Apéndice L: Diseño de la transformada de Hilbert
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| Series | Geophysical References Series |
|---|---|
| Title | Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing |
| Author | Enders A. Robinson and Sven Treitel |
| Chapter | 12 |
| DOI | http://dx.doi.org/10.1190/1.9781560801610 |
| ISBN | 9781560801481 |
| Store | SEG Online Store |
Hemos dedicado mucho tiempo y esfuerzo a preocuparnos por si una señal es causal. Una señal causal es una señal que desaparece en un tiempo negativo. Ahora nos preocuparemos por otra cosa. Ya no nos preocuparemos por si la señal es causal, sino por si una señal es analítica. Una señal analítica es una señal compleja cuyo espectro de frecuencia desaparece en una frecuencia negativa.
Nuestro punto de partida es una señal de valor real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n . Tomemos el caso más simple posible. Construimos una señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n que tiene un espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) que está formado por dos picos, cada uno de intensidad 0,5. Un pico está en un punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Omega en el lado positivo del eje de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Este pico se puede representar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): { 0.5}{\delta }_{\Omega } El otro pico está en el punto espejo Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm - }\Omega en el lado negativo del eje de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Este segundo pico se puede representar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0.5\delta _{{\rm - }\Omega } . El espectro de frecuencias para todos los demás puntos es cero. Como el espectro de frecuencias no se anula para todos los puntos negativos, la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n no es analítica. Sin embargo, no nos rendiremos. Construiremos una señal analítica Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n cuya parte real sea la señal dada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n .
La señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n se denomina señal en fase. Ahora construiremos la señal en cuadratura Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n . La palabra cuadratura se refiere a una diferencia de fase de 90° entre dos ondas de la misma frecuencia, como en las señales de diferencia de color de una pantalla de televisión. Por lo tanto, multiplicamos el espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) por el número imaginario -i en el lado de frecuencia positiva y por el número imaginario i en el lado de frecuencia negativa. El resultado es el espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm y}\left(\omega \right) de la señal en cuadratura.
El espectro en cuadratura está formado por dos picos, cada uno de ellos de una intensidad de 0,5. Un pico se encuentra en un punto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Omega en el lado positivo del eje de frecuencias Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Este pico se puede representar como $ -{0.5}i{\delta }_{\Omega } $. El otro pico se encuentra en el punto de espejo -Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Omega en el lado negativo del eje de frecuencias Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega . Este segundo pico se puede representar como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): { 0.5}i{\delta }_{-\Omega } . El es
A continuación afirmamos que la señal compleja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n= x_n+iy_n , cuya parte real es la señal en fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n y cuya parte imaginaria es la señal en cuadratura Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n , que es la señal analítica buscada. Debemos verificar que su espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Z\left(\omega \right) se anule para frecuencias negativas. Tenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm Z}\left(\omega \right)={X}\left(\omega \right)+i{\rm Y}\left(\omega \right)={0.5}{\delta }_{\Omega }+{0.5}{\delta }_{-\Omega }+i\left(-{ 0.5}i{\delta }_{\Omega }+{0.5}i{\delta }_{-\Omega }\right)= {\delta }_{\Omega }. \end{align} ()
Vemos que los dos picos de frecuencia positiva se suman para dar un pico unitario en la frecuencia positiva Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \Omega , y los dos picos de frecuencia negativa se suman para dar nada en la frecuencia negativa $ \Omega $. Por lo tanto, la señal compleja
Veamos ahora el ejemplo anterior en el dominio del tiempo. El espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) nos dice que la señal en fase Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n es la onda coseno dada por
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} x_n={0.5}e^{i\Omega n}+{0.5}e^{-i\Omega n}={\rm cos\ }\left(\Omega n\right). \end{align} ()
El espectro de frecuencia Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Y(\omega ) nos dice que la señal en cuadratura Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n es la onda sinusoidal dada por
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} y_n = - 0.5ie^{i\Omega n} + 0.5ie^{ - i\Omega n} \\ \;\;\;\; = - 0.5i(\cos \Omega n + i{\rm sin}\Omega n) + 0.5i(\cos \Omega n - i\sin \Omega n) = \sin (\Omega n). \\ \end{array} ()
La señal analítica es entonces
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} z_n= x_n+iy_n={\rm cos\ }\left(\Omega n\right)+i{\rm \ sin\ }\left(\Omega n\right)= e^{i\Omega n}. \end{align} ()
En la suma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n+iy_n , observamos que los componentes de frecuencia negativa de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n e Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n se cancelan, dejando solo los componentes de frecuencia positiva. En otras palabras, la señal analítica tiene la propiedad de que se han filtrado todas las frecuencias negativas.
En el desarrollo anterior, introdujimos un filtro que multiplica el espectro de frecuencia de la entrada por el número imaginario -i para frecuencias positivas y por el número imaginario i para frecuencias negativas. El filtro transforma la entrada de onda coseno Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ cos\ }\left(\omega n\right) en la salida de onda senoidal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm \ sin\ }\left(\omega n\right) . Este filtro tiene un nombre especial. Se llama filtro de transformador de Hilbert Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n . En otras palabras, el transformador de Hilbert de tiempo discreto es un filtro con una respuesta de frecuencia
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} H(\omega ) = i = e^{i\pi /2} \;\;\;\;\;\;\;{\rm for}\;\;\;\; - \pi \le \omega < 0 \\ H(\omega ) = i - ie^{ - i\pi /2} \;\;\;\,{\rm for}\;\;\;\;\,\,\,\,0 \le \omega < \pi . \\ \end{array} ()
La salida del filtro se denomina "transformada de Hilbert" de la entrada. La entrada de este filtro se denomina "señal en fase" y la salida se denomina "señal en cuadratura".
