Transformada inversa de Fourier

Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing

Series	Geophysical References Series
Title	Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author	Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter	6
DOI	http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN	9781560801481
Store	SEG Online Store

Las ecuaciones de Fourier se pueden simplificar eligiendo el espaciado de tiempo discreto para definir una unidad de tiempo, es decir, eligiendo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Delta t={1} . Entonces la frecuencia angular se convierte en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega=2\pi f\Delta t{=2}\pi f . La ecuación que conecta el entero de tiempo discreto n de la señal digital con la escala de tiempo real t de la señal de tiempo continuo es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): t=n\Delta t=n . Si utilizamos la ecuación 15 del Capítulo 4, vemos que la frecuencia de Nyquist es $ f_{n}={1/2} $ y la frecuencia angular de Nyquist es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\omega }_n=2\pi \left({1/2}\right)=\pi . La transformada de Fourier discreta de la señal (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): (b_0) , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{{1}} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{2} …, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_N ) es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(\omega \right)=b_0+b_{{l}} e^{-i\omega }+b_{2}e^{-i\omega 2}+\dots +b_Ne^{-i\omega N}. \end{align}

(32)

De manera más general, la transformada de Fourier discreta de la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n , que puede ser infinitamente larga en ambas direcciones, es

$ {\begin{aligned}X\left(\omega \right)=\sum _{n=-}^{\infty }{x_{n}}e^{-i\omega n}={|}X\left(\omega \right){|}e^{-\rho \left(\omega \right)}.\end{aligned}} $

(33)

Vemos que el espectro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) se obtiene a partir de la transformada Z geofísica X(Z) reemplazando Z por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): e^{-i\omega } . El uso del mismo símbolo X tanto para la transformada Z como para el espectro es común. La transformada inversa de Fourier se define como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_n=\frac{{l}} {2\pi }\int^{\pi }_{-\pi }{X}\left(\omega \right)e^{i\omega n}d\omega . \end{align}

(34)

Para verificar la afirmación de que la ecuación 34 es correcta, sustituimos la ecuación 33 en la ecuación 34 y obtenemos

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_n = \frac{1} {{2\pi }} \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {x_m e^{ - i\omega m} } } \right)e^{i\omega \;n} \;d\omega = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {x_m \left( {\frac{1} {{2\pi }} \int\limits_{ - \pi }^\pi {e^{i\omega \;(n - m)} } d\omega } \right).} } \end{align}

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La expresión entre paréntesis en el lado derecho de la ecuación 35 es

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{1} {{2\pi }} \int\limits_{ - \pi }^\pi {e^{i\omega (n - m)} \;d\omega = \frac{{\sin \pi (n - m)}} {{\pi (n - m)}} = \delta _{n - m} = \left\langle {\begin{array}{*{20}c} 1 & {\text{if}} & {n = m} \\ 0 & {\text{if}} & {n \ne m} \\ \end{array} .} \right.} \end{align}

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Por lo tanto, la ecuación 35 se convierte en

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_n = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {x_m \delta _{n - m} = x_n ,} \end{align}

(37)

lo cual nos lleva al punto inicial y confirma así la afirmación.

Utilicemos la transformada de Fourier inversa para encontrar los coeficientes de un filtro de paso bajo ideal con banda de paso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0\le{|}\omega {|}\le \Omega y banda de rechazo $ \Omega {<}{|}\omega {|}\leq \pi $. Los coeficientes se dan mediante la transformada de Fourier inversa como

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} h_n = \frac{1} {{2\pi }} \int\limits_{ - \Omega }^\Omega {e^{i\omega n} } d\omega = \frac{{\sin \Omega n}} {{\pi n}} ,\;\;n = 0, \pm 1,\; \pm 2,\; \ldots \end{align}

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El filtro de paso de banda ideal para la banda de paso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\Omega }_{{1}}\le {|}\omega {|}\le {\Omega }_{2} y las bandas de rechazo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0\le {|}\omega {|}\le {\Omega }_{{l}} y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Omega _2 \le \;|\omega |\; \le \;\pi se da como la diferencia entre dos filtros de paso bajo. Por lo tanto, los coeficientes son

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} h_n=\frac{\mathrm{sin}\Omega_{2}n}{\pi n}-\frac{\mathrm{sin}\Omega_{1}n}{\pi n}, n =0, \pm {1,} \pm {2,}... \end{align}

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Nuestro análisis actual se ha centrado principalmente en los principios subyacentes del filtrado digital. Hemos demostrado con cierto detalle cómo los filtros FIR causales funcionan en una entrada discreta para producir una salida discreta. Hemos descubierto que la mecánica de este proceso se puede visualizar con mayor facilidad en el dominio del tiempo, pero por lo general es necesario pensar en el filtrado en términos tanto del dominio del tiempo como del dominio de la frecuencia. Hemos intentado presentar una descripción completa, aunque heurística, del comportamiento del filtro en ambos dominios. Por último, hemos introducido el concepto de fase mínima para clasificar los filtros digitales.

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Espectro de fase minima	Apéndice F: Ejercicios
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Filtrado	Ondículas
Tabla de contenido

También en este capítulo

• Espectro de frecuencias
• Magnitud del espectro y espectro de fase
• Transformada de Fourier
• Espectro de fase minima
• Apéndice F: Ejercicios

Vínculos externos

find literature about Inverse Fourier transform/es