Filtrado
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| Series | Geophysical References Series |
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| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 5 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | ISBN 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
On such a full sea are we now afloat; And we must take the current when it serves, Or lose our ventures. - William Shakespeare, Julio César
¿Qué es el filtrado digital? El comportamiento de los filtros analógicos se estudia habitualmente en el dominio de la frecuencia. El filtrado digital, por otro lado, se trata de forma más fructífera en el dominio del tiempo. Un filtro digital se representa mediante su respuesta al impulso. La respuesta al impulso está formada por una secuencia de números que actúan como coeficientes de ponderación. La salida de un filtro digital se obtiene convolucionando la señal de entrada digitalizada con la respuesta al impulso del filtro.
La mecánica del filtrado digital en el dominio del tiempo se puede describir con la ayuda de la teoría de la transformada "Z". El espectro de amplitud y el espectro de fase representan una caracterización importante del filtro. Se dice que un filtro digital es "causal" si su salida en el tiempo "n" depende únicamente de su entrada en el tiempo "n" y de las entradas en tiempos anteriores a "n". En el Capítulo 6, estas ideas se relacionan con la interpretación más familiar del comportamiento del filtro en el dominio de la frecuencia.
¿Qué es un filtro digital causal? Como acabamos de mencionar, un filtro digital se representa mediante una secuencia de números llamada "respuesta al impulso" o "coeficientes de ponderación". Un filtro digital es causal si su salida actual (en el momento "n") depende únicamente de las entradas presentes y pasadas (es decir, depende únicamente de las entradas en los momentos "n", "n" – 1, "n" – 2, …, etc.). Otro término para un filtro causal es "filtro realizable".
¿Qué es un filtro digital constante? Un filtro constante es aquel que tiene un único coeficiente de ponderación constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 . Este tipo de filtro es causal. Su acción se muestra esquemáticamente mediante el diagrama de bloques de la Figura 1a, en el que la entrada está a la izquierda y la salida a la derecha del recuadro rectangular que indica el filtro.
Demostremos que un filtro constante escala la entrada. Podemos ilustrar la acción del filtro constante con la Tabla 1 (en la que hemos dejado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0={0.5} ). La Figura 1b muestra la entrada y la salida. La salida es la entrada escalada por el coeficiente constante 0.5.
¿Qué es un filtro digital con retardo unitario? Introducimos el concepto de un filtro digital que produce un retardo unitario. Este filtro digital se denomina "filtro con retardo unitario". Representemos este filtro con el símbolo "Z". De este modo, tenemos el diagrama de bloques que se muestra en la Figura 2a. La Figura 2b muestra la señal de entrada (la señal original) y la señal de salida (la señal con un retardo de una unidad de tiempo).
| Índice de tiempo n | Entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n | Salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n\ =\ {0.5}\ x_n |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 5 |
| 1 | 20 | 10 |
| 2 | 10 | 5 |
| 3 | 10 | 5 |
| 4 | –10 | –5 |
| 5 | 0 | 0 |
Vemos que este filtro es causal porque su salida en el tiempo n depende solo de su entrada en el tiempo n – 1. En términos de las lecturas, tenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_1 \; = \;x_0 ,\;y_2 \; = \;x_1 ,\;y_3 \; = \;x_2 ,\; \ldots \;. \end{align} ()
La tabla 2 muestra los resultados.
¿Qué es el símbolo Z? El símbolo Z utilizado aquí tiene un significado matemático especial: Z representa un operador que produce un retraso unitario. Por lo tanto, llamamos Z al operador de retraso unitario. De ello se deduce que $ Z^{-1} $ representa un operador que produce un avance unitario. Como veremos, el símbolo Z es la variable que define la transformada Z. Utilizada de esta manera, Z es una variable compleja en el plano complejo Z.