Ahora, vamos a dar una presentación más formal de la transformada de Hilbert. Se dice que una función Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) exhibe simetría hermítica respecto del origen si $ \left(-\omega \right)=X\left(\omega \right) $. De ello se deduce que la parte real de dicha función es simétrica respecto del origen, y la parte imaginaria es antisimétrica respecto del origen. Además, la integral de dicha función es real; es decir,
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{array}{l} \int\limits_{ - \pi }^\pi {X(\omega )\;d\omega } = \int\limits_{ - \pi }^0 {X(\omega )\;d\omega + \int\limits_0^\pi {X(\omega )\;d\omega = \int\limits_0^\pi {[X( - \omega ) + X(\omega )]\;d\omega } } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\, = \int\limits_0^\pi {[X^* (\omega ) + X(\omega )]\;d\omega = 2\int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm Re}\nolimits} [X(\omega )]\;d\omega .} } \\ \end{array} ()
De ello se deduce que una señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n tiene un valor real si y solo si su espectro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) exhibe simetría hermítica. Más específicamente, la información de una señal temporal de valor real está contenida completamente dentro de su espectro de frecuencia para frecuencias positivas, excepto por una posible ambigüedad en Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega ={0} . Por lo tanto, existe una redundancia entre las partes positiva y negativa del espectro de frecuencia angular.
Ahora eliminemos esta redundancia completando la información faltante de la siguiente manera: consideramos que la señal real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n es la parte real de una señal compleja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n . Luego construimos otra señal de valor real Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n y consideramos que esta nueva señal es la parte imaginaria de la seña
$ {\begin{aligned}z_{n}=x_{n}+iy_{n}.\end{aligned}} $ ()
Es importante recordar que ambas señales Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n e Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n son reales. La nueva señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n se creará de una manera especial para cumplir con los requisitos de que la señal compleja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n sea una señal analítica. Toda la información que necesitamos está contenida en las partes real e imaginaria Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X_R\left(\omega \right){\;\rm y\;}X_I\left(\omega \right) para frecuencias angulares positivas Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): 0\le \omega { <}\pi . Como la nueva señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n también es real, solo necesitamos conocer su espectro para las mismas frecuencias angulares positivas. Representemos su espectro por Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): Y\left(\omega \right) . Hagamos lo más simple. Para una frecuencia angular positiva dada Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \omega , tratamos Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): X\left(\omega \right) como un vector complejo y lo rotamos -90°. Llamamos al resultado Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\rm Y}\left(\omega \right) . Es decir, dejamos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} {\rm y}\left(\omega \right)= X\left(\omega \right)e^{-i\pi { /2}} = -iX\left(\omega \right) \mathrm{\;\; for\;\; } 0\le \omega { <}\pi. \end{align} ()
Por lo tanto, el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n tiene la respuesta de frecuencia angular
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(\omega \right)= e^{-i\pi { /2}} = -i \mathrm{\;\;\; for\;\;\; } 0\le \omega { <}\pi . \end{align} ()
Nótese que la parte real de la secuencia compleja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n es simplemente la secuencia original Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n y que la parte imaginaria de la secuencia compleja Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): z_n es la señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n . La señal Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n se obtiene al pasar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n a través de un filtro lineal con la respuesta al impulso Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n . El filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n se denomina transformada de Hilbert ideal en tiempo discreto. Debido a que tanto Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n como Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n son reales, el filtro Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n también es real. Por simetría hermítica, tenemos
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \begin{align} H\left(\omega \right)= H^{*}\left(-\omega \right)= {\left(-i\right)}^{*}= i \mathrm{\;\;\; for\;\;\; } -\pi \le \omega { <0} . \end{align} ( )
El transformador de Hilbert de tiempo discreto puede considerarse como un filtro de paso total con un adelanto de fase constante de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): \pi/2 en todas las frecuencias angulares negativas y con un adelanto de fase constante de $ -\pi /2 $ en todas las frecuencias angulares positivas. El resultado de pasar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): x_n a través del transformador de Hilbert es la transformada de Hilbert Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): y_n .
Los "coeficientes de la transformada de Hilbert", tal como se dan mediante la transformada de Fourier inversa, son
Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n = \frac{1}{{2\pi }} \int\limits_{ - \pi }^\pi {H(\omega )\;e^{i\omega n} \;d\omega = \left\langle \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;{\rm for}\;{\rm (positive}\;{\rm or}\;{\rm negative)}\;{\rm even}\;{\rm integers} \\ \frac{2}{{n\pi }}\;\;\;\;\,{\rm for}\,{\rm (positive}\;{\rm or}\;{\rm negative)}\,\,{\rm odd}\,{\rm integers}{\rm .} \\ \end{array} \right.} ()
Vemos que Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): h_n es un impulso antisimétrico doblemente infinito.
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También en este capítulo
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- Atributos sísmicos
- Atributos instantáneos
- Mapa de atributos de secuencia sísmica (SSAM)
- Cubo de coherencia (C3)
- SSAM y C3
- Apéndice M: Ejercicios
Vínculos externos
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