Transformada de Fourier
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 6 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
La función de transferencia del filtro FIR causal de orden N ahora se puede escribir por inducción como
$ {\begin{aligned}B\left(f\right)={\frac {\rm {Output}}{\rm {Input}}}={\frac {b_{0}e^{j2\pi jn\Delta t}+\dots \ +b_{\rm {l}}e^{i2\pi f\left(n-{\rm {l}}\right)\Delta t}}{e^{i2\pi fn}}},\end{aligned}} $ ()
cual es
$ {\begin{aligned}B\left(f\right)=b_{0}+b_{\rm {l}}e^{-i2\pi f\Delta {\rm {t}}}+\dots +b_{N}e^{-i2\pi j\Delta tN}.\end{aligned}} $ ()
Nuestros resultados se pueden tabular en la forma de la Tabla 1. Las definiciones son importantes. Desafortunadamente, la transformada "Z" y la transformada de Fourier se definen de diferentes maneras según la convención utilizada. Ahora debemos tomarnos un momento para reflexionar sobre las convenciones. Analizaremos tres convenciones: (1) la "convención matemática", (2) la "convención de ingeniería eléctrica" y (3) la "convención híbrida".
| Filtro FIR causal | Función de transferencia correspondiente |
|---|---|
| $ B\left(Z\right)=b_{0} $ | $ B(f)=b_{0} $ |
| $ B\left(Z\right)=Z $ | $ B\left(f\right)=e^{-i2\pi f\Delta t} $ |
| $ B\left(Z\right)=b_{\rm {1}}Z $ | $ B\left(f\right)=b_{1}e^{-i2\pi f{\Delta }_{t}} $ |
| $ B\left(Z\right)=b_{0}+b_{\rm {1}}Z $ | $ B\left(f\cdot \right)=b_{0}+b_{1}e^{-i2\pi f\Delta t} $ |
| $ B\left(Z\right)=b_{0}+b_{\rm {1}}Z++b_{N}Z^{N} $ | Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): B\left(j\right)=b_0+b_{{1}}e^{-i 2\pi f{\Delta}t}+\dots +b_{{\rm N}}e^{-i2\pi f{\Delta t}N} |
Sus homólogos son el automóvil de gasolina, el automóvil eléctrico y el automóvil híbrido.
1) Según la convención matemática, la función generadora (es decir, la transformada Z con Z mayúscula) se define de la manera dada originalmente por Euler, es decir
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(Z\right)=b_0+b_{{\rm l}} Z+\dots +b_NZ^N , \end{align} ()
y la transformada de Fourier se define en la forma dada originalmente por Fourier, es decir
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B_{M{\rm A}TH}\left(f\right)=b_0+b_{{1}} e^{i2\pi f\Delta t}+\dots +b_Ne^{i2\pi f\Delta fN}. \end{align} ()
En la convención matemática, los exponentes en ambas transformadas (ecuaciones 14 y 15) son positivos.
2) Según la convención de ingeniería eléctrica, la transformada z con z minúscula se define como
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B_{EE}\left(z\right)=b_0+b_{{1}} z^{-{l}}+\dots +b_Nz^{-N}, \end{align} ()
y la transformada de Fourier se define como
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=b_0+b_{{1}} e^{-i2\pi f\Delta t}+\dots +b_Ne^{-i2\pi f\Delta tN}. \end{align} ()
En la convención de ingeniería eléctrica, los exponentes en ambas transformadas (ecuaciones 16 y 17) son negativos.
3) Bajo la "convención híbrida", la transformada "Z" con "Z" mayúscula se define en matemáticas como, a saber:
$ {\begin{aligned}B\left(Z\right)=b_{0}+b_{l}Z+\dots +b_{N}Z^{N},\end{aligned}} $ ()
y la "transformada de Fourier" se define como en ingeniería eléctrica, es decir
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=b_0+b_{{l}} e^{-i2\pi f\Delta t}+\dots +b_Ne^{-i2\pi j\Delta tN}. \end{align} ()
En la convención híbrida, los exponentes de la transformada Z (ecuación 18) son positivos y los exponentes de la transformada de Fourier (ecuación 19) son negativos.
