Mínimo retardo
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 5 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | ISBN 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Ahora analizaremos el retraso mínimo y su relación con la retroalimentación. En este punto, ampliemos nuestra discusión sobre el retraso mínimo y su relación con los sistemas de retroalimentación. Por ejemplo, supongamos que la dirección deseada de un barco está establecida en el girocompás. Un mecanismo de retroalimentación indica el error entre la dirección deseada y la dirección real del barco. El error activa el sistema de guía, que consta de amplificadores de potencia que fuerzan al timón en la dirección que disminuye el error. Debido a que lleva tiempo suministrar la energía para cambiar el curso del barco, hay un retraso de tiempo en el sistema de guía. Supongamos que el barco está fuera de curso hacia estribor. El mecanismo de retroalimentación indica un error hacia estribor y los amplificadores de potencia fuerzan a los timones hacia babor. Debido al retraso de tiempo, el barco se pasa de la dirección del giroscopio hacia babor. Ahora, el mecanismo de retroalimentación indica un error hacia babor y los amplificadores de potencia fuerzan a los timones hacia estribor. Debido al retraso de tiempo, el barco vuelve a pasar de la dirección del giroscopio, esta vez hacia estribor. El mecanismo de retroalimentación indica ahora un error a estribor y, debido al retardo de tiempo, se produce un tercer sobreimpulso, esta vez a babor. Estas oscilaciones sobre la dirección del giroscopio pueden aumentar en magnitud en cada giro sucesivo o pueden disminuir. Si aumentan, el sistema de guía es inestable. Si disminuyen, es estable. Claramente, el sistema de guía de retardo mínimo es el que es estable. Por ejemplo, en el modelo de capas de la estratigrafía sísmica, las ondas descendentes de una fuente impulsiva tienen la propiedad de retardo mínimo (Robinson y Treitel, 1976[1]; Loewenthal y Robinson, 2000[2]).
Podemos describir un sistema causal por su ganancia y su retardo. Cualquier sistema causal lineal puede describirse por su ganancia y su retardo. Su ganancia es una medida del aumento o disminución de la magnitud de la salida en comparación con la magnitud de la entrada. El retardo es una medida del tiempo desde el instante en que se activa la entrada hasta el instante en que esta entrada se siente significativamente en la salida. Como es de esperar, tanto la ganancia como el retardo dependen de la frecuencia de la señal.
¿Qué sistema tiene el menor retardo para su ganancia? Es posible tener muchos sistemas, cada uno con la misma ganancia pero con un retardo diferente. De hecho, siempre es posible tener sistemas con retardos muy grandes porque la magnitud del retardo que se puede incorporar a un sistema no tiene límite teórico. Por otro lado, la pequeñez del retardo que un sistema puede poseer es limitada porque un sistema siempre tarda algún tiempo en responder de manera significativa a una entrada. El sistema con el menor retardo posible para su ganancia se denomina sistema de retardo mínimo.
¿Cuáles son la ganancia y el retraso de los sistemas conectados en serie? Supongamos que tenemos dos sistemas causales, A y B, conectados en serie. La ganancia del sistema global es igual al producto de las ganancias de los sistemas componentes, mientras que el retraso del sistema global es igual a la suma de los retrasos de los sistemas componentes. En lugar de considerar la ganancia, podemos considerar el logaritmo de la ganancia, llamado "ganancia logarítmica". El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores individuales. Por lo tanto, la ganancia logarítmica del sistema global es igual a la suma de las ganancias logarítmicas de los sistemas componentes. En resumen, tenemos (1) la ganancia logarítmica del sistema global = la ganancia logarítmica de A + la ganancia logarítmica de B y (2) el retraso del sistema global = el retraso de A + el retraso de B.
¿Cuál es el precio justo que hay que pagar por la ganancia y el retraso? Como acabamos de ver, un sistema causal puede describirse por el logaritmo de su ganancia y su retraso. En sentido figurado, pensemos en el logaritmo de la ganancia de un sistema como un activo y en el retraso del sistema como el coste de ese activo. Es decir, el logaritmo de la ganancia siempre debe pagarse en retraso.
Resulta que el precio que se paga siempre es mayor que, o en el mejor de los casos igual a, la cantidad de ganancia logarítmica recibida. Los sistemas causales por los cuales el precio pagado es igual a la cantidad de ganancia logarítmica recibida son sistemas de retardo mínimo. Por lo tanto, el retardo mínimo es el precio justo a pagar por la ganancia logarítmica. Todos los demás sistemas causales, es decir, los sistemas de retardo no mínimo, tienen retardos mayores que el mínimo. Para esos sistemas, el precio pagado por la ganancia logarítmica es mayor que el precio justo, y la cantidad adicional pagada es la diferencia entre el retardo real del sistema y el retardo mínimo posible.
