Filtro de retroalimentación
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 5 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | ISBN 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Dibujemos el diagrama del filtro de retroalimentación básico. Ahora queremos encontrar la función de transferencia del filtro de retroalimentación básico, es decir, el filtro de retroalimentación causal de primer orden. Su diagrama se muestra en la Figura 12. Demostraremos cómo la estabilidad de su respuesta al impulso está relacionada con la propiedad de "retardo mínimo" de este filtro de retroalimentación. Un término alternativo para retardo mínimo es fase mínima (Ulrych y Laserre, 1966[1]; Sacchi y Ulrych, 2000[2]).
Describamos la caja constante del filtro de retroalimentación básico. La entrada al sistema de retroalimentación es la wavelet $ w_{n} $, donde n denota tiempo. De acuerdo con nuestra convención, el índice de tiempo n se toma en instantes de tiempo discretos espaciados una unidad. Ahora analizamos el filtro de retroalimentación trazando el camino alrededor del bucle. Comenzamos en el principio del bucle de retroalimentación (punto A en la Figura 12). Vemos que la salida del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n se realimenta a través del bucle y entra en la caja constante como su entrada. La caja constante realiza una multiplicación constante. Es decir, la salida de la caja constante es igual a c por su entrada, donde c es un número fijo. Por lo tanto, la función impulso-respuesta de la caja constante es la wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left(c,{0,0,0,\ }\dots \right) , por lo que su transformada Z es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} c+0Z+0Z^2+\dots =c. \end{align} ()
Si la magnitud de c es menor que 1 - es decir, si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|<}1 - esta caja produce una atenuación constante. Por otro lado, si la magnitud de c es mayor que 1 - es decir, si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>1} - esta caja produce una amplificación constante. Debido a que la entrada a la caja constante es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n , la salida de la caja constante es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_n (como se muestra en el punto B en la Figura 12). La acción de la caja constante en términos de transformadas Z es
- La entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n en el cuadro de constantes tiene la transformada Z Y(Z).
- El cuadro de constantes tiene la transformada Z c.
- Por lo tanto, la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_n del cuadro de constantes tiene la transformada Z cY(Z).
La salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_n de la caja de constantes entra en la caja de retardo temporal (después del punto B en la Figura 12). Una caja de retardo temporal unitario produce un retardo de una unidad de tiempo desde la entrada hasta la salida. Es decir, la salida de una caja de retardo temporal unitario se retrasa una unidad de tiempo con respecto a su entrada. La función de respuesta al impulso de la caja de retardo temporal unitario es (Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {0}, 1,0,0,0, . . . ), por lo que su transformada Z es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {0+l}Z+0Z^2+\dots =Z. \end{align} ()
Si el cuadro de retardo de tiempo retrasa la entrada en T unidades de tiempo, tenemos un cuadro de retardo T, con la transformada Z Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^T .
Describamos la caja de retardo T del filtro de realimentación básico. Como acabamos de ver, la entrada a la caja de retardo T es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_n ; por lo tanto, la salida de esta caja es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_{n-T} (como se muestra en el punto C en la Figura 12). La acción de esta caja de retardo T en términos de transformadas Z es
- La entrada $ cy_{n} $ al cuadro de retardo tiene la transformada Z cY(Z).
- El cuadro de retardo tiene la transformada Z Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^T .
- Por lo tanto, la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_{n-T} del cuadro de retardo tiene la transformada Z Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^Tc{\rm Y}\left(Z\right) .
A continuación describimos el mezclador del filtro de retroalimentación básico. La salida $ cy_{n-T} $ de la caja de retardo unitario ingresa a un canal de entrada del mezclador (punto C en la Figura 12). Al mismo tiempo, la entrada del sistema de retroalimentación de bucle cerrado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): w_n ingresa al otro canal de entrada del mezclador (punto D en la Figura 12). El mezclador produce una adición. Es decir, el mezclador suma la entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): cy_{n-T} a la entrada del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): w_n . Por lo tanto, la salida del mezclador es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): w_n+cy_{n-T} (punto E en la Figura 12).
