f \le 1/(2\Delta t) . Como hemos especificado que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t=0,004 , tenemos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0\le f\le 125 . Resumiendo, vemos que la función de transferencia del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 y que la función de transferencia del filtro Z es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i{2}\pi f\Delta t} . Para el filtro FIR causal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{{1}}Z , tenemos la función de transferencia
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=\frac{{\rm Output}} {{\rm In}{\rm put}}=\frac{b_{{1}}e^{j{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta f}}{e^{i{2}\pi fn\Delta {\rm t}}}=b_{{1}}e^{-i{2}\pi f\Delta t}. \end{align} ()
El filtro FIR causal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{{1}}Z tiene la función de transferencia
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{{\rm Output}} {{\rm Input}}=\frac{b_0e^{i{2}\pi fn\Delta t}+b_{{l}}e^{i{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta t}}{e^{i{2}\pi fn\Delta {\rm t}}}=b_0+b_{{1}}e^{-i{2}\pi f\Delta t}. \end{align} ()
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También en este capítulo
- Espectro de frecuencias
- Transformada de Fourier
- Espectro de fase minima
- Transformada inversa de Fourier
- Apéndice F: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Magnitude spectrum and phase spectrum/es |
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