Filtros inversos

From SEG Wiki
Jump to navigation Jump to search
This page is a translated version of the page Inverse filters and the translation is 100% complete.
ADVERTISEMENT
Other languages:
Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Series Geophysical References Series
Title Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing
Author Enders A. Robinson and Sven Treitel
Chapter 5
DOI http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610
ISBN ISBN 9781560801481
Store SEG Online Store

Las operaciones inversas constituyen componentes fundamentales de los esquemas de inversión sísmica (Hilterman, 1970[1], 1985[2]; Robinson, 1981[3]; Treitel y Lines, 1982[4], 2001[5]; Bednar et al., 1983[6]; Robinson et al., 1983[7]; Hampson y Russell, 1984[8]; Gersztenkorn et al., 1986[9]; Lines y Treitel, 1984[10]; Ulrych et al., 1990[11]; Ulrych et al., 2001[12]).

¿Qué es un filtro inverso? Desarrollemos una expresión para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n mirando hacia atrás en el tiempo. La forma más fácil es realizar la división polinómica como se indica en la expresión para la función de transferencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): H\left(Z\right)=+{1/}\left(1-Z^T\right) . El resultado es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} \frac{{}} {{1 - cZ^T }}\frac{{1 + cZ^T + c^2 Z^{2T} + c^3 Z^{3T} + c^4 Z^{3T} + c^4 Z^{4T} + c^5 Z^{5T} + ...}}{1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{1 - c\;Z^T }}{{c\;Z^T }} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{cZ^T - c^2 Z^{2T} }}{{c^2 Z^{2T} }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ . \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{c^2 Z^{2T} + c^3 Z^{3T} }}{{ - c^3 Z^{3T} }}\;\; \\ \end{array} (40)

Por lo tanto, la función de transferencia tiene una representación de propagación hacia adelante infinitamente larga.


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(Z\right)=1+cZ^T+c^2Z^{2T}+c^3Z^{{3}T}+c^4Z^{{4}T}+c^{5}Z^{5T}+ \end{align} (41)

Además, la expresión requerida para la salida del filtro de retroalimentación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_n=x_n+cx_{n-T}+c^2x_{n-2T}+c^3x_{n-{3}T}+c^4x_{n-{4}T}+c^{5}y_{n-5T}+\dots. \end{align} (42)

El resultado


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{1}{1-cZ^T}=1+cZ^T+c^2Z^{2T}+c^3Z^{{3}T}+c^4Z^{{4}T}+c^{5}Z^{5T}+\dots \end{align} (43)

muestra que los filtros Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 1+cZ^T+c^2Z^{2T}+c^3Z^{{3}T}+c^4Z^{{4}T}+c^{5}Z^{5T}+\dots y Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \text{1 – }cZ^T son inversos entre sí. Es decir, los dos filtros en tándem dan como resultado un filtro cuya respuesta al impulso es un pico unitario. Podemos decir que cualquiera de los filtros elimina el efecto del otro.

Demostremos que el filtro de retroalimentación es estable para el caso de retardo mínimo. Cuando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|<}1 (que es un caso de retardo mínimo), los coeficientes de respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): (1,\;0,\;0,\;...,\;0,\;c_1 ,\;0,\;0,\;...,\;0\;c^2 ,\;0,\;0\;...,\;0,\;c^3 ,\;0,\;0,\;...) tienden a cero, lo que hace que esta expresión para la salida del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 converja y, por lo tanto, el filtro de retroalimentación es estable. Supongamos que c = 0,5. Entonces, la salida del sistema en el índice de tiempo 3 es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_3=x_3-{0.5}x_2+0.25x_{1}-{0.125}x_0{+0.0625}x_{-1}-{0.03125}y_{-2}+\dots, \end{align} (44)

que es convergente.

También podemos demostrar que el filtro de retroalimentación es inestable para el caso de retardo máximo. Si Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>}1 (que es un caso de retardo máximo), entonces la caja constante produce amplificación y el efecto de retroalimentación crece sin límites con respecto al tiempo. Por ejemplo, por el mismo razonamiento que antes, la salida del filtro de retroalimentación en el índice de tiempo 3 está dada por la expresión


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_3=x_3-cx_2+c^2\left(x_{1}-cy_0\right)=x_3-cx_2+c^2x_{1}-c^3y_0 , \end{align} (45)

y cuando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>}1 , los coeficientes de respuesta al impulso


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {1,\ }-c,\ c^2,-c^3,\ c^4,\ c^{5},\dots \end{align} (46)

tienden al infinito, lo que hace que la expresión para la salida del sistema Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 diverja. Por lo tanto, el filtro de retroalimentación es inestable. Como ejemplo numérico, supongamos que c = 2. Entonces la salida del sistema en el índice de tiempo 3 está dada por la suma divergente


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_3=x_3-2x_2+4x_{1}-{8}x_0+16x_{-1}-{32}y_{-2}+\dots \end{align} (47)

