Frecuencia

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Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Series Geophysical References Series
Title Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter 6
DOI http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN 9781560801481
Store SEG Online Store
Más ça cambia, más es la misma cosa.
[Cuanto más cambia, más es lo mismo.]

- Jean Baptiste Alphonse Karr, 1849

¿Qué son los dominios del tiempo y de la frecuencia? La acción de un filtro se puede describir mediante su respuesta al impulso, así como por su espectro de frecuencia. La respuesta al impulso del filtro se encuentra en el dominio del tiempo, al igual que la propia señal de entrada. El espectro de frecuencia del filtro se encuentra en el dominio de la frecuencia. Ambos modos de expresión son funciones entre sí, es decir, si se conoce uno, se puede derivar el otro a partir de él.

En el filtrado digital, se puede emplear cualquiera de los dos dominios, pero, en general, tanto la señal sísmica como las características del filtro deben convertirse en la misma forma. Por ejemplo, necesitamos que la operación se realice en el dominio del tiempo, pero solo se especifica el espectro de frecuencia del filtro. En tal caso, el espectro de frecuencia debe transformarse en una respuesta de impulso (en el dominio del tiempo) para que la operación pueda realizarse en el dominio del tiempo. La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier proporcionan la base física para dichas conversiones de un dominio al otro.

¿Qué es una transformada de Fourier? La transformada de Fourier convierte una función de tiempo (la señal) en la función correspondiente de frecuencia (el espectro de frecuencia temporal). La transformada inversa de Fourier funciona en la dirección inversa. En concreto, la transformada inversa de Fourier convierte una función de frecuencia (el espectro de frecuencia temporal) en la función correspondiente de tiempo (la señal).

La transformada de Fourier no tiene por qué aplicarse sólo a la frecuencia en ciclos por segundo y al tiempo en segundos. La transformada de Fourier también se puede utilizar para mediciones espaciales. Por ejemplo, considere el caso de una distribución espacial coherente a lo largo de la apertura de un receptor. En tal caso, existe una relación entre el patrón de transmisión del sistema en términos del seno del ángulo de proyección y la distribución del campo a lo largo de la apertura del sistema (Robinson, 1967[1]). La frecuencia temporal (es decir, el número de ciclos por unidad de tiempo) es el dual de Fourier para el tiempo (es decir, el número de unidades de tiempo). De la misma manera, la frecuencia espacial, o número de onda, es el dual de Fourier para la variable espacial. El número de onda indica el número de ciclos por unidad de distancia. En este capítulo, nos ocupamos únicamente del tiempo y la frecuencia temporal, por lo que abreviamos la expresión "espectro de frecuencia temporal" a "espectro de frecuencia".

La teoría de la transformada de Fourier suele ser aplicable incluso cuando las variables involucradas parecen no tener un significado físico directo. Por ejemplo, con el uso de la transformada de Fourier, la convolución de dos funciones de tiempo se puede expresar en términos de la multiplicación de sus transformadas de Fourier asociadas.

El análisis espectral juega un papel importante en la geofísica, como en toda la ciencia. Véase, por ejemplo, Robinson (1970[2], 1982[3], 1983[4]), Ulrych y Jensen (1974)[5], Treitel et al. (1977)[6], Gutowski et al. (1977[7], 1978[8]), Treitel y Robinson (1981)[9], Haykin et al. (1983)[10], Rosa y Ulrych (1991)[11], y Sacchi y Ulrych (1996)[12]. En este punto, es apropiado citar las inimitables palabras de Ulrych (2008[13], pág. 1):

El objeto de la exploración sísmica está codificado en los datos que se adquieren en la superficie de la Tierra o cerca de ella. El objetivo de decodificar estos datos es, esencialmente, averiguar dónde y qué es este objeto. Aunque registramos nuestra información en el espacio y el tiempo, siempre, en algún momento, seguimos las enseñanzas de Jean Baptiste Joseph Fourier y transformamos nuestras mediciones en el dominio de la frecuencia. En este dominio, nuestros datos viven en las dimensiones de fase y frecuencia temporal y espacial. El “dónde” está codificado en la fase, el “qué” está codificado tanto en la fase como en la amplitud.


Referencias

  1. ↑ Robinson, E. A., 1967, Comunicación y detección estadística: Hafner Publishing Co.
  2. ↑ Robinson, E. A., 1970, Modelo espectral de mediciones de tiempo geológico: Actas del 9.º Simposio IEEE sobre procesos adaptativos, decisiones y control, Universidad de Texas en Austin, 20.1.1–20.1.3.
  3. ↑ Robinson, E. A., 1982, Enfoque espectral de la inversión geofísica mediante transformadas de Lorentz, Fourier y radón: Actas del IEEE, 70, 1039–1054.
  4. ↑ Robinson, E. A., 1983, Procedimiento iterativo de mínimos cuadrados para la estimación espectral ARMA, en S. Haykin, ed., Métodos no lineales de análisis, 2.a ed.: Temas de física aplicada, n.º 34, Springer, 127–153.
  5. ↑ Ulrych, T. y O. Jensen, 1974, Análisis espectral cruzado utilizando máxima entropía: Geofísica, 39, 353–356.
  6. ↑ Treitel, S., E. A. Robinson y P. R. Gutowski, 1977, Análisis espectral empírico revisitado: en J. J. H. Miller, ed., Temas de análisis numérico, 3: Academic Press, 429–446.
  7. ↑ Gutowski, P. R., E. A. Robinson y S. Treitel, 1977, Aspectos novedosos de la estimación espectral: Actas de la Conferencia de Control Automático Conjunto de 1977, 1, 99–104.
  8. ↑ Gutowski, P. R., E. A. Robinson y S. Treitel, 1978, Estimación espectral, realidad o ficción: IEEE Transactions on Geoscience Electronics, GE-16, 80–84.
  9. ↑ Treitel, S. y E. A. Robinson, 1981, Descomposición espectral de máxima entropía de un sismograma en su componente de entropía mínima más ruido: Geofísica, 46, 1108–1115.
  10. ↑ Haykin, S., S. Kesler y E. A. Robinson, 1983, Avances recientes en la estimación espectral, en S. Haykin, ed., Métodos no lineales de análisis espectral, 2.ª ed.: Temas de física aplicada, n.º 34, Springer, 245–260.
  11. ↑ Rosa, A. L. R., y T. J. Ulrych, 1991, Procesamiento mediante modelado espectral: Geofísica, 56, 1244–1251.
  12. ↑ Sacchi, M. D., y T. J. Ulrych, 1996, Estimación de la transformada de Fourier discreta, un enfoque de inversión lineal: Geofísica, 61, 1128–1136.
  13. ↑ Ulrych, T., 2008, El papel de la amplitud y la fase en el procesamiento y la inversión: Programa de conferencias distinguidas de la SEG, 2008, <http://ce.seg.org/dl/spring2008/index.shtml> consultado el 22 de marzo de 2008.

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