Magnitud del espectro y espectro de fase
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 6 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
¿Cuáles son las características de amplitud y fase de un filtro digital? Los filtros que analizamos en el Capítulo 5 funcionan en el dominio del tiempo. Por lo tanto, se los puede llamar "filtros digitales del dominio del tiempo". Los ejemplos numéricos presentados allí ilustran el filtrado digital en el dominio del tiempo. Sin embargo, muchas personas están más acostumbradas a pensar en el filtrado en el dominio de la frecuencia. Se puede estudiar la acción de los filtros de manera provechosa ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia o en una combinación de ambos. La elección de un enfoque particular depende de la naturaleza del problema en cuestión. Ahora procederemos a esbozar la relación que existe entre el filtrado en el dominio del tiempo y el filtrado en el dominio de la frecuencia. Antes de hacerlo, conviene hacer una breve discusión del movimiento armónico simple.
Una señal sinusoidal $ e^{i\omega n\Delta t} $ representa un movimiento armónico simple. Ahora, supongamos que esta sinusoide es la entrada de los distintos filtros digitales que analizamos en el Capítulo 5. Primero, consideremos el filtro constante $ b_{0} $. Tenemos el diagrama que se muestra en la Figura 1.
La salida es
$ {\begin{aligned}b_{0}e^{i\omega n\Delta {\rm {t}}}=b_{0}\left({\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t+i{\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t\right)=b_{0}{\rm {\ cos\ }}\omega n\Delta t+ib_{0}{\rm {\ sin\ }}\omega n\Delta t.\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, la salida es un vector rotatorio de longitud $ b_{0} $. Por ejemplo, para $ b_{0}=0,5 $, tenemos el caso ilustrado en la Figura 2.
Como tanto el vector de entrada en el instante "n" como el vector de salida en el instante "n" forman el mismo ángulo con el eje horizontal, decimos que la entrada y la salida están en fase. Aquí, hemos asumido tácitamente que $ b_{0} $ es una constante positiva. Si, por otro lado, $ b_{0} $ es una constante positiva real, digamos, $ b_{0}=-{0.5} $, tenemos la situación que se muestra en la Figura 3.
El vector de salida es $ -{0.5}e^{-i\omega n\Delta t} $. Como $ -{1=}e^{i\pi } $, el vector de salida se puede escribir como
$ {\begin{aligned}{0.5}\left(-{1}\right)e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\pi }e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}\end{aligned}} $ ()
Por lo tanto, hemos convertido el vector de salida en el producto de la constante positiva 0,5 por $ e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} $. La constante positiva 0,5 es la longitud del vector de salida y, por lo tanto, se denomina "magnitud" de este vector de salida. Ahora, la cantidad
$ {\begin{aligned}e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}={\rm {\ cos\ }}\left(\omega n\Delta t+\pi \right)+i{\rm {\ sin\ }}\left(\omega n\Delta t+\pi \right)\end{aligned}} $ ()
representa un vector rotatorio de longitud l. En el índice de tiempo n = 0, este vector es
$ {\begin{aligned}e^{i\pi }={\rm {\ cos\ }}\pi +i{\rm {\ sin\ }}\pi =-{1},\end{aligned}} $ ()
lo que demuestra que el vector se encuentra sobre el eje horizontal en la dirección negativa y, por lo tanto, forma un ángulo de $ \pi $ radianes con el eje horizontal positivo. El ángulo $ \pi $ se denomina adelantamiento de fase del vector (un adelanto representa la cantidad de avance de un vector giratorio). Por ejemplo, el vector de entrada $ e^{i\omega n\Delta t} $ avanza en $ {18}0^{\rm {o}} $ para producir el vector $ e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} $.
Volviendo ahora a nuestro ejemplo del filtro $ b_{0}=-{0.5} $, podemos decir que la salida del filtro
$ {\begin{aligned}-{0.5}e^{i\omega n\Delta t}=0.5e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}=0.5{\rm {\ cos\ }}\left(\omega n\Delta t+\pi \right)+i0.5{\rm {\ sin\ }}\left(\omega n\Delta t+\pi \right)\end{aligned}} $ ()
puede representarse como un vector rotatorio de amplitud +0,5 y adelanto de fase $ \pi $ radianes. Si dividimos la salida $ {0,5}e^{-i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)} $ por la entrada $ e^{i\omega n\Delta t} $, obtenemos la función de transferencia del filtro:
$ {\begin{aligned}{\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}={\frac {{0.5}e^{i\left(\omega n\Delta t+\pi \right)}}{e^{l\omega n\Delta {\rm {t}}}}}=0.5e^{i\pi }.\end{aligned}} $ ()
En lugar de tratar con la frecuencia angular $ \omega $, a menudo se trata con la frecuencia cíclica f en hercios (Hz), donde $ \omega =2\pi f $. Por lo tanto
$ {\begin{aligned}{\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}=B\left(f\right)={\frac {{0.5}e^{i\left({2}\pi fn\Delta f+\pi \right)}}{e^{i{2}\pi fn\Delta t}}}=0.5e^{i\pi }.\end{aligned}} $ ()
El espectro de frecuencia (o función de transferencia) se puede escribir en forma polar como $ B\left(f\right)={|}B\left(f\right){|}e^{i\psi (f)} $, que generalmente es compleja. La magnitud $ {|}B\left(f\right){|} $ de la función de transferencia se denomina espectro de magnitud del filtro (o espectro de amplitud), mientras que su adelanto de fase $ \psi \left(f\right) $ se denomina espectro de adelanto de fase del filtro. Por lo tanto, el espectro de magnitud del filtro $ b_{0}=-{0.5} $ es 0,5, y su espectro de adelanto de fase es $ \pi $.