¿Qué son los sistemas de paso total? Existen sistemas causales que no tienen ganancia logarítmica, y estos sistemas se denominan sistemas de paso total. Hay dos tipos de sistemas de paso total. El primer tipo es el sistema de paso total trivial, que no tiene retardo. Debido a que un sistema de paso total trivial tiene ganancia logarítmica cero y retardo cero, no pagamos nada a cambio de nada, lo cual es justo. El otro tipo de sistema de paso total es el sistema de paso total no trivial, y sí produce retardo. Debido a que un sistema de paso total no trivial no tiene ganancia logarítmica pero sí tiene retardo, pagamos algo por nada, lo cual es injusto (Robinson, 1962[3]; Robinson y Treitel, 1965[4]).
Podemos resumir los distintos tipos de sistemas de la siguiente manera:
- sistema de demora mínima:
activo = ganancia logarítmica costo = demora mínima (precio justo)
- sistema sin demora mínima:
activo = ganancia logarítmica costo = demora mínima más demora adicional (precio injusto)
- sistema de pases completos trivial:
activo = ninguno costo = ninguno (precio justo)
- sistema de pases completos no trivial:
activo = ninguno costo = demora (precio injusto)
Un sistema pasa todo trivial es aquel cuya respuesta al impulso es la función delta de Dirac, o pico unitario; un sistema de este tipo pasa la entrada a la salida sin ningún cambio. Es decir, un sistema pasa todo trivial es el operador identidad.
¿Cuál es la representación canónica? A partir de las tablas de costos de activos anteriores, llegamos a las siguientes consideraciones: el sistema general resultante de conectar un sistema no trivial de paso total a un sistema de retardo mínimo es un sistema de retardo no mínimo. Por el contrario, cualquier sistema de retardo no mínimo siempre se puede descomponer en dos sistemas conectados en serie: un sistema no trivial de paso total y un sistema de retardo mínimo. Estos resultados comprenden la denominada "representación canónica".
¿Por qué el retraso mínimo es el precio justo por la ganancia obtenida? En otras palabras, ¿cuál es el precio justo de un activo? El precio justo de un activo es el precio por el cual podemos vender el activo y, al hacerlo, regresar a nuestra posición original. Un sistema de retraso mínimo es un sistema por el cual se ha pagado el precio justo (es decir, el retraso mínimo) por la ganancia logarítmica. En consecuencia, para cada sistema de retraso mínimo, existe un sistema inverso realizable. Si una señal es la entrada de un sistema de retraso mínimo, entonces podemos recuperar esa señal en su forma original haciendo pasar la salida del sistema de retraso mínimo a través de su sistema inverso estable, que es un sistema de retraso mínimo. La recuperación de la señal se logra sin un retraso de tiempo total. Por lo tanto, al transmitir información de la entrada a la salida, un sistema de retraso mínimo no destruye ni retrasa la información.
¿Cuándo se paga un precio injusto por la ganancia obtenida? Un sistema sin retardo mínimo es un sistema por el que se ha pagado un precio injusto por la ganancia logarítmica. Por lo tanto, no existe un sistema inverso causal para un sistema sin retardo mínimo. Algunos sistemas sin retardo mínimo no destruyen información sobre la señal, sino que solo la retrasan. En esos sistemas, la señal original se puede recuperar, al menos aproximadamente, pero a costa de un retraso de tiempo general. Otros sistemas sin retardo mínimo destruyen información sobre la señal, de modo que la señal original no se puede recuperar, incluso con un retraso de tiempo indefinidamente largo.
Referencias
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 1976, Energía descendente neta y la propiedad de retardo mínimo de las ondas descendentes: Geofísica, 41, 1394–1396.
- ↑ Loewenthal, D., y E. A. Robinson, 2000, Combinación relativista de cualquier número de velocidades collineales y generalización de la fórmula de Einstein: Revista de análisis matemático y aplicaciones, 246, n.º 1, 320–324.
- ↑ Robinson, E. A., 1962, Random wavelets and cybernetic systems: Charles Griffin and Co. and Macmillan.
- ↑ Robinson, E. A., y S. Treitel, 1965, Dispersive digital filter: Reviews of Geophysics, 3, 433–461.
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