¿Cómo puede un filtro estable aproximarse a un filtro inestable? El análisis de estabilidad anterior es bueno, pero ¿qué pasa si exigimos un filtro de retroalimentación con amplificación de bucle de retroalimentación, es decir, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>}1 ? ¿Qué arma tenemos para hacer que un filtro de este tipo sea estable? La única arma que tenemos es el retardo de tiempo. Debemos retrasar la salida del filtro para obtener una apariencia de estabilidad en nuestro sistema. Por lo tanto, al exigir una amplificación de bucle de retroalimentación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>}1 , los factores de estabilidad y retardo de salida deben equilibrarse entre sí. Sin retardo en la salida, el filtro de retroalimentación es necesariamente inestable. Sin embargo, cuanto más estemos dispuestos a retrasar la salida del filtro, mayor será la posibilidad que tengamos de construir un filtro estable que haga aproximadamente el mismo trabajo que el inestable (Treitel y Robinson, 1966[13]).

Ilustremos ahora este punto, aunque por el momento hablaremos metafóricamente. Vivimos en un mundo en el que sólo conocemos un flujo unidireccional del tiempo. Todo lo que hacemos está sujeto a este flujo unidireccional. Ahora observemos al dios romano de dos caras Jano (de quien toma su nombre el mes de enero). Jano puede ver tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo. Nosotros sólo podemos ver hacia atrás en el tiempo, es decir, sólo podemos ver la historia de una serie temporal hasta el momento presente "n", y no podemos ver el desarrollo futuro de la serie temporal, por mucho que lo intentemos. Sin embargo, Jano puede ver ese futuro tan bien como puede ver el pasado. Para él, el tiempo no es un flujo unidireccional. Tiene un punto de observación que a nosotros nos niegan. ¿Cómo podemos alcanzar ese punto de observación? Sólo podemos alcanzarlo esperando -es decir, demorándolo- hasta que haya transcurrido una cantidad finita de tiempo, período durante el cual parte o la mayor parte de la información requerida para la estabilidad se ha convertido en historia pasada. Por lo tanto, para alcanzar la estabilidad en nuestro filtro de retroalimentación, debemos retrasar nuestra salida. Cuanto mayor sea el retraso, mayores serán nuestras posibilidades.

Desarrollemos una expresión para la salida mirando hacia adelante en el tiempo. La ecuación para el filtro de retroalimentación básico es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_n=x_n-cy_{n-1}. \end{align} (48)

Examinemos ahora esta ecuación mirando hacia adelante en el tiempo en lugar de mirar hacia atrás en el tiempo como hicimos anteriormente. Reescribimos la ecuación como


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} \frac{{}} {{cZ + 1)}}\frac{{\;\;\;\;(c\;Z)^{ - 1} - (c\;Z)^{ - 2} + (c\;Z)^{ - 3} - (c\;Z)^{ - 4} + (c\;Z)^{ - 5} + ...}}{1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{1 - (c\;Z)^{ - 1} }}{{(c\;Z)^{ - 1} }} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{(c\;Z)^{ - 1} - (c\;Z)^{ - 2} }}{{(c\;Z)^{ - 2} }} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{(c\;Z)^{ - 2} + (c\;Z)^{ - 3} }}{{(c\;Z)^{ - 3} }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;. \\ \end{array} (49)

Por lo tanto, si c = 2 la expresión para la salida del filtro de retroalimentación Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 en el índice de tiempo 3 es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_3=\frac{1}{c}x_4-\frac{1}{c^2}x_{5}+\frac{1}{c^3}x_{{6}} -\frac{1}{c^4}x_{{7}}+\frac{1}{c^{5}}x_{{8}}-\dots \end{align} (50)

Aquí, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 se expresa en términos de los valores futuros Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_4,x_{5},x_{{6}},x_{{7}},x_{{8}}, \dots. , de la entrada. Cuando Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {|}c{|>1} , los términos de la secuencia


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} \frac{1}{c},\ -\frac{1}{c^2},\ \frac{1}{c^3},\ -\frac{1}{c^4},\ \frac{1}{c^{5}} , \dots \end{align} (51)

tienden a cero, lo que hace que la expresión para la salida Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 converja y, por lo tanto, el sistema de retroalimentación de bucle cerrado sea estable en términos de tiempo futuro. Como ejemplo numérico, supongamos que c = 2. Entonces, la salida del sistema en el índice de tiempo 3 es


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} y_3=0.5x_4-{0.25}x_{5}+0.l25x_{{6}} -{0.0625}x_{{7}}+0.03l25x_{{8}}- \dots , \end{align} (52)

que es convergente.