Observamos que tanto el espectro de magnitud como el espectro de adelanto de fase de este filtro son independientes de la frecuencia (Figura 4). Debido a que el espectro de adelanto de fase es constante e igual a $ \pi $, podemos decir que la entrada y la salida de este filtro están desfasadas en $ \pi $ para todo f o simplemente que están desfasadas en $ {18}0^{\rm {o}} $.
De la misma manera, podemos calcular la función de transferencia de cualquier filtro constante $ b_{0} $. La función de transferencia es
$ {\begin{aligned}B\left(f\right)={\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}={\frac {b_{0}e^{i{2}\pi fn\Delta t}}{e^{j{2}\pi f\Delta t}}}=b_{0},\end{aligned}} $ ()
que es simplemente el vector constante $ b_{0} $.
El siguiente filtro que deseamos considerar es el filtro de retardo unitario Z. La función de transferencia es ahora
$ {\begin{aligned}B\left(f\right)={\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}={\frac {e^{i{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta t}}{e^{i{2}\pi fn\Delta t}}}=e^{-i{2}\pi f\Delta t}.\end{aligned}} $ ()
Es decir, la función de transferencia del filtro de retardo unitario es el vector $ e^{-i{2}\pi f\Delta t} $. El espectro de magnitud de un filtro es igual a la magnitud de la función de transferencia del filtro (es decir, espectro de frecuencia). Debido a que el vector $ e^{-i2{\pi }f\Delta t} $ tiene magnitud unitaria, vemos que el espectro de magnitud del filtro de retardo unitario es 1. El espectro de adelanto de fase de un filtro es igual al adelanto de fase de la función de transferencia del filtro. Como el vector $ e^{-i{2\pi }f\Delta t} $ forma un ángulo de $ {-2}\pi f\Delta t $ con el eje horizontal positivo, vemos que el espectro de adelanto de fase de este filtro es $ {-2}\pi f\Delta t $. Por lo tanto, el espectro de adelanto de fase de este filtro es una función lineal de la frecuencia f, aunque su espectro de magnitud es independiente de f.
Los espectros de magnitud y adelanto de fase se representan en la Figura 5 para $ 0\leq 2\pi f\Delta t\leq \pi $, que es el rango $ 0\leq f\leq 1/(2\Delta t) $. Como hemos especificado que $ \Delta t=0,004 $, tenemos $ 0\leq f\leq 125 $. Resumiendo, vemos que la función de transferencia del filtro $ b_{0} $ es $ b_{0} $ y que la función de transferencia del filtro Z es $ e^{-i{2}\pi f\Delta t} $. Para el filtro FIR causal $ b_{1}Z $, tenemos la función de transferencia
$ {\begin{aligned}B\left(f\right)={\frac {\rm {Output}}{{\rm {In}}{\rm {put}}}}={\frac {b_{1}e^{j{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta f}}{e^{i{2}\pi fn\Delta {\rm {t}}}}}=b_{1}e^{-i{2}\pi f\Delta t}.\end{aligned}} $ ()
El filtro FIR causal $ b_{0}+b_{1}Z $ tiene la función de transferencia
$ {\begin{aligned}{\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}={\frac {b_{0}e^{i{2}\pi fn\Delta t}+b_{l}e^{i{2}\pi f\left(n-{1}\right)\Delta t}}{e^{i{2}\pi fn\Delta {\rm {t}}}}}=b_{0}+b_{1}e^{-i{2}\pi f\Delta t}.\end{aligned}} $ ()
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| Espectro de frecuencias | Transformada de Fourier |
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También en este capítulo
- Espectro de frecuencias
- Transformada de Fourier
- Espectro de fase minima
- Transformada inversa de Fourier
- Apéndice F: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Magnitude spectrum and phase spectrum/es |
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