Sin embargo, la salida del mezclador es también la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n del sistema de retroalimentación de bucle cerrado. Por lo tanto, tenemos la ecuación simple
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_n=w_n+cy_{n-T} \end{align} ()
para el filtro de retroalimentación.
Supongamos que deseamos describir la función de transferencia del filtro de retroalimentación básico. En términos de transformadas "Z", la ecuación que acabamos de dar se convierte en
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm y}\left(Z\right)=w\left(Z\right)+cZ^TY\left(Z\right). \end{align} ()
Transponiendo términos, obtenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} W\left(Z\right)={\rm y}\left(Z\right)\left(1-cZ^T\right). \end{align} ()
La función de transferencia H(Z) del filtro de realimentación se define como la relación entre la transformada Z Y(Z) de la salida del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n y la transformada Z W(Z) de la entrada del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): w_n . Por lo tanto, la función de transferencia es
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=\frac{Y\left(Z\right)}{W\left(Z\right)}=\frac{1}{1-cZ^T}. \end{align} ()
A continuación, demostremos que el filtro de retroalimentación es estable solo para el caso de retardo mínimo. La transformada Z de la ondícula de longitud (T + 1) Failed to parse (syntax error): \left({1\ ,\ 0,\ 0,\ \dots \ 0,\ }c\right) es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 1+cZ^T . Por lo tanto, la función de transferencia H(Z) del filtro de retroalimentación es el recíproco de la transformada Z de la ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ 0,\ 0,\ \dots \ 0,\ }c\right) .
En este punto, presentaremos los conceptos de retardo mínimo y de retraso máximo. En el Capítulo 7 se ofrece una explicación detallada de estos conceptos. Se dice que una ondícula es una ondícula de retraso mínimo si tiene carga frontal, mientras que se dice que es una ondícula de retraso máximo si tiene carga posterior. El coeficiente frontal de la ondícula Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ 0,\ 0,\ \dots \ 0,\ }c\right) es 1, y el coeficiente posterior es c. Como todos los demás coeficientes son cero, esta ondícula es fácil de aclarar. Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 1{>|}c{|} , entonces el coeficiente frontal es mayor en magnitud que el coeficiente posterior, por lo que la ondícula tiene carga frontal y, por lo tanto, retardo mínimo. Si $ {\rm {If|}}c{|>}1 $ entonces el coeficiente posterior es mayor en magnitud que el coeficiente frontal, por lo que la ondícula tiene carga posterior y, por lo tanto, retraso máximo.
Ahora afirmamos que el filtro de retroalimentación es estable si el wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ 0,\ 0,\ \dots \ 0,\ }c\right) es un wavelet de retardo mínimo, y el filtro de retroalimentación es inestable si el wavelet Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \left({1\ ,\ 0,\ 0,\ \dots \ 0,\ }c\right) es un wavelet de retardo máximo. Es decir, si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|<}1 , la caja constante produce atenuación, y el efecto de la retroalimentación se amortigua con respecto al tiempo, lo que hace que el filtro de retroalimentación sea estable
Según la terminología más antigua, que todavía prevalece, la "retroalimentación negativa" se refiere a un sistema de retroalimentación estable, mientras que la "retroalimentación positiva" se refiere a un sistema de retroalimentación inestable. Sin embargo, es más simple y descriptivo decir simplemente "retroalimentación estable" y "retroalimentación inestable" y no usar los términos "retroalimentación negativa" o "positiva" (Treitel y Robinson, 1964[3]).
Referencias
- ↑ Ulrych, T. J., y M. Lasserre, 1966, Minimum-phase: Journal of the Canadian Society of Exploration Geophysicists, 2, 22–32.
- ↑ Sacchi, M. D., y T. J. Ulrych, 2000, Non-minimum-phase wavelet estimation using higher order statistics: The Leading Edge, 19, no. 1, 80–83.
- ↑ Treitel, S., y E. A. Robinson, 1964, The stability of digital filter: IEEE Transactions on Geoscience Electronics, GE-2, 6–18.
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