Demostremos que un retraso temporal sirve para aproximar la estabilidad deseada. Tenemos un solo problema. En el índice temporal 3, los valores futuros Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_4,x_{5},x_{{6}},x_{{7}},x_{{8}}, \dots que se necesitan para la expresión anterior para $ y_{3} $ no están disponibles. Por lo tanto, para que nuestra expresión para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 tenga sentido, debemos esperar hasta que haya suficientes de estos valores futuros disponibles. Como aproximación, entonces, trunquemos nuestra expresión para Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 de modo que usemos la expresión


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {0.5}x_4-0{0.25}x_{5}+0.l25x_{{6}} -{ 0.0625}x_{{ 7}} +0.03l25x_{{8}}. \end{align} (53)

Esta expresión truncada sirve como aproximación para el resultado deseado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 . Al reorganizar el orden de los términos en esta expresión, obtenemos


Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} { 0.03125}x_{{ 8}} { 0.0625}x_{{ 7}} +0.125x_{{ 6}}-{ 0.25}x_{5} +0.5x_4. \end{align} (54)

Supongamos que construimos un filtro FIR causal con la función de memoria de cinco longitudes (0,03125, –0,0625, 0,125, –0,25, 0,5). Debido a que este filtro es un filtro FIR, necesariamente es estable. Si dejamos que la serie temporal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_t sea la entrada de este filtro, la salida en el índice temporal n = 8 será una aproximación al Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 deseado. En otras palabras, para aproximar la salida deseada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_3 , hemos introducido un retardo temporal de 8 – 3 = 5 unidades de tiempo, obteniendo así un filtro FIR causal con una función de memoria de cinco longitudes. Al aumentar este retardo temporal, podemos obtener filtros FIR causales que produzcan mejores aproximaciones. Una aproximación perfecta se alcanza sólo introduciendo un retardo de tiempo infinito (Treitel y Robinson, 1969[14]).

Ahora, resumamos la estabilización de los filtros de retroalimentación. La estabilidad de un filtro de retroalimentación está determinada por sus propiedades de retardo. En particular, el filtro de retroalimentación es estable si y solo si su función de transferencia es una función de retardo mínimo. Los filtros de retroalimentación inestables se pueden estabilizar aproximadamente mediante la introducción de un retardo de salida. La aproximación se vuelve cada vez mejor a medida que este retardo se hace mayor.


Referencias

  1. ↑ Hilterman, F. J., 1970, Modelado sísmico tridimensional: Geofísica, 35, 1020–1037.
  2. ↑ Hilterman, F. J., 1985, Modelado sísmico tridimensional: Geofísica, 50,1984–2001.
  3. ↑ Robinson, E. A., 1981, Análisis de series temporales de problemas de dispersión inversa geofísica, en D. F. Findley, ed., Análisis de series temporales aplicado, 2: Academic Press, 101–167.
  4. ↑ Treitel, S., y L. R. Lines, 1982, Teoría inversa lineal y deconvolución: Geofísica, 47,1153–1159.
  5. ↑ Treitel, S., y L. R. Lines, 2001, Pasado, presente y futuro de la inversión geofísica - Un análisis del nuevo milenio: Geofísica, 66, 21–24.
  6. ↑ Bednar, J. B., R. Redner, E. A. Robinson y A. Weglein, 1983, Conferencia sobre dispersión inversa: Teoría y aplicación: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.
  7. ↑ Robinson, E. A., S. Treitel, R. A. Wiggins y P. Gutowski, 1983, Métodos digitales de inversión sísmica: Prentice-Hall.
  8. ↑ Hampson, D. y B. Russell, 1984, Interpretación de la primera ruptura utilizando inversión lineal generalizada: Canadian Journal of Exploration Geophysicists, 20, 40–54.
  9. ↑ Gersztenkorn, A., J. B. Bednar y L. R. Lines, 1986, Inversión iterativa robusta para la ecuación de onda acústica unidimensional: Geofísica, 51, 357–368.
  10. ↑ Lines, L. R. y S. Treitel, 1984, Tutorial: una revisión de la inversión de mínimos cuadrados y su aplicación a problemas geofísicos: Prospección geofísica, 32, 159–186.
  11. ↑ Ulrych, T. J., A. Bassrei y M. Lane, 1990, Inversión de entropía relativa mínima de datos 1D con aplicaciones: prospección geofísica, 38, 465–488.
  12. ↑ Ulrych, T. J., M. D. Sacchi y A. Woodbury, 2001, Un recorrido bayesiano por la inversión: un tutorial: geofísica, 66, 55–69.
  13. ↑ Treitel, S. y E. A. Robinson, 1966, The design of high-resolution digital filter: IEEE Transactions on Geoscience Electronics, GE-4, 25–38.
  14. ↑ Treitel, S. y E. A. Robinson, 1969, Filtros digitales óptimos para la mejora de la relación señal/ruido: prospección geofísica, 17, 248–293.

Sigue leyendo

Sección previa Siguiente sección
Filtro de retroalimentación Mínimo retardo
Capítulo previo Siguiente capítulo
Muestreo Frecuencia

Tabla de contenido


También en este capítulo


Vínculos externos

find literature about
Inverse filters/es
Retrieved from "http://wiki.seg.org/w/index.php?title=Inverse_filters/es&oldid=209960"