En este libro, utilizamos la convención híbrida. Trabajar con potencias negativas de Z es complicado. La convención híbrida evita esta contingencia pero conserva la forma de la transformada de Fourier que utilizan los ingenieros eléctricos. Bajo la convención híbrida, la función de transferencia de un filtro se obtiene formalmente mediante la sustitución de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{-i2\pi f\Delta t} en la transformada Z del filtro. En otras palabras, la función de transferencia es la transformada de Fourier (de ingeniería eléctrica) de la función de respuesta al impulso. Observamos que, excepto en el caso del filtro constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 , la función de transferencia siempre depende de la frecuencia f.
Se puede aprender mucho considerando el filtro de retardo unitario, que se puede representar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{i\psi (f)} , donde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\psi (f)}=-2\pi f\Delta t es el adelanto de fase. El desfase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi \left(f\right) se define como el negativo del adelanto de fase, es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \phi \left(f\right)=-\psi (f) . Por lo tanto, el filtro de retardo unitario se puede escribir como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z=e^{-i2\pi f\Delta t}=e^{-i\phi (f)} . Los sistemas físicos implican retardo, por lo que el desfase en lugar del adelanto de fase se convierte en la opción natural. Los ingenieros eléctricos a veces, pero no siempre, se refieren al desfase simplemente como fase. Sin embargo, siempre que usamos la palabra fase, nos referimos explícitamente al desfase de fase.
Como hemos visto, la función de transferencia es la transformada de Fourier (ingeniería eléctrica) de la función impulso-respuesta. En forma polar, la función de transferencia se puede escribir como
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right) =|B\left(f\right){|}e^{-j\psi \left(f\right)}, \end{align} ()
donde la magnitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}B\left(f\right){|} y el ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi (f) representan, respectivamente, el espectro de magnitud y el espectro de desfase (o simplemente el espectro de fase) del filtro. Por ejemplo, la función de transferencia del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{{1}}Z es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} B\left(f\right)=b_0+b_{{1}} e^{-j2\pi f\Delta {\rm t}}=b_0+b_{{l}}{\rm \ cos\ 2}\pi f\Delta t-ib_{{l}}{\rm \ sin\ 2}\pi f\Delta t. \end{align} ()
Ahora, B(f) (para un valor fijo de f) es el vector que es la suma de los vectores Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{{1}}e^{-i2\psi \Delta t} (Figura 6).
La longitud Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}B\left(f\right){|} del vector B(f) es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {|}B\left(f\right){|=}\sqrt{{\left(b_0+b_{{1}} {\rm \ cos\ 2}\pi f\Delta t\right)}^{2}+{\left(b_{{1}}{\rm \ sin\ 2}\pi f\Delta t\right)}^{2}}=\sqrt{b^{2}_0+2b_0b_{{1}}{\rm \ cos\ 2}\pi f\Delta t+b^{2}_{{1}}}. \end{align} ()
Esta cantidad es el espectro de magnitud del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{{1}}Z . El ángulo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi (f) , que es una función de f, es el desfase (llamado simplemente fase). Por lo tanto, la función
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \varphi \left(f\right)=-{{\rm tan}} ^{-{1}}\left[\frac{-b_{{1}}{\rm \ sin\ 2}\pi f\Delta t}{b_0+b_{{1}}{\rm \ cos\ 2}\pi f\Delta t}\right]={{\rm tan}}^{-{1}}\left[\frac{b_{{1}}{\rm \ sin\ 2}\pi f\Delta t}{b_0+b_{{1}}{\rm \ cos\ 2}\pi f\Delta t}\right] \end{align} ()
produce el espectro de fase del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0+b_{{1}}Z . Vemos que tanto el espectro de magnitud como el de fase son funciones de la frecuencia f.
En este punto, debemos introducir una advertencia. La función arcotangente no es una función uno a uno, sino que es una función polivalente. Por lo tanto, una computadora normalmente elige el valor de la función arcotangente que se encuentra en el rango de 0 a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi . Cuando utilizamos un programa de este tipo, no necesariamente obtenemos la fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi (f) ; en cambio, podemos obtener Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \varphi (f) reducida o aumentada por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi k , donde k es un entero determinado de tal manera que el valor calculado se encuentra en el rango de 0 a Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 2\pi . Este resultado se denomina espectro de fase envuelto; el espectro de fase verdadero se puede obtener mediante un proceso informático conocido como desenrollado de fase.
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|---|---|
| Magnitud del espectro y espectro de fase | Espectro de fase minima |
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También en este capítulo
- Espectro de frecuencias
- Magnitud del espectro y espectro de fase
- Espectro de fase minima
- Transformada inversa de Fourier
- Apéndice F: Ejercicios
Vínculos externos
| find literature about Fourier transform/es |
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