¿Qué es una conexión en serie? Si conectamos dos filtros con retardo unitario en serie, tenemos la situación que se muestra en la Figura 3a. Por una conexión en serie, queremos decir que la salida del filtro 1 es la entrada del filtro 2. Vemos que el filtro global resultante es causal porque su salida en el tiempo n depende solo de la entrada en el tiempo n – 2. Ahora, el filtro 1 produce un retardo unitario, por lo que su salida es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{n-1} . A continuación, utilizamos el hecho de que la entrada del filtro 2 es la salida del filtro 1, por lo que la entrada del filtro 2 es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{n-1} . Debido a que el filtro 2 produce un retardo unitario, su salida es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{n-2} .
| Índice de tiempo n | Entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n | Salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n = x_{n - 1} |
|---|---|---|
| 0 | 10 | - |
| 1 | 20 | 10 |
| 2 | 10 | 20 |
| 3 | 0 | 10 |
| 4 | –10 | 0 |
| 5 | 0 | –10 |
| 6 | - | 0 |
| Índice de tiempo n | Entrada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n | Salida del filtro 1 | Entrada al filtro 2 | Salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n=x_{n-2} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 10 | - | - | - | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 20 | 10 | 10 | - | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 10 | 20 | 20 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 0 | 10 | 10 | 20 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | –10 | 0 | 0 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | –10 | –10 | 0 |- | 6 | - | 0 | 0 | –10 |- | 7 | - | - | - | 0 |}
 En cuanto a las lecturas, tenemos los resultados que se muestran en la Tabla 3. Así, dos filtros de retardo unitario en serie dan como resultado un filtro de retardo dos. La Figura 3b muestra las señales de entrada y salida. En resumen, vemos que dos filtros con retardo unitario en serie son equivalentes a un filtro con un retardo de dos unidades. Es decir, si la entrada es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n , la salida es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{n-2} . Por lo tanto, un retardo de dos unidades se representa mediante el operador matemático Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^2 (es decir, Z a la segunda potencia), donde el exponente 2 representa el retardo (Figura 4a). ¿Qué sucede cuando conectamos en serie filtros con un retardo de N unidades? Siguiendo el mismo razonamiento que el anterior, vemos que los filtros con un retardo de N unidades en serie son equivalentes a un filtro con un retardo de N unidades. Es decir, si la entrada es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n , la salida es Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_{n-N} . Un retardo de N unidades se representa mediante el operador matemático Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^{N} (es decir, Z a la N potencia), donde el exponente N representa el retardo (Figura 4b). ¿Qué sucede cuando N = 0? Como el exponente representa el retraso, vemos que en este caso el retraso es cero, por lo que la entrada es igual a la salida (Figura 4c). Por lo tanto, el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^0 representa el filtro identidad y, de acuerdo con el álgebra ordinaria, hacemos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z^0=1 . Vemos que el filtro de retraso de unidad N es causal para cualquier valor no negativo de N (es decir, para N > 0) porque la salida en el momento n depende solo de la entrada en el momento n – N. El filtro constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0 (descrito anteriormente) se puede representar de forma más explícita mediante el término Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_0Z^0 . Ahora conectemos un filtro constante y un filtro de retardo unitario en serie. La combinación en serie (o en cascada) de un filtro constante Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1} seguido del filtro de retardo unitario Z da el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1}Z , el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1} conectado en serie con el filtro Z se muestra en la Figura 5a. Vemos que este filtro es causal porque su salida en el tiempo n depende de su entrada en el tiempo n – 1. Podemos ilustrar la acción del filtro mediante la Tabla 4 (en la que hemos dejado $ b_{1}=0,25 $) así como mediante la Figura 5b. A continuación conectamos un filtro de retardo unitario y un filtro constante en serie. Observamos que el coeficiente de ponderación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1} está asociado con el filtro de retardo unitario. Es evidente que la combinación en serie del filtro Z seguido del filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1} da el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Zb_{1} (Figura 5c). Podemos ilustrar la acción del filtro mediante la Tabla 5 (en la que hemos dejado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1}=0,25 ). Por lo tanto, vemos que el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): b_{1}Z es equivalente al filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Zb_{1} . Traducciones:Filtrado digital/27/es 
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